2022届高考数学总复习教学案函数的定义域和值域.docx

第二节函数的定义域和值域
[知识能否忆起]
1．常见根本初等函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝ax，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
(5)y＝tan x的定义域为.
(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
2．根本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．
(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]．
(7)y＝tan x的值域是R.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)假设f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]，那么f(x)的值域为(　　)
A．[－1,8]B．[－1,16]
C．[－2,8]D．[－2,4]
答案：A　
2．函数y＝的值域为(　　)
A．R B.
C.D.
解析：选D　∵x2＋2≥2，∴0<≤.∴0<y≤.
3．(2022·山东高考)函数f(x)＝＋ 的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]D．(－1,2]
解析：选B　x满足即
解得－1<x<0或0<x≤2.
4．(教材习题改编)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由得x≥4且x≠5.
答案：{x|x≥4，且x≠5}
5．(教材习题改编)假设有意义，那么函数y＝x2＋3x－5的值域是________．
解析：∵有意义，∴x≥0.
又y＝x2＋3x－5＝2－－5，
∴当x＝0时，ymin＝－5.
答案：[－5，＋∞)
函数的最值与值域的关系
函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．
[注意]求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．

求函数的定义域
典题导入
[例1](1)(2022·大连模拟)求函数f(x)＝的定义域；
(2)函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域．
[自主解答](1)要使该函数有意义，需要那么有
解得－3<x<0或2<x<3，
所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)．
(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，
即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，
故f(x)的定义域为.
假设本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．
解：∵函数f(x)的定义域是[－1,1]，
∴－1≤x≤1，∴－1≤log2x≤1，∴≤x≤2.
故f(log2x)的定义域为.
由题悟法
简单函数定义域的类型及求法
(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)对抽象函数：
①假设函数f(x)的定义域为[a，b]，那么函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②假设函数f(g(x))的定义域为[a，b]，那么f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
以题试法
1．(1)函数y＝的定义域是________．
(2)(2022·沈阳质检)假设函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，那么函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是(　　)
A．[－2,3]B．[－1,3]
C．[－1,4]D．[－3,5]
解析：(1)由得
所以函数的定义域为∪(1,2]．
(2)由题意可得
解不等式组可得－1≤x≤4.
所以函数g(x)的定义域为[－1,4]．
答案：(1)∪(1,2]　(2)C

求函数的值域
典题导入
[例2]求以下函数的值域．
(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；
(2)y＝；
(3)y＝x＋(x<0)；
(4)f(x)＝x－.
[自主解答](1)(配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，
∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．
(2)y＝＝－1，∵1＋x2≥1，
∴0<≤2.
∴－1<－1≤1.即y∈(－1,1]．
∴函数的值域为(－1,1]．
(3)∵x<0，∴x＋＝－≤－4，
当且仅当x＝－2时等号成立．
∴y∈(－∞，－4]．
∴函数的值域为(－∞，－4]．
(4)法一：(换元法)令＝t，那么t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
法二：(单调性法)f(x)的定义域为容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤f＝，
即函数的值域是.
由题悟法
求函数值域常用的方法
(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))．
(2)换元法(例(4))．
(3)根本不等式法(例(3))．
(4)单调性法(例(4))．
(5)别离常数法(例(2))．
[注意]求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适中选择．
以题试法
2．(1)函数y＝的值域为________．
(2)(2022·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕〞如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，那么函数f(x)的值域为________．
解析：(1)y＝＝＝1－，
因为≠0，所以1－≠1，
即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．
(2)由题意知f(x)＝
当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；
当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，
即当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．
答案：(1){y|y∈R，y≠1}　(2)[－4,6]

