2022年贵州省黔东南州中考数学试卷.docx

2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分〕
1．|﹣2|的值是〔　　〕
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，那么∠A的度数是〔　　〕
A．120° B．90° C．100° D．30°
3．以下运算结果正确的选项是〔　　〕
A．3a﹣a=2 B．〔a﹣b〕2=a2﹣b2
C．6ab2÷〔﹣2ab〕=﹣3b D．a〔a+b〕=a2+b
4．如下列图，所给的三视图表示的几何体是〔　　〕
A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，那么弦CD的长为〔　　〕
A．2 B．﹣1 C． D．4
6．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，那么+的值为〔　　〕
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
7．分式方程=1﹣的根为〔　　〕
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，那么∠DOC的度数为〔　　〕
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有〔　　〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．我国古代数学的许多创新和开展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉〔约13世纪〕所著的 详解九章算术 一书中，用如图的三角形解释二项和〔a+b〕n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角〞．
根据“杨辉三角〞请计算〔a+b〕20的展开式中第三项的系数为〔　　〕
A．2022 B．2022 C．191 D．190
二、填空题〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕
11．在平面直角坐标系中有一点A〔﹣2，1〕，将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，那么平移后点A的坐标为．
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．
13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x=．
14．黔东南下司“蓝每谷〞以盛产“优质蓝莓〞而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在屡次重复的抽取检测中“优质蓝莓〞出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓〞产量约是kg．
15．如图，点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，假设点A是线段OB的中点，那么k的值为．
16．把多块大小不同的30°直角三角板如下列图，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为〔0，1〕，∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，那么点B2022的坐标为．
三、解答题〔本大题共8小题，共86分〕
17．计算：﹣1﹣2+|﹣|+〔π﹣3.14〕0﹣tan60°+．
18．先化简，再求值：〔x﹣1﹣〕÷，其中x=+1．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02
根据以上统计图表完成以下问题：
〔1〕统计表中m=，n=，并将频数分布直方图补充完整；
〔2〕在这次测量中两班男生身高的中位数在：范围内；
〔3〕在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
21．如图，直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
〔1〕求证：PT2=PA•PB；
〔2〕假设PT=TB=，求图中阴影局部的面积．
22．如图，某校教学楼AB前方有一斜坡，斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能防止滑坡危险，学校为了消除平安隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的平安〔结果取整数〕
〔参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24〕
23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．假设两队合作，8天就可以完成该项工程；假设由甲队先单独做3天后，剩余局部由乙队单独做需要18天才能完成．
〔1〕求甲、乙两队工作效率分别是多少
〔2〕甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，假设完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w〔元〕与甲队工作天数m〔天〕的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
24．如图，⊙M的圆心M〔﹣1，2〕，⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D〔2，0〕和点C〔﹣4，0〕．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕求证：直线l是⊙M的切线；
〔3〕点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小假设存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；假设不存在，请说明理由．
2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分〕
1．|﹣2|的值是〔　　〕
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
应选B．
2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，那么∠A的度数是〔　　〕
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】K8：三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
应选：C．
3．以下运算结果正确的选项是〔　　〕
A．3a﹣a=2 B．〔a﹣b〕2=a2﹣b2
C．6ab2÷〔﹣2ab〕=﹣3b D．a〔a+b〕=a2+b
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=2a，不符合题意；
B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
C、原式=﹣3b，符合题意；
D、原式=a2+ab，不符合题意，
应选C
4．如下列图，所给的三视图表示的几何体是〔　　〕
A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据主视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．
【解答】解：∵左视图和俯视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵主视图是一个三角形，
∴此几何体为正三棱柱．
应选：D．
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，那么弦CD的长为〔　　〕
A．2 B．﹣1 C． D．4
【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=OC=1，
∴CD=2OE=2，
应选A．
6．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，那么+的值为〔　　〕
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算
【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以+===﹣2．
应选D．
7．分式方程=1﹣的根为〔　　〕
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，
解得：x=﹣1或x=3，
经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，
应选C
8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，那么∠DOC的度数为〔　　〕
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【考点】LE：正方形的性质．
【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
应选A．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有〔　　〕
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，那么可作判断；
③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，那么可进行判断．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以此题正确的有：②③④，三个，
应选C．
10．我国古代数学的许多创新和开展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉〔约13世纪〕所著的 详解九章算术 一书中，用如图的三角形解释二项和〔a+b〕n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角〞．
根据“杨辉三角〞请计算〔a+b〕20的展开式中第三项的系数为〔　　〕
A．2022 B．2022 C．191 D．190
【考点】4C：完全平方公式．
【分析】根据图形中的规律即可求出〔a+b〕20的展开式中第三项的系数；
【解答】解：找规律发现〔a+b〕3的第三项系数为3=1+2；
〔a+b〕4的第三项系数为6=1+2+3；
〔a+b〕5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现〔a+b〕n的第三项系数为1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕，
∴〔a+b〕20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
应选 D．
二、填空题〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕
11．在平面直角坐标系中有一点A〔﹣2，1〕，将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，那么平移后点A的坐标为　〔1，﹣1〕　．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：A的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标，
∴平移后A的坐标为〔1，﹣1〕
故答案为：〔1，﹣1〕
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D　使得△ABC≌△DEF．
【考点】KB：全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理填空．
