2022届高考数学总复习教学案平面向量的概念及其线性运算.docx
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第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于1个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法那么(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法那么 平行四边形法那么 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法那么 三、向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0. 2.运算律:设λ,μ是两个实数,那么: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. [小题能否全取] 1.以下命题正确的选项是( ) A.不平行的向量一定不相等 B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a与b是共线向量,b与c是平行向量,那么a与c是方向相同的向量 D.假设a与b平行,那么b与a方向相同或相反 解析:选A对于B,单位向量不是仅有一个,故B错;对于C,a与c的方向也可能相反,故C错;对于D,假设b=0,那么b的方向是任意的,故D错,综上可知选A. 2.如右图所示,向量a-b等于( ) A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2 C.e1-3e2D.3e1-e2 解析:选C由题图可得a-b==e1-3e2. 3.(教材习题改编)设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,那么以下关系式中正确的选项是( ) A.=B.=2 C.=-D.=-2 解析:选B=++=a+2b+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2. 4.假设菱形ABCD的边长为2,那么|-+|=________. 解析:|-+|=|++|=||=2. 答案:2 5.a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,那么λ=________. 解析:由题意知a+λb=k[-(b-3a)], 所以解得 答案:- 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否那么λ可能不存在,也可能有无数个. 在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 向量的有关概念 典题导入 [例1]给出以下命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②假设A,B,C,D是不共线的四点,那么=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; ③假设a与b同向,且|a|>|b|,那么a>b; ④λ,μ为实数,假设λa=μb,那么a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 [自主解答]①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线. ②正确.∵=,∴||=||且∥. 又∵A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形ABCD是平行四边形. 反之,假设四边形ABCD是平行四边形,那么AB綊DC且与方向相同,因此=. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线. [答案]C 由题悟法 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的根本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否认也是行之有效的方法. 2.几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1.设a0为单位向量,①假设a为平面内的某个向量,那么a=|a|a0;②假设a与a0平行,那么a=|a|a0;③假设a与a0平行且|a|=1,那么a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ) A.0B.1 C.2D.3 解析:选D向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;假设a与a0平行,那么a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 向量的线性运算 典题导入 [例2] (1)(2022·四川高考)如图,正六边形ABCDEF中,++=( ) A.0B. C.D. (2)在△ABC中,D是AB边上一点,假设=2,=+λ,那么λ等于( ) A.B. C.-D.- [自主解答](1)如图,∵在正六边形ABCDEF中,=,=, ∴++=++=+=+=CF―→. (2)∵=+,=+, ∴2=+++. 又∵=2, ∴2=++ =++(-) =+. ∴=+,即λ=. [答案](1)D (2)A 假设(2)中的条件作如下改变:假设点D是AB边延长线上一点且||=||,假设=λ+μ,那么λ-μ的值为________. 解析:∵=+=+2=+2(-)=2-=λ+μ. ∴λ=2,μ=-1.∴λ-μ=3. 答案:3 由题悟法 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法那么、三角形法那么求解,并注意利用平面几何的性质,如三角形中位线、相似三角形等知识. 以题试法 2.(2022·汉阳调研)假设A,B,C,D是平面内任意四点,给出以下式子: ①+=+;②+=+; ③-=+.其中正确的有( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 解析:选C①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,+=+=成立;③式的等价式是-=+,=成立. 共 线 向 量 典题导入 [例3]设两个非零向量a与b不共线. (1)假设=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. [自主解答](1)证明:∵=a+b,=2a+8b, =3(a-b), ∴=+=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5. ∴,共线, 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,即k2-1=0. ∴k=±1. 由题悟法 1.当两向量共线时,只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用. 以题试法 3.a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上假设存在,求出实数t的值,假设不存在,请说明理由. 解:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线,所以有 解之得t=. 故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上. 1.