2022江苏省南京市中考数学试卷.docx

2022年江苏省南京市中考数学试卷
〔总分值120分，考试时间120分钟〕
一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，总分值12分，在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上〕
1．〔2022江苏省南京市，1，2分〕以下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔 〕
A． B． C． D．
【答案】C
2．〔2022江苏省南京市，2，2分〕计算(－a2)3的结果是
A．a5 B．－a5 C．a6 D．－a6
【答案】D；
3．〔2022江苏省南京市，3，2分〕假设△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，那么△ABC与△A′B′C′的面积的比为
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
【答案】C
4．〔2022江苏省南京市，4，2分〕以下无理数中，在－2与1之间的是
A．－ B．－ C． D．
【答案】B
5．〔2022江苏省南京市，5，2分〕8的平方根是
A．4 B．±4 C． D．±
【答案】D
6．〔2022江苏省南京市，6，2分〕如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是〔－2，1〕，点C的纵坐标是4，那么B、C两点的坐标分别是
A．〔，3〕，〔－，4〕 B．〔，3〕，〔－，4〕
C．〔，〕，〔－，4〕 D．〔，〕，〔－，4〕
【答案】B．
二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．〕
7．〔2022江苏省南京市，7，2分〕－2的相反数是____________，－2的绝对值是____________．
【答案】2；2．
8．〔2022江苏省南京市，8，2分〕截止2022年底，中国高速铁路营运里程到达11000km，居世界首位，将11000用科学记数法表示为______________．
【答案】1.1×104．
9．〔2022江苏省南京市，9，2分〕使式子1＋有意义的x的取值范围是_____________．
【答案】x≥0．
10．〔2022江苏省南京市，10，2分〕2022年南京青奥会某工程6名礼仪小姐的身高如下〔单位：cm〕168，166，168，167，169，168，那么他们的身高的众数是_______cm，极差是_______cm．
【答案】168；3．
11．〔2022江苏省南京市，11，2分〕反比例函数的图象经过点A(－2，3)，那么当x＝－3时，y＝_______．
【答案】2；
12．〔2022江苏省南京市，12，2分〕如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，那么∠BAD＝_______°．
【答案】72°
13．〔2022江苏省南京市，13，2分〕如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．假设AB＝cm，∠BCD＝22°30′，那么⊙O的半径为_______cm．
【答案】2；
14．〔2022江苏省南京市，14，2分〕如图，沿一条母线将圆锥侧面展开并展平，得到一个扇形．假设圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，那么该圆锥的母线长l为_______cm．
【答案】6；
15．〔2022江苏省南京市，15，2分〕铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm．某厂家生产符合该规定的行李箱，行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，那么该行李箱的长的最大值为_______cm．
【答案】78；
16．〔2022江苏省南京市，16，2分〕二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的局部对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2

那么当y＜5时，x的取值范围是________．
【答案】0＜x＜4．
三、解答题〔本大题共11小题，总分值88分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔2022江苏省南京市，17，6分〕解不等式组
【答案】解：解不等式①，得x≥1．
解不等式②，得x＜2．
所以，不等式组的解集是1≤x＜2．
18．〔2022江苏省南京市，18，6分〕先化简，再求值：，其中a＝1．
【答案】解：＝
＝＝＝．
当a＝1时，＝．
19．〔2022江苏省南京市，19，8分〕如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
〔1〕求证：四边形DBFE是平行四边形；
〔2〕当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形为什么
【答案】证明：〔1〕∵D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．
又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．
〔2〕此题答案不唯一，以下解法供参考．
当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
∵D是AB的中点，∴BD＝AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC．∵AB＝BC，∴BD＝DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．
20．〔2022江苏省南京市，20，8分〕从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求以下事件的概率．
〔1〕抽取1名，恰好是甲；
〔2〕抽取2名，甲在其中．
【答案】〔1〕从甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名环保志愿者，恰好是甲的概率是．
〔2〕从甲、乙、丙3名同学中随机抽取2名环保志愿者，所有可能出现的结果有：〔甲，乙〕、〔甲，丙〕，〔乙，丙〕，共3中，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲在其中〞〔记为事件A〕的结果只有2种．所以P(A)＝．
21．〔2022江苏省南京市，21，8分〕为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行数据分析．
〔1〕小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力．他们的抽样是否合理
〔2〕该校学生兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查，整理他们的视力情况数据．得到如下的折线统计图．
某市七、八、九年级各抽取的1000名学生
视力不良率的折线统计图
请你根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少
【答案】解：〔1〕他们的抽样都不合理．
因为如果1000名初中学生全部在眼睛店抽取，那么该市每个学生被抽到的时机不相等，样本不具有代表性；如果只抽取20名初中学生，那么样本的容量过小，样本不具有广泛性．
〔2〕×120000＝72000〔名〕．
答：估计该市120000名初中学生视力不良的人数是72000名．
22．〔2022江苏省南京市，22，8分〕某养殖户每年的养殖本钱包括固定本钱和可变本钱，其中固定本钱每年均为4万，可变本钱逐年增长．该养殖户第1年的可变本钱为2.6万元．设可变本钱平均每年增长的百分率为x．
〔1〕用含x的代数式表示第3年的可变本钱为_______万元；
〔2〕如果该养殖户第3年的养殖本钱为7.146万元，求可变本钱平均每年增长的百分率x．
【答案】解：〔1〕2.6(1＋x)2．
〔2〕根据题意，得4＋2.6(1＋x)2=7.146．
解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔不合题意，舍去〕．
23．〔2022江苏省南京市，23，8分〕如图，梯子斜靠在与地面垂直〔垂足为O〕的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m〔即BD＝1m〕到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．
〔参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248〕
D
B
C
A
O

