2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科).docx

2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合，那么A∩B=〔　　〕
A．〔4，9〕 B．〔9，+∞〕 C．〔10，+∞〕 D．〔9，10〕
2．〔5分〕假设复数z=5+3i，且iz=a+bi〔a，b∈R〕那么a+b=〔　　〕
A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8
3．〔5分〕如表是我国某城市在2022年1月份至10月份各月最低温与最高温〔°C〕的数据一览表．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，那么以下结论错误的选项是〔　　〕
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差〔最高温减最低温〕的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差〔最高温减最低温〕相对于7月至10月，波动性更大
4．〔5分〕设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，那么d=〔　　〕
A．4 B．3 C．2 D．1
5．〔5分〕假设是第二象限角，那么=〔　　〕
A． B．5 C． D．10
6．〔5分〕双曲线的实轴长为8，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔　　〕
A． B． C． D．
7．〔5分〕假设实数x，y满足约束条件，那么z=4x﹣y的最大值为〔　　〕
A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12
8．〔5分〕如下列图的程序框图，运行程序后，输出的结果等于〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
9．〔5分〕函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g〔x〕=sinwx的图象，那么φ=〔　　〕
A． B． C． D．
10．〔5分〕f〔x〕=的局部图象大致是〔　　〕
A． B． C． D．
11．〔5分〕如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，那么该多面体外接球的外表积为〔　　〕
A．52π B．45π C．41π D．34π
12．〔5分〕设函数f〔x〕在R上存在导函数f'〔x〕，对于任意实数x，都有f〔x〕=6x2﹣f〔﹣x〕，当x∈〔﹣∞，0〕时，2f'〔x〕+1＜12x假设f〔m+2〕≤f〔﹣2m〕+12﹣9m2，那么m的取值范围为〔　　〕
A．[﹣1，+∞〕 B． C． D．[﹣2，+∞〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，那么向量与夹角的余弦值为．
14．〔5分〕数列{an}满足，且a2=2，那么a4=．
15．〔5分〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，那么B1E的长度为．
16．〔5分〕抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P〔x00〕，那么x0的取值范围是．〔用区间表示〕
三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，，bsinC=2sinB．
〔1〕求b的值；
〔2〕求△ABC的面积．
18．〔12分〕共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共效劳区等提供自行车单车共享效劳，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好效劳社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间〔单位：分钟〕，由统计数据得到如下频率分布直方图，骑行时间在[60，80〕，[20，40〕，[40，60〕三组对应的人数依次成等差数列
〔1〕求频率分布直方图中a，b的值．
〔2〕假设将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户〞，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户〞，现从上述“忠实用户〞与“潜力用户〞的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户〞的概率．
19．〔12分〕如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥平面ABCD，PE=．
〔1〕证明：平面PAC⊥平面PBE；
〔2〕设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．
20．〔12分〕椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，假设直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕过点F1的直线l〔直线l的斜率不为1〕与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，假设，求直线l的斜率．
21．〔12分〕函数f〔x〕=2〔x﹣1〕ex．
〔1〕假设函数f〔x〕在区间〔a，+∞〕上单调递增，求f〔a〕的取值范围；
〔2〕设函数g〔x〕=ex﹣x+p，假设存在x0∈[1，e]，使不等式g〔x0〕≥f〔x0〕﹣x0成立，求p的取值范围．
22．〔10分〕曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．〔p∈R〕
〔Ⅰ〕求A、B两点的极坐标；
〔Ⅱ〕曲线C1与直线〔t为参数〕分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
23．函数f〔x〕=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
〔1〕当a=﹣1时，解不等式f〔x〕≤1；
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4，求a的取值范围．
2022年甘肃省张掖市高考数学一模试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．〔5分〕假设集合，那么A∩B=〔　　〕
A．〔4，9〕 B．〔9，+∞〕 C．〔10，+∞〕 D．〔9，10〕
【解答】解：A={x|x＞9}，B={x|4＜x＜10}，
那么A∩B={x|9＜x＜10}=〔9，10〕，
应选：D．
2．〔5分〕假设复数z=5+3i，且iz=a+bi〔a，b∈R〕那么a+b=〔　　〕
A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8
【解答】解：复数z=5+3i，且iz=a+bi〔a，b∈R〕，
可得﹣3+5i=a+bi，．
解得a=﹣3，b=5，
∴a+b=2．
应选：A．
3．〔5分〕如表是我国某城市在2022年1月份至10月份各月最低温与最高温〔°C〕的数据一览表．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，那么以下结论错误的选项是〔　　〕
