2023版高考数学一轮复习核心素养测评七十排列组合与二项式定理理北师大版.doc

核心素养测评七十 排列、组合与二项式定理
(25分钟　50分)
一、选择题(每题5分,共35分)
1.2023年寒假期间,有A,B,C,D,E,F6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,考虑到同学们到贫困村的距离问题,同学A不去甲村,同学B不去乙村,那么安排方法共有 (　　)
A.30种 B.40种 C.42种 D.48种
【解析】选C.6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,共有:=90种安排方法,其中A去甲村的情况有:=30种,B去乙村的情况有:=30种,A去甲村,同时B去乙村的情况有:=12种,所以符合题意的安排方法有:90-30-30+12=42种.
2.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,那么不同的安排方式共有 (　　)
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【解析】选D.由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为··=36(种).
【一题多解】选D.··=3××2=36(种).
3.甲、乙、丙、丁、戊5个人去某景区游玩,该景区仅有A、B两个景点,假设这两个景点都必须有人去游玩且每人只能游玩一个景点,那么所有的情况有
(　　)
A.15种 B.30种 C.45种 D.60种
【解析】选B.依题意,所有的情况有·=30(种).
4.(+)100的展开式中,无理数项的个数是 (　　)
A.84 B.85 C.86 D.87
【解析】选A.(+)100展开式的通项为
Tr+1=()100-r·()r=·×,
r=0,1,2,…,100,所以当r是6的倍数时,Tr+1为有理项,所以r=0,6,12,…,96,共17项,
因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是101-17=84.
【变式备选】
在的展开式中,x2的系数为________________. 
【解析】的展开式中,通项公式为Tr+1=(2x)5-r
=(-1)r25-r,
令5-r=2,解得r=2,
所以x2的系数=23=80.
答案:80
5.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的桔祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个桔祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么选法有
(　　)
A.30种 B.50种 C.60种 D.90种
【解析】选B.
假设同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=20种选法,
假设同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=30种选法,
所以共有20+30=50种.
【变式备选】
第一届“一带一路〞国际合作顶峰论坛于2023年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国元首的平安,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,那么这样的安排方法共有 (　　)
A.96种　 B.100种　 C.124种　 D.150种
【解析】选D.因为三个区域每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,有两种分组的情况:一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时,共有N1=·=60(种),当按照1,2,2来分时,共有N2=·=90(种),根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.
6.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,假设a1+a2+…+an=63,那么展开式中系数最大的项是
(　　)
A.15x3 B.20x3 C.21x3 D.35x3
【解析】选B.在(1+x)n=a0+a1x+…+anxn中,
令x=1得2n=a0+a1+a2+…+an;
令x=0,得1=a0,
所以a1+a2+…+an=2n-1=63,所以n=6.
而(1+x)6的展开式中系数最大的项为
T4=x3=20x3.
【变式备选】
(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,那么(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为 (　　)
A.39　　　B.310　　　C.311　　　D.312
【解析】选D.由题意得,
因为(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,
两边同时求导,可得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8,令x=1,
得a1+2a2+3a3+…+9a9=310,令x=-1,
得a1-2a2+3a3-4a4+…+9a9=9,
又(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+
8a8+9a9)·(a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7-8a8+9a9)=310×9=312.
7.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有
(　　)
A.34种　B.48种　C.96种　D.144种
【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,那么从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,
又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=48种结果,
根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果.
二、填空题(每题5分,共15分)
8.(2023·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,那么不同的选法共有________________种.(用数字填写答案) 
【解析】恰有1位女生,有=12种,
恰有2位女生,有=4种,
所以不同的选法共有12+4=16种.
答案:16
【变式备选】
有编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,要求1号车必须在3号车前出发,共有________________种出发顺序. 
【解析】编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,共有种出发顺序,要求1号车必须在3号车前出发,所以有=6×5×4×3=360(种)出发顺序.
答案:360
9.在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,那么展开式中常数项的值为________________. 
【解析】在二项式的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,即A=4n,二项展开式中的二项式系数之和为2n,即B=2n.因为A+B=72,所以4n+2n=72,解得n=3,所以=的展开式的通项为Tr+1=()3-r=3r,令=0,得r=1,故展开式中的常数项为T2=3×=9.
答案:9
10.平面上有9个红点,5个黄点,其中2个红点,2个黄点共4个点在同一条直线上,其余再无三点共线,以这些点为顶点且三个顶点颜色不完全相同的三角形的个数是____________________.  
【解题指南】先考虑全部14个点确定的三角形,再排除不符合条件的情形.
【解析】由9+5=14个点中选取3个点有种方法,其中3个点共线的情形有种,3个点都是红色的情形有种,3个点都是黄色的情形有种,所以满足要求的三角形的个数为---=266.
答案:266
(25分钟　45分)
1.(5分)把一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全局部给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是
(　　)
A.168 B.96 C.72 D.144
【解析】选D.根据题意,有2个人各得1张,有2个人各得2张,先把这6张电影票分成4种情形,有种方法,再把这4种情况全排列,有种方法,所以不同的分法种数是=144.
【一题多解】选D.先把6张票分成4份,有以下情况:12,34,5,6;12,3,45,6;12,3,4,56;1,23,45,6;1,23,4,56;1,2,34,56共6种方法,
再把每一种情形对应分给4个人,有种方法,所以不同的分法种数是6=144.
2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是 (　　)
A.56 B.84 C.112 D.168
【解析】选D.根据(1+x)8和(1+y)4的展开式的通项公式可得,x2y2的系数为=168.
3.(5分)大数据时代出现了滴滴打车效劳,二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,那么乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自一个家庭的乘坐方式共有 (　　)
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
【解析】选B.当A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时,那么另两个小孩,是另外两个家庭的一个小孩,有2××22=24种方法.
4.(10分)如表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.假设表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?
学　　校
专　　业
1
1
2
2
1
2
3
1
2
【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,那么在4所学校中选出3所并排列,共有种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有··种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同的填表方法有:···=5 184种.
5.(10分)的展开式中的常数项等于
的展开式中的二项式系数和.
(1)求的展开式的各项系数和.
(2)求55n除以8的余数.
【解析】因为的展开式中的通项公式为Tr+1=(4)5-r
=45-r,
所以当r=2时取得常数项, 常数项T3=43=27,因为的展开式中的二项式系数和为2n,
所以2n=27即n=7.
(1)令a=1,可得展开式的各项系数和为27=128.
(2)557=(56-1)7=·567-·566+…+·56-,所以其除以8的余数为7.
6.(10分)有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内,
(1)共有多少种放法?
(2)恰有1个盒子不放球,有多少种放法?
(3)恰有1个盒子放2个球,有多少种放法?
(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?
【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44=256(种).
(2)为保证“恰有1个盒子不放球〞,先从4个盒子中任意拿走1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有种分法;然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球,2个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理知,共有放法···=144(种).
(3)“恰有1个盒子放2个球〞,即另外的3个盒子放剩下的2个球,而每个盒子至多放1个球,即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此,“恰有1个盒子放2个球〞与“恰有1个盒子不放球〞是一回事,故也有144种放法.
(4)先从4个盒子中任意拿走2个,有种拿法,问题转化为:“4个球,2个盒子,每盒必放球,有几种放法〞,从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类:第1类,可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有·种放法;第2类,有种放法.因此共有·+=14(种).由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球〞的放法有×14=84(种).