【答案】解：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x．
∵BD＝OD－OB，∴0.625x－x＝1．
解得x＝8．
答：梯子的长约为8m．
24．〔2022江苏省南京市，24，8分〕二次函数〔m是常数〕
〔1〕求证：不管m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
〔2〕把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点
【答案】〔1〕证法一：因为(－2m)2－4(m2＋3)＝－12＜0．
所以方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
所以不管m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
证法二：因为a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为＝(x－m)2＋3≥3．
所以该函数的图象在x轴的上方．
所以不管m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
〔2〕解：＝(x－m)2＋3
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
所以把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
25．〔2022江苏省南京市，25，9分〕从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路．小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间．假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y于x之间的函数关系．
〔1〕小明骑车在平路上的速度为_________km/h；他途中休息了_________h；
〔2〕求线段AB，BC所表示的y与之间的函数关系式；
〔3〕如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远
y/m
C
B
4.5
6.5
O
0.3
x/h
1
A
D

【答案】解：〔1〕15；0.1．
〔2〕因为小明汽车在平路上的速度为15km/h，所以小明骑车上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h．
由图象可知，小明骑车上坡所用的时间是〔h〕，下坡所用的时间是〔h〕．所以B、C两点的坐标分别是〔0.5，6.5〕、〔0.6，6.5〕．当x＝0.3时，y＝4.5．所以线段AB所表示的y与x之间的函数关系式为y＝4.5＋10(x－0.3)，即y＝10x＋1.5〔0.3≤x≤0.5〕；当x＝0.5时，y＝6.5，所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y＝6.5－20(x－0.5)，即y＝－20x＋16.5〔0.5≤x≤06〕．
〔3〕小明两次经过图中某一地点的时间间隔为0.15h，根据题意，这个地点只能在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为th，那么第二次经过该地点的时间为(t＋0.15)h．
根据题意，得10t＋1.5＝－20(t＋0.15)＋16.5．解得t＝0.4．
所以y＝10×0.4＋1.5＝5.5．
答：该地点离甲地5.5km．
26．〔2022江苏省南京市，26，8分〕如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，圆O为三角形ABC的内切圆。
〔1〕求圆O的半径；
〔2〕点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作图．设点P运动的时间为 t s．假设圆P与圆O相切，求t的值．
【答案】解：〔1〕如图①，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF．那么AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆．∴OF⊥AC，OE⊥BC．即∠OFC＝∠OEC＝90°．
又∵∠C＝90°，∴四边形CEOF是矩形．
又∵OE＝OF，∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，那么FC＝EC＝OE＝rcm．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴AB＝＝5cm．
∵AD＝AF＝AC－FC＝4－r，BD＝BE＝BC－EC＝3－r，∴4－r＋3－r＝5．
解得r＝1，即⊙O的半径为1cm．
图① 图②
〔2〕过点P作PG⊥BC，垂足为G．
∵∠PGB＝∠C＝90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC．∴．
又∵BP＝t，∴PG＝，BG＝．
假设⊙P与⊙O相切，那么可分为两种情况：⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙D内切．
如图②，当⊙P与⊙O外切时，连接OP，那么OP＝1＋t．
过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE＝∠HEG＝∠PGE＝90°．∴四边形PHEG是矩形．
∴HE＝PG，PH＝GE．
∴OH＝OE－HE＝1－，PH＝GE＝BC－EC－BG＝3－1－＝2－．
在Rt△OPH中，由勾股定理，得．解得t＝．
如图③，当⊙P与⊙O内切时，连接OP，那么OP＝t－1．
过点O作OM⊥PG，垂足为M，
∵∠MGE＝∠OEG＝∠OMG＝90°．∴四边形OEGM是矩形．∴MG＝OE，OM＝EG．∴PM＝PG－MG＝，OM＝EG＝BC－EC－BG＝3－1－．
在Rt△OPM中，由勾股定理，得．解得t＝2．
图③
综上，假设⊙P与⊙O相切，t＝s或2s．
27．〔2022江苏省南京市，27，11分〕【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法〔即“SAS〞“ASA〞“AAS〞“SSS〞〕和直角三角形全等的判定方法〔即“HL〞〕后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等〞的情形进行研究。
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，
∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角〞三种情况进行探究。
B
C
A
E
F
D

图①
【深入探究】
第一种情况：当∠B为直角时，△ABC≌△DEF
〔1〕如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据_____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF。
第二种情况：当为钝角时，△ABC≌△DEF
〔2〕如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF。
第三种情况：当∠B为锐角时，△ABC和△DEF不一定全等
〔3〕如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，△DEF和△ABC不全等。〔不写作法，保存作图痕迹〕。
图②图③
〔4〕∠B还要满足什么条件，就可以使得△ABC≌△DEF，请直接填写结论：
在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，假设_____，那么△ABC≌△DEF．
【答案】解：〔1〕HL；
〔2〕证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH〔AAS〕，∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH〔HL〕，∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF〔AAS〕；
〔3〕解：如图，△DEF和△ABC不全等；
〔4〕解：假设∠B≥∠A，那么△ABC≌△DEF．
故答案为：〔1〕HL；〔4〕∠B≥∠A．
第〔2〕题图第〔3〕题图