2022高考数学一轮复习课后限时集训45垂直关系理北师大版.doc
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课后限时集训45 垂直关系 建议用时:45分钟 一、选择题 1.(2022·昆明模拟)直线l⊥平面α,直线m∥平面β,假设α⊥β,那么以下结论正确的选项是( ) A.l∥β或lβ B.l∥m C.m⊥α D.l⊥m A [直线l⊥平面α,α⊥β,那么l∥β或lβ,A正确,应选A.] 2.直线m,n和平面α,β,那么以下四个命题中正确的选项是( ) A.假设α⊥β,mβ,那么m⊥α B.假设m⊥α,n∥α,那么m⊥n C.假设m∥α,n∥m,那么n∥α D.假设m∥α,m∥β,那么α∥β B [对于A,假设α⊥β,mβ,那么当m与α,β的交线垂直时才有m⊥α,故A错;对于B,假设n∥α,那么α内存在直线a,使得a∥n,∵m⊥α,∴m⊥a,∴m⊥n,故B正确;对于C,当nα时,显然结论错误,故C错;对于D,假设α∩β=l,那么当m∥l时,显然当条件成立时,结论不成立,故D错.应选B.] 3.如图,在四面体DABC中,假设AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,那么以下结论正确的选项是( ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE C [因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.] 4.(2022·宁夏模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,那么四面体PABC的四个面中,直角三角形的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A [∵AB是圆O的直径, ∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,△ABC是直角三角形.又PA⊥⊙O所在平面, ∴△PAC,△PAB是直角三角形.且PA⊥BC ,因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线, ∴BC⊥平面PAC, ∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是4.应选A.] 5.(2022·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,那么( ) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC C [如图,∵A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直, ∴选项B,D错误; ∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1C⊥BC1, ∴A1E⊥BC1,应选项C正确; (证明:由条件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C, ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1.) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,应选项A错误. 应选C.] 二、填空题 6.(2022·北京高考)l,m是平面α外的两条不同直线.给出以下三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:________. 如果l⊥α,m∥α,那么l⊥m(或假设l⊥m,l⊥α,那么m∥α) [将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l⊥α,m∥α,那么l⊥m,正确;(2)如果l⊥α,l⊥m,那么m∥α,正确;(3)如果l⊥m,m∥α,那么l⊥α,错误,有可能l与α斜交或l∥α.] 7.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,那么AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. [连接A1C1,那么∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2, 又AA1=1,所以AC1=3, 所以sin∠AC1A1==.] 8.(2022·潍坊模拟)四面体PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点,请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________.(只填序号) ①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC; ⑤平面POC. ②⑤(答案不唯一) [∵四面体PABC中,PA=PB=PC, 底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点, ∴CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O, ∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC, ∴平面POC⊥平面ABC, ∴两个相互垂直的平面为②⑤.] 三、解答题 9.(2022·江苏高考)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E. [证明] (1)因为D,E分别为BC,AC的中点, 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1, 所以A1B1∥ED. 又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1, 所以A1B1∥平面DEC1. (2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE平面ABC,所以CC1⊥BE. 因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1C∩AC=C, 所以BE⊥平面A1ACC1. 因为C1E平面A1ACC1,所以BE⊥C1E. 10.如图,三棱锥PABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA⊥PC,PB=2. (1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)假设PA=PC,求三棱锥PABC的体积. [解] (1)证明:如图,取AC的中点O,连接BO,PO, 因为△ABC是边长为2的正三角形, 所以BO⊥AC,BO=. 因为PA⊥PC,所以PO=AC=1. 因为PB=2,所以OP2+OB2=PB2, 所以PO⊥OB. 因为AC∩OP=O,AC,OP平面PAC, 所以BO⊥平面PAC. 