以下等式:①0a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0a;⑤a-b=a+(-b).正确的个数是( ) A.2B.3 C.4D.5 解析:选Ca+(-a)=0,故③错. 2.(2022·福州模拟)假设a+b+c=0,那么a,b,c( ) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 解析:选A当a,b,c为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a,b,c为非零向量共线时不能构成三角形. 3.(2022·威海质检)平面上不共线的四点O,A,B,C.假设+2=3,那么的值为( ) A.B. C.D. 解析:选A由+2=3,得-=2-2,即=2,所以=. 4.(2022·海淀期末)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近B),那么=( ) A.-B.+ C.+D.- 解析:选D在△CEF中,有=+,因为点E为DC的中点,所以=.因为点F为BC的一个三等分点,所以=.所以=+=+=-. 5.(2022·揭阳模拟)点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,那么△ABC的内角A等于( ) A.30°B.60° C.90°D.120° 解析:选A由++=0得+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故A=30°. 6.△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足++=,那么点P与△ABC的关系为( ) A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点 解析:选D∵++=, ∴++=-,∴=-2=2, ∴P是AC边的一个三等分点. 7.(2022·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,那么||=________. 解析:由|+|=|-|可知,⊥,那么AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此,||=||=2. 答案:2 8.(2022·大庆模拟)O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式+=+,那么四边形ABCD的形状为________. 解析:∵+=+,∴-=-, ∴=.∴四边形ABCD为平行四边形. 答案:平行四边形 9.设向量e1,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2,给出以下结论:①A,B,C共线;②A,B,D共线;③B,C,D共线;④A,C,D共线,其中所有正确结论的序号为________. 解析:由=-=4e1+2e2=2,且与不共线,可得A,C,D共线,且B不在此直线上. 答案:④ 10.设i,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且=-2i+mj,=ni+j,=5i-j,假设点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,求实数m,n的值. 解:=-=(n+2)i+(1-m)j, =-=(5-n)i-2j. ∵点A,B,C在同一条直线上, ∴∥,即=λ. ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i-2j]. ∴解得或 11.如下列图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b. (1)用a,b表示向量,,,,; (2)求证:B,E,F三点共线. 解:(1)延长AD到G, 使=, 连接BG,CG,得到▱ABGC, 所以=a+b, ==(a+b), ==(a+b), ==b, =-=(a+b)-a=(b-2a), =-=b-a=(b-2a). (2)证明:由(1)可知=,又因为 ,有公共点B, 所以B,E,F三点共线. 12.设e1,e2是两个不共线向量,=2e1-8e2, =e1+3e2,=2e1-e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)假设=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值. 解:(1)证明:由得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2 ∵=2e1-8e2,∴=2, 又∵AB与BD有公共点B, ∴A,B,D三点共线. (2)由(1)可知=e1-4e2,且=3e1-ke2, ∵B,D,F三点共线,得=λ, 即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12, ∴k=12. 1.如下列图,点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,那么的值为( ) A.3B. C.2D. 解析:选B (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面BC的直线,易得=. 2.(2022·吉林四平质检)假设点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,那么△ABM与△ABC的面积比为( ) A.B. C.D. 解析:选C设AB的中点为D, 由5=+3, 得3-3=2-2, 即3=2,如下列图, 故C,M,D三点共线,且=,也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为,那么△ABM与△ABC的面积比为. 3.O,A,B三点不共线,且=m+n,(m,n∈R). (1)假设m+n=1,求证:A,P,B三点共线; (2)假设A,P,B三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)∵m,n∈R,且m+n=1, ∴=m+n=m+(1-m), ∴-=m(-). ∴=m,而≠0,且m∈R. ∴与共线, 又,有公共点B. ∴A,P,B三点共线. (2)∵A,P,B三点共线,∴与共线,∴存在实数λ,使=λ, ∴-=λ(-). ∴=λ+(1-λ). 又∵=m+n, ∴m+n=λ+(1-λ). 又∵O,A,B不共线,∴,不共线. 由平面向量根本定理得 ∴m+n=1. 1.e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,那么a与b共线的条件是( ) A.λ=0B.e2=0 C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=0 解析:选D假设e1与e2共线,那么e2=λ′e1. 因此a=(1+λλ′)e1,此时a∥b. 假设e1与e2不共线,设a=μb,那么 e1+λe2=μ·2e1,因此λ=0,1-2μ=0. 2.如图,=a,=b,=3,用a,b表示,那么等于( ) A.a+bB.a+b C.a+bD.a+b 解析:选B=+=+=a+(b-a)=a+b.- 配套讲稿:
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- 2022 高考 数学 复习 教学 平面 向量 概念 及其 线性 运算
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