2022江苏泰州中考数学解析(王兴华)(姜海霞).docx

泰州市二○一六年初中毕业、升学统一考试
数 学 试 题
(考试时间:120分钟 总分值：150分)
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个局部．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一局部 选择题(共24分)
一、选择题(本大题共有6小题，每题3分，共18分．在每题所给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．〔2022江苏泰州，1，3分〕4的平方根是
A．±2 B．−2 C．2 D．±
【答案】A
【逐步提示】此题考查了平方根的意义，解题的关键是正确把握平方根的定义．直接根据平方根的定义，考虑平方等于4的数是多少，即可得出4的平方根．
【详细解答】解：∵(±2)2=4， 故4的平方根是±2，应选择A.
【解后反思】⑴正数的平方根有两个；0的平方根是0；负数没有平方根.⑵一个正数的平方根中，正的那个平方根叫做算术平方根；0的算术平方根为0.
【关键词】平方根
2.〔2022江苏泰州，2，3分〕人体中红细胞的直径约为0．000 007 7 m，将数0．000 007 7用科学记数法表示为
A．77×10-5 B．0．77×10-7 C．7．7×10-6 D．7．7×10-7
【答案】C
【逐步提示】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确确定a×10n中a、n的值．根据科学记数法的定义，用科学记数法表示0．000 007 7，先把0．000 007 7写成7．7×0．000001，再确定a和n的值．
【详细解答】解：0．000 007 7=7．7×0．000 001=7．7×10-6．应选择C.
【解后反思】把一个数写成a×10n的形式〔其中1≤a＜10，n为整数〕，这种记数的方法叫做科学记数法．其方法是：〔1〕确定a，a是只有一位整数的数；〔2〕确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数〔含整数数位上的零〕．
【关键词】科学记数法
3.〔2022江苏泰州，3，3分〕以下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A
B
C
D

【答案】B.
【逐步提示】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是熟悉两种对称图形的特征．即轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断来求解．
【详细解答】解：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．应选择B .
【解后反思】对于对称图形的题目，一般先根据轴对称和中心对称的概念和性质进行逐一判断，再根据题目的要求下结论；对于此类题，认真审题是关键．
【关键词】轴对称图形；中心对称图形
4.〔2022江苏泰州，4，3分〕如下列图的几何体中，它的左视图与俯视图都正确的选项是
D
C
B
A
左视图 俯视图
左视图 俯视图
左视图 俯视图
左视图 俯视图
〔第4题图〕