【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF〔AAS〕．
故答案是：∠A=∠D．
13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　x〔x2+3〕〔x+〕〔x﹣〕　．
【考点】58：实数范围内分解因式．
【分析】先提取公因式x，再把4写成22的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：原式=x〔x4﹣22〕，
=x〔x2+2〕〔x2﹣2〕
=x〔x2+2〕〔x+〕〔x﹣〕，
故答案是：x〔x2+3〕〔x+〕〔x﹣〕．
14．黔东南下司“蓝每谷〞以盛产“优质蓝莓〞而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在屡次重复的抽取检测中“优质蓝莓〞出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓〞产量约是　560　kg．
【考点】X8：利用频率估计概率．
【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓〞产量．
【解答】解：由题意可得，
该果农今年的“优质蓝莓〞产量约是：800×0.7=560kg，
故答案为：560．
15．如图，点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，假设点A是线段OB的中点，那么k的值为　﹣8　．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设A〔a，b〕，那么B〔2a，2b〕，将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．
【解答】解：设A〔a，b〕，那么B〔2a，2b〕，
∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上，
∴ab=﹣2；
∵B点在反比例函数y2=的图象上，
∴k=2a•2b=4ab=﹣8．
故答案是：﹣8．
16．把多块大小不同的30°直角三角板如下列图，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为〔0，1〕，∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，那么点B2022的坐标为　〔0，﹣〕　．
【考点】D2：规律型：点的坐标．
【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B2022的坐标．
【解答】解：由题意可得，
OB=OA•tan60°=1×=，
OB1=OB•tan60°==〔〕2=3，
OB2=OB1•tan60°=〔〕3，
…
∵2022÷4=506…1，
∴点B2022的坐标为〔0，﹣〕，
故答案为：〔0，﹣〕．
三、解答题〔本大题共8小题，共86分〕
17．计算：﹣1﹣2+|﹣|+〔π﹣3.14〕0﹣tan60°+．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法那么，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+〔〕+1﹣
=2
18．先化简，再求值：〔x﹣1﹣〕÷，其中x=+1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=•=x﹣1，
当x=+1时，原式=．
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．
【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02
根据以上统计图表完成以下问题：
〔1〕统计表中m=　14　，n=　0.26　，并将频数分布直方图补充完整；
〔2〕在这次测量中两班男生身高的中位数在：　161≤x＜164　范围内；
〔3〕在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数〔率〕分布表；V8：频数〔率〕分布直方图；W4：中位数．
【分析】〔1〕设总人数为x人，那么有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；
〔2〕根据中位数的定义即可判断；
〔3〕画出树状图即可解决问题；
【解答】解：〔1〕设总人数为x人，那么有=0.06，解得x=50，
∴m=50×0.28=14，n==0.26．
故答案为14，0.26．
频数分布直方图：
〔2〕观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，
故答案为 161≤x＜164．
〔3〕将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如下列图：
所以P〔两学生来自同一所班级〕==．
21．如图，直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
〔1〕求证：PT2=PA•PB；
〔2〕假设PT=TB=，求图中阴影局部的面积．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．
【分析】〔1〕连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解决问题；
〔2〕首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；
【解答】〔1〕证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴=，
∴PT2=PA•PB．
〔2〕∵TP=TB=，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB==，
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣•12=﹣．
22．如图，某校教学楼AB前方有一斜坡，斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能防止滑坡危险，学校为了消除平安隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的平安〔结果取整数〕
〔参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24〕
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD=12米，∠DCE=60°，
∴DE=CD•sin60°=12×=6米，CE=CD•cos60°=12×=6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴DE=D′E′=6米．
∵∠D′CE′=39°，
∴CE′=≈≈12.8，
∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8〔米〕．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的平安．
23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．假设两队合作，8天就可以完成该项工程；假设由甲队先单独做3天后，剩余局部由乙队单独做需要18天才能完成．
〔1〕求甲、乙两队工作效率分别是多少
〔2〕甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，假设完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w〔元〕与甲队工作天数m〔天〕的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．
【分析】〔1〕设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题；
〔2〕设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．那么+=1，解得x=6．由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；
【解答】解：〔1〕设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．
由题意，解得，
经检验是分式方程组的解，
∴甲、乙两队工作效率分别是和．
〔2〕设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．
那么+=1，解得x=6．
∴甲工作6天，
∵甲12天完成任务，
∴6≤m≤12．
∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，
∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，
∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．
24．如图，⊙M的圆心M〔﹣1，2〕，⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D〔2，0〕和点C〔﹣4，0〕．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕求证：直线l是⊙M的切线；
〔3〕点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小假设存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；假设不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】〔1〕设抛物线的解析式为y=a〔x﹣2〕〔x+4〕，将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
〔2〕连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；
〔3〕〕先证明∠FPE=∠FBD．那么PF：PE：EF=：2：1．那么△PEF的面积=PF2，设点P的坐标为〔x，﹣x2﹣x+〕，那么F〔x，﹣x+4〕．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：〔1〕设抛物线的解析式为y=a〔x﹣2〕〔x+4〕，将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．
〔2〕连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．
把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，
∴A〔0，4〕．
将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，
∴B〔8，0〕．
∴OA=4，OB=8．
∵M〔﹣1，2〕，A〔0，4〕，
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO=．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l是⊙M的切线．
〔3〕∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE=．
∴PF：PE：EF=：2：1．
∴△PEF的面积=PE•EF=×PF•PF=PF2．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为〔x，﹣x2﹣x+〕，那么F〔x，﹣x+4〕．
∴PF=〔﹣x+4〕﹣〔﹣x2﹣x+〕=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=〔x﹣〕2+．
∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为．
∴P〔，〕．
∴△PEF的面积的最小值为=×〔〕2=．
2022年7月2日