与函数定义域、值域有关的参数问题
典题导入
[例3](2022·合肥模拟)假设函数f(x)＝ 的定义域为R，那么a的取值范围为________．
[自主解答]函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
[答案][－1,0]
由题悟法
求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而
解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用别离参数法，有时还可利用数形结合法．
以题试法
3．(2022·烟台模拟)函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a，b)共有________个．
解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2，得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．
答案：5
　　　函数的值域由函数的定义域和对应关系完全
确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求
法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的
困难，解题时，假设方法适当，能起到事半功倍的
作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、
别离常数法、根本不等式法、单调性法(以上例2
都已讲解)、判别式法、数形结合法等．
1．数形结合法
利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
[典例1]对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的值域是________．
[解析]f(x)＝
由图象知函数的值域为.
[答案]
[题后悟道]利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：
(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(2)两点间的距离： 可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离．
针对训练
1．函数y＝＋的值域为________．
解析：函数y＝f(x)的几何意义为：平面内一点P(x,0)到两点A(－3,4)和B(5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)．连接AB′交x轴于一点P即为所求的点，最小值y＝|AB′|＝＝10.
即函数的值域为[10，＋∞)．
答案：[10，＋∞)
2．判别式法
对于形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y的取值范围，即为原函数的值域．
[典例2]函数y＝的值域为________．
[解析]法一：(配方法)
∵y＝1－，
又x2－x＋1＝2＋≥，
∴0<≤，∴－≤y<1.
∴函数的值域为.
法二：(判别式法)
由y＝，x∈R，
得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.
∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
∴－≤y<1.
∴函数的值域为.
[答案]
[题后悟道]此题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，那么在a(y)≠0时，假设x∈R，那么Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a(y)＝0时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定a(y)＝0时y的值的取舍．
针对训练
2．函数y＝的最大值为7，最小值为－1，那么m＋n的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　　B．4
C．6 D．7
解析：选C　函数式可变形为(y－m)x2－4x＋(y－n)＝0，x∈R，由得y－m≠0，所以Δ＝(－4)2－4(y－m)·(y－n)≥0，即y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0，①
由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，那么－1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
代入得，解得或
所以m＋n＝6.
求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．
1．函数y＝＋lg(2x－1)的定义域是(　　)
A.B.
C.D.
解析：选C　由得x>.
2．(2022·汕头一测)集合A是函数f(x)＝的定义域，集合B是其值域，那么A∪B的子集的个数为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
解析：选C　要使函数f(x)的解析式有意义，那么需解得x＝1或x＝－1，所以函数的定义域A＝{－1,1}．而f(1)＝f(－1)＝0，故函数的值域B＝{0}，所以A∪B＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.
3．以下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
解析：选C　由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.
4．(2022·长沙模拟)以下函数中，值域是(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝B．y＝(x∈(0，＋∞))
C．y＝(x∈N) D．y＝
解析：选D　选项A中y可等于零；选项B中y显然大于1；选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)；选项D中|x＋1|>0，故y>0.
5．等腰△ABC周长为10，那么底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，那么函数的定义域为(　　)
A．R B．{x|x>0}
C．{x|0<x<5} D.
解析：选C　由题意知即0<x<5.
6．函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，那么其值域是(　　)
A．(－∞，0)∪B．(－∞，2]
C.∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选A　∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，
故x－1∈(－∞，0)∪[1,4)，
∴∈(－∞，0)∪.
7．(2022·安阳4月模拟)函数y＝＋的定义域是________．
解析：由得
那么所以定义域是{x|－1≤x<1，或1<x<2}．
答案：{x|－1≤x<1，或1<x<2}
8．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：y＝－x＝－()2＋＝－2＋，
即ymax＝.
答案：
9．(2022·太原模考)函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，那么函数f(x＋2)的定义域为____________，值域为__________．
解析：由可得x＋2∈[0,1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f(x＋2)的值域仍为[1,2]．
答案：[－2，－1][1,2]
10．求以下函数的值域．
(1)y＝；(2)y＝2x－1－.
解：(1)y＝＝
＝－＋，
因为≠0，所以y≠－，
所以函数y＝的值域为.
(2)法一：(换元法)设＝t，
那么t≥0，x＝，
于是y＝g(t)＝2·－1－t
＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，
显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
所以g(t)≤g(0)＝，
因此函数的值域是.
法二：(单调性法)函数定义域是，
当自变量x增大时，2x－1增大，减小，
所以2x－1－增大，
因此函数f(x)＝2x－1－在其定义域上是单调递增函数，
所以当x＝时，函数取得最大值f＝，
故函数的值域是.
11．假设函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a、b的值．
解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－，∴其对称轴为x＝1.
即[1，b]为f(x)的单调递增区间．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b②
由①②解得
12．(2022·宝鸡模拟)函数g(x)＝＋1, h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝，x∈[0，a](a>0)．
(2)函数f(x)的定义域为，
令＋1＝t，那么x＝(t－1)2，t∈，
f(x)＝F(t)＝＝，
当t＝时，t＝±2∉，又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈.
即函数f(x)的值域为.
1．函数y＝2－的值域是(　　)
A．[－2,2]B．[1,2]
C．[0,2]D．[－，]
解析：选C　－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，
0≤≤2，
－2≤－≤0，
0≤2－≤2，所以0≤y≤2.
2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1，函数f(x)＝|logx|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，那么区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．
解析：由函数f(x)＝|logx|的图象和值域为[0,2]知，当a＝时，b∈[1,4]；当b＝4时，a∈，所以区间[a，b]的长度的最大值为4－＝，最小值为1－＝.
所以区间长度的最大值与最小值的差为－＝3.
答案：3
3．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)行车所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，
即x＝18时，上述不等式中等号成立．
当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．
1．函数f(x)＝2＋，那么函数f(x)的值域为(　　)
A．[2,4]B．[0,2 ]
C．[4,2 ] D．[2,2 ]
解析：选D　∵x∈[0,4]，∴可令x＝4cos2θ，θ∈，
那么y＝2·2cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)，tan φ＝2.
又0≤θ≤，φ≤θ＋φ≤＋φ，
故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝，
∴2≤y≤2.
2．假设函数f(x)＝ 的定义域为R，求实数a的取值范围．
解：由函数的定义域为R，可知对x∈R，f(x)恒有意义，即对x∈R，(a2－1)x2＋(a－1)x＋≥0恒成立．
①当a2－1＝0，即a＝1(a＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R恒成立，故a＝1符合题意；
②当a2－1≠0，即a≠±1时，那么有
解得1<a≤9.
综上，可得实数a的取值范围是[1,9]．