2022版高考数学一轮复习第8章立体几何第6节空间向量及其运算课时跟踪检测理新人教A版.doc

第六节　空间向量及其运算
A级·根底过关
|固根基|
1.(2022届揭阳期末)a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，那么x＝(　　)
A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)
解析：选B　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．应选B．
2．向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，那么实数m的值等于(　　)
A． B．－2
C．0 D．或－2
解析：选B　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.应选B．
3．假设直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，那么(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
解析：选B　因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，
所以n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α.
4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，
那么·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
5．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2，1，－1)，B(3，4，λ)，C(2，7，1)，假设⊥，那么λ＝(　　)
A．3 B．1
C．±3 D．－3
解析：选C　由题意知，＝(1，3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1)，由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，应选C．
6．正四面体A－BCD的棱长为1，且＝2，＝2，那么·＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选D　因为＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，那么·＝·＝||||cos ＝－.应选D．
7．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，那么＝____________．
解析：∵＝＝(＋)，
∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，那么λ的值为________．
解析：如下图，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系M－xyz.
因为底面边长为1，侧棱长为2，
所以A，B1，C，C1，M(0，0，0)，所以＝.
设N，那么＝(0，0，t－2)，＝(0，0，－t)，
因为＝λ，所以N，所以＝.
又因为AB1⊥MN，所以·＝0，
即－＋＝0，所以λ＝15.
答案：15
9．如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
当〈，〉＝60°时，2＝4；
当〈，〉＝120°时，2＝2.
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
10.如下图，斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面．
解：∵＝k，＝k，
∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面.
B级·素养提升
|练能力|
11.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，那么△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选C　∵M为BC的中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·＝·＋·＝0.
∴AM⊥AD，即△AMD为直角三角形．应选C．
12．(2022届北京西城模拟)如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，假设动点P在线段BD1上运动，那么·的取值范围是________．
解析：如题图所示，由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ∈[0，1]．因此·的取值范围是[0，1]．
答案：[0，1]
13．O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
解析：由题意，设＝λ，那么OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，那么＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－，所以当λ＝时取最小值，此时Q点坐标是.
答案：
14．在四面体P－ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，那么|＋＋|＝________．
解析：∵在四面体P－ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，∴·＝1×2×cos 60°＝1，·＝2×3×cos 60°＝3，·＝1×3×cos 60°＝，∴|＋＋|＝＝＝5.
答案：5