高优指导2021版高考数学一轮复习第七章不等式33二元一次不等式组与简单的线性规划问题考点规范练文北师大版.doc

考点规范练33　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
　考点规范练A册第25页　 
基础巩固组
1.如果点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为(　　)

A.2 B.1 C.3 D.0
答案:B
解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,
即(b-2)<0,解得<b<2,
则b应取的整数为1.
2.(2015山东临沂检测)若x,y满足约束条件则z=x-y的最小值是(　　)
A.-3 B.0 C. D.3
答案:A
解析:作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部).平移直线z=x-y,易知当直线z=x-y经过点C(0,3)时,目标函数z=x-y取得最小值,即zmin=-3.

3.

给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　)
A. B.
C.2 D.〚导学号32470782〛
答案:B
解析:直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.
∵kAC=-,∴-a=-,即a=.
4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为(　　)
A.2 B.5 C.8 D.10
答案:B
解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+表示直线y=-x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.

5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是(　　)
A.(1-,2) B.(0,2) C.(-1,2) D.(0,1+)〚导学号32470783〛
答案:A
解析:由顶点C在第一象限且与A,B构成正三角形可求得点C坐标为(1+,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,综合可知z的取值范围为(1-,2).
6.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.

(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.
7.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
答案:D

解析:如图,作出所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k==-.故选D.
8.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为(　　)
A.5 B.29 C.37 D.49〚导学号32470784〛
答案:C

解析:由题意,画出可行域Ω,圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,所以b=1.
所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a∈[-2,6].
所以a2+b2=a2+1∈[1,37],
所以a2+b2的最大值为37.故选C.
9.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为　　　　. 
答案:3
解析:画出可行域如图所示.

画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.
10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　　　　.〚导学号32470785〛 
答案:
解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.

由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=.
11.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.求通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.
解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,
则z=300x+400y,

在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,
当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,
此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,
即该公司可获得的最大利润是2 800元.
能力提升组
12.(2015重庆,文10)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(　　)
A.-3 B.1 C. D.3〚导学号32470786〛
答案:B
解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.

由解得则A(2,0).
由解得
则B(1-m,1+m).
同理C,M(-2m,0).
因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=·(2+2m)·,由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).
13.(2015吉林通化一模)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为　. 
答案:1
解析:∵=1+,
而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,
∴可作出可行域,由题意知的最小值是,
即⇒a=1.

14.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 
答案:
解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y,即y=-ax+z.

作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在A(1,0),B(2,1),C处取得.
故由1≤z≤4恒成立,可得
解得1≤a≤.
15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为　　　　　. 
答案:2
解析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为l:y=-x+.由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,又a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.

4