【答案】D.
【逐步提示】此题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握左视图与俯视图的概念．找到该几何体从左向右和从上向下看到的平面图形．
【详细解答】解：根据三视图的定义，分别从左边和上面看这个几何体，应选择D.
【解后反思】主视图是从几何体正面看得到的平面图形，俯视图是从几何体上方看得到的平面图形，左视图是从几何体左侧看得到的平面图形．另外主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．
【关键词】三视图
5.〔2022江苏泰州，5，3分〕对于一组数据－1，－1，4，2，以下结论不正确的选项是
A．平均数是1 B．众数是−1
C．中位数是0．5 D．方差是3．5
【答案】D.
【逐步提示】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，熟悉相关概念是解题的关键．根据平均数、中位数、众数和方差概念进行计算，然后对各选项作出判断，进而作出正确的选择.
【详细解答】解：，应选项A正确；这组数据中，出现次数最多的数据是－1，所以众数是－1，应选项B正确；这组数据由小到大排序后为－1，－1，2，4，所以中位数为〔－1＋2〕÷2=0．5，应选项C正确；方差是×[2×(−1−1)2+(4−1)2+(2−1)2]=4．5，应选项D错误．应选择D .
【解后反思】(1)平均数有算术平均数和加权平均数，算术平均数计算公式为，加权平均数计算公式为，其中；
(2)众数是一组数据中出现次数最多的那个数据；
(3)一组数据按从小到大〔也可以是从大到小〕的顺序排列，处在最中间位置上的一个数据〔或处在最中间位置的两个数据的平均数〕，就是这组数据的中位数．具体地说，把n个数据排序好以后，有两种情况：
①如果n为奇数，那么这组数据的中位数就是第个数据；
②如果n为偶数，那么这组数据的中位数就是第个数据和第〔+1〕个数据的平均数．
(4)一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，那么方差S2=[〔x1−〕2+〔x2−〕2+…+〔xn−〕2]．
其中平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量，平均数、中位数和众数所描述的角度不同，它们分别代表这组数据的“一般水平〞、“中等水平〞和“多数水平〞；而方差反映的是一组数据的离散程度．
【关键词】平均数；中位数；众数；方差
6.〔2022江苏泰州，6，3分〕实数a、b满足，那么的值为
A．2 B． C．−2 D．−
【答案】B
【逐步提示】此题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．等式可化为，由非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组后结合负整数指数幂的性质问题得解．
【详细解答】解：由题意：，所以，解之得，所以，应选择B．
【解后反思】初中阶段学习了三种非负数：①；②；③，如果出现几个非负数的和为零，那么说明这几个非负数的值都等于0，此时可得一个方程组，解方程组即可求得未知数的值．
【关键词】非负数，负整数指数幂
第二局部 非选择题〔共132分〕
二、填空题〔本大题共10个小题，每题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．〕
7.〔2022江苏泰州，7，3分〕等于．
【答案】1
【逐步提示】此题主要考查了零指数幂的性质，解题的关键是掌握零指数幂的性质．根据零指数幂的定义知道任何非零数的零次幂都等于1．
【详细解答】解：因为任何非零数的零次幂都是1，故答案为1．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是以为答案为0.
【关键词】非零数的零次幂
8.〔2022江苏泰州，8，3分〕函数的自变量x的取值范围是．
【答案】
【逐步提示】此题考查了函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，解题的关键是要知道分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
【详细解答】解：∵2x－30，∴，故答案为.
【解后反思】1.对于求函数关系式或代数式中x的取值范围的问题，通常是关于二次根式和分式有意义的条件：
名称
有意义的条件
分式
分式有意义的条件是
二次根式
二次根式有意义的条件是
2.这类问题通常有三种考法，一是单独考查分式的意义，二是单独考查二次根式的意义，三是把两个综合起来考查，往往需要列不等式组求解，本类问题的根本方法都是抓住其有意义的条件求解.
【关键词】分式有意义
9.〔2022江苏泰州，9，3分〕抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，朝上一面的点数为偶数的概率是________.
【答案】
【逐步提示】此题主要考查了一步概率的求法，解题的关键是正确确定公式中的m、n的值．骰子有六面，其中点数为偶数的面有3个，分别是二点、四点和六点，再根据概率定义解题即可．
【详细解答】解：P(朝上一面的点数为偶数)==，故答案为.
【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A发生的概率计算公式为P(A)=．此类问题容易出错的地方是不了解骰子有几个面，分别有哪些点数.
【关键词】骰子；简单事件的概率
10.〔2022江苏泰州，10，3分〕五边形的内角和为________.
【答案】
【逐步提示】此题考查了多边形的内角和的计算，解题的关键是熟记多边形的内角和公式．将多边形边数n的值代入多边形内角和公式〔n-2〕×180°计算即可.
【详细解答】解：〔5-2〕×180°=540°，故答案为540°.
【解后反思】此类问题容易出错的地方是未能记住多边形内角和公式.有关多边形，我们需要掌握以下相关的知识：
〔1〕多边形的内角和：；
〔2〕多边形形的外角和：360°；
〔3〕多边形的对角线有：．
【关键词】多边形内角和
11.〔2022江苏泰州，11，3分〕如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，那么△ADE与△ABC的面积之比为________.
〔第11题图〕

【答案】
【逐步提示】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方〞即可求得结果．
【详细解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．故答案为．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为相似三角形的面积比等于相似比，而错填．两个相似三角形周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
【关键词】相似三角形的判定和性质
12.〔2022江苏泰州，12，3分〕如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，假设∠α=40°，那么∠β等于°.
A
l1
〔第12题图〕
β
α
l2

【答案】20
【逐步提示】此题考查了平行线的性质和等边三角形的性质，解题的关键是构造适当的辅助线发现∠α、∠β和∠ABC三者之间的关系．如图，通过构造平行线将∠α和∠β，集中到得∠ABC处，再根据等边三角形的每个内角都是60°得解。
l1
〔第12题答图〕
β
α
l2
A
B
C
D
B
A
C
l1
〔第12题答图〕
β
α
l2
D

【详细解答】解：如图，过点B作BD∥l2，∵直线l1∥l2，∴BD∥l1，∴∠ABD=∠α=40°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=20°，∵BD∥l2，∴∠β=∠DBC=20°，故答案为20° ．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是不知如何运用条件“l1∥l2〞，应构造平行线，利用三线八角之间的数量关系解题.也可以延长AB与相交于点C，然后由同位角相等和外角的性质解决．
【关键词】平行线；三线八角；等边三角形的性质
13.〔2022江苏泰州，13，3分〕如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A’B’C’的位置时，A’B’恰好经过AC的中点O，那么△ABC平移的距离为cm.
〔第13题图〕
〔第13题图〕

