2022届高考数学总复习教学案直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)_．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.
二、直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方　程
局限性
点斜式
过点(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)
＝
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)
＋＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为(　　)
A．30°B．60°
C．150°D．120°
解析：选C由k＝tanα＝－，α∈[0，π)得α＝150°.
2．(教材习题改编)直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，那么直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0
解析：选A由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　)
A．1B．4
C．1或3D．1或4
解析：选A由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
4．(2022·长春模拟)假设点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，那么a的值为________．
解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
5．假设直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，那么直线l的方程为________．
解析：由得直线l的斜率为k＝－.
所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，假设不确定，那么需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率
典题导入
[例1](1)(2022·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，那么y＝(　　)
A．－1B．－3
C．0D．2
(2)(2022·苏州模拟)直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
[自主解答](1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1.y＝－3.
(2)由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
[答案](1)B　(2)∪
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：
(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
1．(2022·哈尔滨模拟)函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，那么直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A．45°B．60°

2．(2022·金华模拟)点A(1,3)，B(－2，－1)．假设直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，那么k的取值范围是(　　)
A.B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪D.
解析：选D由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．假设l与线段AB相交，那么kPA≤k≤kPB.
∵kPA＝－2，kPB＝，
∴－2≤k≤.

直 线 方 程
典题导入
[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
(2)(2022·东城模拟)假设点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，那么弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答](1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.
那么所求直线方程为x－2y－1＝0.
(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[答案](1)x－2y－1＝0　(2)2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法
3．(2022·龙岩调研)△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.

直线方程的综合应用
典题导入
[例3](2022·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答]法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．
由题意知那么点B(6－x，－y)，
解方程组
得那么k＝＝8.
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，
点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
由解得
由解得
∵P(3,0)是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
假设k＝0，那么xA＝1，xB＝－3，
此时＝≠3，∴k＝0舍去，
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，
即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，假设与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．(2022·东北三校联考)直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
A，B(0，1－2k)，
△AOB的面积S＝(1－2k)
＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)∵|MA|＝，|MB|＝，
∴|MA|·|MB|＝·＝2≥2×2＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
故直线方程为x＋y－3＝0.
1．假设k，－1，b三个数成等差数列，那么直线y＝kx＋b必经过定点(　　)
A．(1，－2)　　　　　　　B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
解析：选A因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是(　　)
A．2x＋11y＋38＝0B．2x＋11y－38＝0
C．2x－11y－38＝0D．2x－11y＋16＝0
解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.
3．(2022·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，那么P点坐标为(　　)
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
解析：选D∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.
又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，
整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．
4．(2022·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，那么a，b，c应满足(　　)
A．ab＞0，bc＜0B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0
解析：选A由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(　　)
A．y＝－x＋B．y＝－x＋1
C．y＝3x－3D．y＝x＋1
解析：选A将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
6．点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，那么实数m的值是(　　)
A．－2B．－7
C．3D．1
解析：选C线段AB的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.
7．(2022·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，那么其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，那么方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.
答案：(－∞，－1)∪
8．(2022·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.
综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.
答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
9．(2022·天津四校联考)不管m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得
(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
那么得
答案：(－2,3)
10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．
解：设所求直线方程为＋＝1，
由可得解得或
故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
11．(2022·莆田月考)两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，
∴k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.
12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
1．假设直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.B.
C.D.
解析：选B由解得
∵两直线交点在第一象限，∴解得k＞.
∴直线l的倾斜角的范围是.
2．(2022·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．
解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，那么k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
3．直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)假设直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)假设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x0，y0)，那么kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，
∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，那么直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，那么
解得k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
1．(2022·郑州模拟)直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．假设直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，那么直线l2的方程为(　　)
A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0
解析：选B∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，
∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
2．(2022·吴忠调研)假设过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是________．
解析：k＝tanα＝＝.
∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
故－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
3.直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，那么直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
∴1＝＋≥2，即ab≥24.
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，
△ABO的面积最小，最小值为12.
此时直线l的方程为＋＝1.
即2x＋3y－12＝0.