2015年全国高考文科数学试题及答案-重庆卷.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数 学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
2.“”是“”的
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
3.函数的定义域是
(A) (B)
(C) (D)
4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是
(A) 19 (B) 20 (C) 21.5 (D) 23
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A) (B) (C) (D)
6.若,则
(A) (B) (C) (D)
7.已知非零向量满足，且，则与的夹角为
(A) (B) (C) (D)
8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为
(A) (B)
(C) (D)
9.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为
(A) (B)
(C) (D)
10.若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为
(A)-3 (B) 1 (C) (D)3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．复数的实部为________.
12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.
13.设的内角A，B，C的对边分别为,且,则________.
14.设,则的最大值为 ________.
15.在区间上随机地选择一个数，则方程有两个负根的概率为________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分)
已知等差数列满足，前3项和=.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足=，=，求前n项和.

17、(本小题满分13分，（Ⅰ）小问10分，（Ⅱ）小问3分)
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10

（Ⅰ）求关于的回归方程
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中

18、(本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分)
已知函数.
（Ⅰ）求的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像.当时，求的值域.

19、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分)
已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）确定的值；
（Ⅱ）若，讨论的单调性.

20、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分)
如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
（Ⅰ）证明：AB平面PFE.
（Ⅱ）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

21、(本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分)
如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.
（Ⅰ）若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分。
1.C 2.A 3.D 4.B 5.B
6.A 7.C 8.D 9.C 10.B
二、填空题：每小题5分，满分25分。
11. -2 12. 13. 4 14. 15.
三、解答题：满分75分。
16.（本题13分）
解：（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得

化简得，
解得，
故通项公式，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
设的公比为，则，从而，
故的前项和

17.（本题13分）
解：（Ⅰ）列表计算如下

1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
1
4
9
16
25
5
12
21
32
50

15
36
55
120
这里
又，
从而，
故所求回归方程为
（Ⅱ）将代入回归方程课预测该地区2015年的人民币储蓄存款为（千亿元）
18.（本题13分）
解：（Ⅰ）

因此的最小正周期为，最小值为
（Ⅱ）由条件可知：
当时，有，从而的值域为，那么的值域为
故在区间上的值域是
19.（本题12分）
解：（Ⅰ）对求导的，
因为在处取得极值，所以，
即，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
故

令，解得或
当时，，故为减函数；
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数；
当时，，故为增函数.
综上知在和内为减函数，在和内为增函数.
20.（本题12分）
（Ⅰ）证明：
如答（20）图，由知，为等腰中边的中点，故.
又平面平面，平面平面平面，所以平面，从而.
因，故.
从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面.
（Ⅱ）解：
设，则在直角中，
，
从而.
由知，，得，故，即.
由，
从而四边形的面积为

由（Ⅰ）知，平面，所以为四棱锥的高.
在直角中，.
体积，
故得，解得或，由于，可得或.
所以，或.
21.（本题12分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义，，故.
设椭圆的半焦距为，由已知，因此

即，从而
故所求椭圆的标准方程为
（Ⅱ）如答（21）图，由，得

由椭圆的定义，，
进而
于是
解得，故

由勾股定理得
，
从而，
两边除以，得

若记，则上式变成

由，并注意到关于的单调性，得，即.进而，即