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差〔最高温减最低温〕的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差〔最高温减最低温〕相对于7月至10月，波动性更大
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，那么A正确；
对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，那么B错误；
对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；
对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确；
应选：B．
4．〔5分〕设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，那么d=〔　　〕
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，
∴，
解得a1=5，d=2．
应选：C．
5．〔5分〕假设是第二象限角，那么=〔　　〕
A． B．5 C． D．10
【解答】解：∵是第二象限角，
∴tanα=﹣，可得：cosα=﹣=﹣，
∴====10．
应选：D．
6．〔5分〕双曲线的实轴长为8，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的实轴长为8，
可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2〔舍去〕．
所以，双曲线的渐近线方程为：．
那么该双曲线的渐近线的斜率：．
应选：C．
7．〔5分〕假设实数x，y满足约束条件，那么z=4x﹣y的最大值为〔　　〕
A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12
【解答】解：实数x，y满足约束条件，
表示的平面区域如下列图，
当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，
由解得A〔3，0〕，
在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．
应选：D．
8．〔5分〕如下列图的程序框图，运行程序后，输出的结果等于〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
a=2，s=0，n=1，
s=2，a=，
满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，
满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，
此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．
应选：B．
9．〔5分〕函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g〔x〕=sinwx的图象，那么φ=〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数的最小正周期为6π，
∴=6π，那么ω=，
那么f〔x〕=sin〔x+φ〕，图象向右平移个单位后得到y=sin[〔x﹣〕+φ]=sin〔x﹣+φ〕=sinx，
此时﹣+φ=2kπ，得φ=+2kπ，
∵|φ|＜，∴φ=，
应选：A
10．〔5分〕f〔x〕=的局部图象大致是〔　　〕
A． B． C． D．
【解答】解：∵f〔﹣x〕=f〔x〕∴函数f〔x〕为奇函数，排除A，
∵x∈〔0，1〕时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f〔x〕＜0，故排除B；
当x→+∞时，f〔x〕→0，故排除C；
应选：D
11．〔5分〕如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，那么该多面体外接球的外表积为〔　　〕
A．52π B．45π C．41π D．34π
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．
设AC∩BD=O，那么OA=OB=OC=OD=，OP=，
∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的外表积为S=4πR2=52π．
应选：A
12．〔5分〕设函数f〔x〕在R上存在导函数f'〔x〕，对于任意实数x，都有f〔x〕=6x2﹣f〔﹣x〕，当x∈〔﹣∞，0〕时，2f'〔x〕+1＜12x假设f〔m+2〕≤f〔﹣2m〕+12﹣9m2，那么m的取值范围为〔　　〕
A．[﹣1，+∞〕 B． C． D．[﹣2，+∞〕
【解答】解：∵f〔x〕﹣3x2+f〔﹣x〕﹣3x2=0，
设g〔x〕=f〔x〕﹣3x2，
那么g〔x〕+g〔﹣x〕=0，
∴g〔x〕为奇函数，
又g′〔x〕=f′〔x〕﹣6x＜﹣，
∴g〔x〕在x∈〔﹣∞，0〕上是减函数，从而在R上是减函数，
又f〔m+2〕≤f〔﹣2m〕+12m+12﹣9m2
等价于f〔m+2〕﹣3〔m+2〕2≤f〔﹣2m〕﹣3〔﹣2m〕2，
即g〔m+2〕≤g〔﹣2m〕，
∴m+2≥﹣2m，
解可得：m≥﹣；
应选：C．
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
13．〔5分〕向量，，那么向量与夹角的余弦值为．
【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，
向量，，
那么||=2，||=5，且•=2×〔﹣3〕+〔﹣4〕×〔﹣4〕=10，
cosθ===，
故答案为：．
14．〔5分〕数列{an}满足，且a2=2，那么a4=　11　．
【解答】解：∵，
∴=2
∴{an+1}是公比q=2的等比数列，
那么=22=4，
即=4，那么a4+1=3×4=12，
那么a4=11，
故答案为：11．
15．〔5分〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，那么B1E的长度为．
【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
可得A〔0，3，0〕，B〔3，3，0〕，F〔0，0，〕，B1〔3，3，3〕，
E〔3，t，0〕，
那么=〔0，t﹣3，﹣3〕，=〔3，0，0〕，=〔﹣3，﹣3，〕，
B1E⊥平面ABF，
可得B1E⊥AB，B1E⊥BF，
即•=0，•=0，
即有0×3+〔t﹣3〕×0+﹣3×0=0，
0×〔﹣3〕+〔t﹣3〕×〔﹣3〕+〔﹣3〕×=0，
解得t=，
那么=〔0，﹣，﹣3〕，
可得B1E的长度为=．
故答案为：．
16．〔5分〕抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P〔x00〕，那么x0的取值范围是　〔1，+∞〕　．〔用区间表示〕
【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M．
直线AB的方程为y=kx+m，〔k≠0〕
得ky2﹣2y+2m=0
，
△=4﹣8km＞0⇒km＜
xM═，yM=
⇒直线PM的方程为y﹣=﹣
令y=0，得x0=
∵
∴x0=＞1
故答案为：〔1，+∞〕
三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕
17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，，bsinC=2sinB．
