2023版高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲1绝对值不等式练习理北师大版.doc

1 绝对值不等式
核心考点·精准研析
考点一　绝对值不等式的解法 
1.求不等式|1-2x|<1的解集.
2.求不等式|x-5|+|x+3|≥6的解集.
3.求不等式x+|2x+3|≥2的解集.
【解析】1.因为|1-2x|<1,所以|2x-1|<1,
所以-1<2x-1<1,所以0<x<1,
所以不等式的解集为{x|0<x<1}.
2.因为|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8>6,所以原不等式的解集为R.
3.因为原不等式可化为或
解得x≤-5或x≥-.
综上,原不等式的解集是.
　解绝对值不等式的根本方法
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
考点二　绝对值不等式性质的应用 
【典例】(2023·重庆模拟)函数f(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)>x+5.
(2)假设对于任意x,y∈R,有|x-3y-1|<,|2y+1|<,求证f(x)<1.
【解题导思】
联想解题
(1)去绝对值,解不等式
(2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1
【解析】(1)f(x)>x+5⇒|2x+1|>x+5
⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5,
所以解集为{x|x>4或x<-2}.
(2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|
≤2|x-3y-1|+3|2y+1|<+=1.
　利用不等式|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R)和|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.
1.假设对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.
【解析】因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|
≤2|x-1|+3|y+1|≤7,
所以|2x+3y+1|的最大值为7.
2.假设a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.
【证明】因为|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,
所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.
考点三　 绝对值不等式的综合应用  
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查解不等式、求参数、图像、恒成立及存在性等问题
(2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想方法
2.怎么考:与函数、方程、图像等结合考查关于绝对值不等式的问题
3.新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用
学
霸
好
方
法
求参数问题的解题思路
(1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式
(2)参数在绝对值外时,结合图像,最值等问题,利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决
含有参数的绝对值不等式问题
【典例】f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)假设x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立,
等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
假设a≤0,那么当x∈(0,1)时|ax-1|≥1,不满足题意;
假设a>0,那么|ax-1|<1的解集为,
所以≥1,
故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
函数图像与绝对值不等式
【典例】(2023·全国卷Ⅲ)设函数f=+.
(1)画出y=f的图像;　　
(2)当x∈时, f≤ax+b,求a+b的最小值.　　
【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图像如下图.
(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各局部所在直线斜率的最大值为3,
故当且仅当a≥3且b≥2时,
f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,
因此a+b的最小值为5.
恒成立和存在性问题
【典例】(2023·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.
(2)假设f(x)≤1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
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