又OB平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC. (2)因为PA=PC,PA⊥PC,AC=2, 所以PA=PC=. 由(1)知BO⊥平面PAC, 所以VPABC=VBAPC=S△PAC·BO=××××=. 1.(2022·武邑模拟)如下图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,那么点C1在平面ABC上的射影H必在( ) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC的内部 A [连接AC1(图略),因为AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,应选A.] 2.(2022·南昌模拟)如下图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.以下说法错误的选项是________.(将符合题意的序号填到横线上) ①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面. ①③④ [根据折叠前AB⊥BE,AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE,AH⊥HF,可得AH⊥平面EFH,即②正确;∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直,∴①不正确;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,∴③不正确;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确,④不正确,综上,说法错误的选项是①③④.] 3.(2022·全国卷Ⅰ)∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为________. [如图,过点P作PO⊥平面ABC于O,那么PO为P到平面ABC的距离. 再过O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F, 连接PC,PE,PF,那么PE⊥AC,PF⊥BC. 又PE=PF=,所以OE=OF, 所以CO为∠ACB的平分线, 即∠ACO=45°. 在Rt△PEC中,PC=2,PE=,所以CE=1, 所以OE=1,所以PO===.] 4.在如下图的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF∥AB,M为BC的中点. (1)求证:FM∥平面BDE; (2)假设平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离. [解] (1)证明:取BD的中点O,连接OM,OE, 因为O,M分别为BD,BC的中点, 所以OM∥CD,且OM=CD. 因为四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB, 又EF∥AB,所以CD∥EF, 又AB=CD=2EF, 所以EF=CD, 所以OM∥EF,且OM=EF, 所以四边形OMFE为平行四边形, 所以MF∥OE. 又OE平面BDE,MF平面BDE, 所以MF∥平面BDE. (2)由(1)得FM∥平面BDE, 所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离. 取AD的中点H,连接EH,BH, 因为EA=ED,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°, 所以EH⊥AD,BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD, 平面ADE∩平面ABCD=AD,EH平面ADE, 所以EH⊥平面ABCD,所以EH⊥BH, 易得EH=BH=,所以BE=, 所以S△BDE=××=. 设点F到平面BDE的距离为h, 连接DM,那么S△BDM=S△BCD=××4=, 连接EM,由V三棱锥EBDM=V三棱锥MBDE, 得××=×h×, 解得h=, 即点F到平面BDE的距离为. 1.(2022·全国卷Ⅰ)正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,那么α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. A [记该正方体为ABCDA′B′C′D′,正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,即共点的三条棱A′A,A′B′,A′D′与平面α所成的角都相等.如图,连接AB′,AD′,B′D′,因为三棱锥A′AB′D′是正三棱锥,所以A′A,A′B′,A′D′与平面AB′D′所成的角都相等.分别取C′D′,B′C′,BB′,AB,AD,DD′的中点E,F,G,H,I,J,连接EF,FG,GH,IH,IJ,JE,易得E,F,G,H,I,J六点共面,平面EFGHIJ与平面AB′D′平行,且截正方体所得截面的面积最大.又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=,所以该正六边形的面积为6××2=,所以α截此正方体所得截面面积的最大值为,应选A.] 2.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,沿DE将△AED折起到△A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2. 图1 图2 (1)求证:DE⊥A1B; (2)求证:MN∥平面A1ED; (3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG⊥平面A1BC?假设存在,求出的值;假设不存在,说明理由. [解] (1)证明:∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB, 沿DE将△AED折起到△A1ED的位置,∴DE⊥A1E,DE⊥BE, ∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE, ∵A1B平面A1BE,∴DE⊥A1B. (2)证明:取CD中点F,连接NF,MF, ∵M,N分别为A1C,BE的中点, ∴MF∥A1D,NF∥DE, 又DE∩A1D=D,NF∩MF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF. ∴平面A1DE∥平面MNF, ∴MN∥平面A1ED. (3)取A1B的中点G,连接EG, ∵A1E=BE, ∴EG⊥A1B, 由(1)知DE⊥平面A1BE, ∵DE∥BC, ∴BC⊥平面A1BE,∴EG⊥BC, 又A1B∩BC=B, ∴EG⊥平面A1BC. 故棱A1B上存在中点G,使得EG⊥平面A1BC,此时=1. 7- 配套讲稿:
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