〔1〕求b的值；
〔2〕求△ABC的面积．
【解答】解：〔1〕∵bsinC=2sinB，
∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，
由余弦定理得．
∴；
〔2〕∵a=4，c=2，．
∴．
18．〔12分〕共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共效劳区等提供自行车单车共享效劳，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好效劳社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间〔单位：分钟〕，由统计数据得到如下频率分布直方图，骑行时间在[60，80〕，[20，40〕，[40，60〕三组对应的人数依次成等差数列
〔1〕求频率分布直方图中a，b的值．
〔2〕假设将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户〞，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户〞，现从上述“忠实用户〞与“潜力用户〞的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户〞的概率．
【解答】解：〔1〕由〔0.0025×2+0.0075+3a〕×20=1
解得a=0.0125，
又b+0.0165=2a=0.0025，∴b=0.0085．
〔2〕“忠实用户〞“潜力用户〞的人数之比为：〔0.0075+0.0025〕：〔0.0125+0.0025〕=2：3，
所以“忠实用户〞抽取人，
“潜力用户〞抽取人，
记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户〞
设两名“忠实用户〞的人记为：B1，B2，三名“潜力用户〞的人记为：b1，b2，b3，
那么这5人中任选3人有：
〔B1，B2，b1〕，〔B1，B2，b2〕，〔B1，B2，b3〕，〔B1，b1，b2〕，〔B1，b1，b3〕〔B1，b2，b3〕，
〔B2，b1，b2〕，〔B2，b1，b3〕，〔B1，b2，b3〕，〔b1，b2，b3〕，共10种情形，
符合题设条件有：
〔B1，b1，b2〕，〔B1，b1，b3〕，〔B1，b2，b3〕，〔B2，b1，b2〕，〔B2，b1，b3〕，〔B1，b2，b3〕共有6种，
因此恰好1人为“忠实用户〞的概率为．
19．〔12分〕如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥平面ABCD，PE=．
〔1〕证明：平面PAC⊥平面PBE；
〔2〕设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．
【解答】证明：〔1〕因为四边形ABCD是矩形，，
所以，
又，
所以△ABC～△BCE，∠BCE=∠ACB，
因为，
所以AC⊥BE，
又PE⊥平面ABCD，所以AC⊥PE，
又面PE∩BE=E，所以AC⊥平面PBE．
〔2〕因为，所以，
又BC=3，CG⊥PB，
所以G为棱PB的中点，G到平面ABC的距离等于，
由〔1〕知△ABF～△CEF，所以，
所以，
所以．
20．〔12分〕椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，假设直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕过点F1的直线l〔直线l的斜率不为1〕与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，假设，求直线l的斜率．
【解答】解：〔1〕根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，
由直线MF1的斜率1，得，
因为a2=b2+c2，所以b=1，c=1，
所以椭圆的标准方程为．
〔2〕由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得，解得N〔﹣，﹣〕，
所以，
因为，即，
所以|QF1|=2|PF1|，
当直线l的斜率为0时，不符合题意，
故设直线l的方程为x=my﹣1，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，
由点P在点Q的上方，且|y2|=|2y1|，
那么有y2=﹣2y1，
联立，所以〔m2+2〕y2﹣2my﹣1=0，所以，
消去y2得，所以，得，
又由画图可知不符合题意，所以，
故直线l的斜率为．
21．〔12分〕函数f〔x〕=2〔x﹣1〕ex．
〔1〕假设函数f〔x〕在区间〔a，+∞〕上单调递增，求f〔a〕的取值范围；
〔2〕设函数g〔x〕=ex﹣x+p，假设存在x0∈[1，e]，使不等式g〔x0〕≥f〔x0〕﹣x0成立，求p的取值范围．
【解答】解：〔1〕由f'〔x〕=2xex＞0，得x＞0，
所以f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，所以a≥0，所以f〔a〕≥f〔0〕=﹣2，
所以f〔a〕的取值范围是[﹣2，+∞〕．
〔2〕因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，
所以存在x0∈[1，e]，使成立，
令h〔x〕=〔2x﹣e〕ex，从而p≥h〔x〕min，h'〔x〕=〔2x﹣1〕ex，
因为x≥1，所以2x﹣1≥1，ex＞0，所以h'〔x〕＞0，
所以h〔x〕=〔2x﹣e〕ex在[1，e]上单调递增，
所以h〔x〕min=h〔1〕=﹣e，所以p≥﹣e，
实数p的取值范围是[﹣e，+∞〕．
22．〔10分〕曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．〔p∈R〕
〔Ⅰ〕求A、B两点的极坐标；
〔Ⅱ〕曲线C1与直线〔t为参数〕分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
【解答】解：〔Ⅰ〕由得：，
∴ρ2=16，
即ρ=±4．
∴A、B两点的极坐标为：或．
〔Ⅱ〕由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2〔cos2θ﹣sin2θ〕=8，
得到普通方程为x2﹣y2=8．
将直线代入x2﹣y2=8，
整理得．
∴|MN|==．
23．函数f〔x〕=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．
〔1〕当a=﹣1时，解不等式f〔x〕≤1；
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4，求a的取值范围．
【解答】解：〔1〕当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；
当x≤﹣3时，不等式转化为﹣〔x+1〕+〔x+3〕≤1，不等式解集为空集；
当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣〔x+1〕﹣〔x+3〕≤1，解之得；
当x≥﹣1时，不等式转化为〔x+1〕﹣〔x+3〕≤1，恒成立；
综上所求不等式的解集为．
〔2〕假设x∈[0，3]时，f〔x〕≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，
又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，
所以a的取值范围为[﹣7，7]．