【答案】
【逐步提示】此题考查了平移的性质，解题的关键是如何运用平移的性质解题．根据平移的性质得∥AB，所以△COB’∽△CAB，结合O为AC的中点，得B’为BC的中点，从而求得平移的距离为BB’ .
【详细解答】解：由题意得∥AB，，∴△CO∽△CAB，∴，∴，∴，故答案为 .
【解后反思】此题也可连接AA’，由AA’∥BB’，AA’=BB’，再证明△AOA’≌△COB’，AA’=B’C，所以BC’=B’C= .
【关键词】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
14.〔2022江苏泰州，14，3分〕方程2x－4=0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2=0的一个解，那么m的值为.
【答案】－3
【逐步提示】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是如何运用方程的解的定义解题．先求出方程2x－4=0的解，再将此解代入方程x2＋mx＋2=0，得关于m的方程得解.
【详细解答】解：∵2x－4=0，∴x=2，∴4＋2m＋2=0，∴m=－3，故答案为－3.
【解后反思】此题的关键是了解方程的解的定义，即使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解.
【关键词】方程的解的定义
15.〔2022江苏泰州，15，3分〕如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，那么图中阴影局部的面积为.
〔第15题图〕
〔第15题答图〕

【答案】
【逐步提示】此题考查了直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影局部=S扇形AOC．连接AO、CO，通过计算可以证明S△ABO=S△ODC，将图中阴影局部面积转化为扇形AOC的面积，最后只要求出∠AOC的度数后代入扇形面积公式即可.
【详细解答】解：连接AO、CO，那么AO=CO=2，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，∴OD=1，BO=，∴S△ABO=S△ODC，∠AOB=30°，∠COD=60°，∴∠AOC=180°－60°＋30°=150°，S阴影局部=S扇形AOC=.故答案为.
【解后反思】求不规那么图形面积时，一般都是通过割补法将不规那么图形转化为规那么图形〔三角形、特殊四边形、扇形等〕来求面积
【关键词】割补法；扇形；面积
16.〔2022江苏泰州，16，3分〕二次函数的图像如下列图，假设线段AB在x轴上，且AB为个单位线段，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图像上，那么点C的坐标为.
〔第16题图〕

【答案】或
【逐步提示】此题考查了二次函数的图象与性质，涉及等边三角形的性质、分类讨论的思想等知识，解决问题的关键是根据题意求出点C的纵坐标．
先根据“等边三角形的边长为〞求出点C到x轴的距离，得点C的纵坐标，再分别代入二次函数表达式，求出相应的点C的横坐标，最后结合“点C落在该函数y轴右侧的图像上〞进行取舍.
【详细解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在等边△ABC中，CA=AB=，∠CAB=60°，那么CD=CA·sin∠CAB=3，①当点C在x轴上方时，如答图1，令，得，〔舍去〕，∴C；②当点C在x轴下方时，如答图2令，得，〔舍去〕，∴C.故答案为或.
〔第16题答图1〕
〔第16题答图2〕

【解后反思】要能根据等边三角形的边长为，求出高长3；要知道分点C在x轴的上方和下方两种情况讨论；要能对所求的点C的横坐标进行取舍.
【关键词】等边三角形；象限坐标特征；一元二次方程的解法
三、解答题(本大题共有10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.〔 2022江苏泰州，17，6分〕计算或化简
〔1〕
【逐步提示】此题考查了二次根式的加减法混合运算，正确化简是解题的关键．将各二次根式分别化为最简二次根式的同时去括号，然后合并同类二次根式。
【详细解答】解：==
【解后反思】二次根式的加减法运算，其实质是合并同类二次根式，合并同类二次根式时，一定要将二次根式进行化简．运用性质．
【关键词】二次根式的运算
17.〔 2022江苏泰州，17，6分〕计算或化简
〔2〕
【逐步提示】此题考查了分式的混合运算，正确化简是解题的关键．根据分式的混合运算法那么，先通分算括号里的减法，再把除法转化为乘法运算，最后约成最简分式或整式．
【解答过程】解：原式===.
【解后反思】(1)异分母分式的加减一般根据分式的根本性质化为同分母分式的加减；(2)两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；(3)分式的运算结果能约分的要约分；(4)对分子分母是多项式的，正确地因式分解是顺利解题的前提．
【关键词】分式的化简
18.〔2022江苏泰州，18，8分〕某校为更好地开展“传统文化进校园〞活动，随机抽查了局部学生，了解他们最喜爱的传统文化工程类型〔分为书法、围棋、戏剧、国画共4类〕，并将统计结果绘制成如下不完整的频数分布表及频数分布直方图．
最喜爱的传统文化工程类型
频数分布表

工程类型
频数
频率
书法类
18
a
围棋类
14
0.28
戏剧类
8
0.16
国画类
b
0.20
最喜爱的传统文化工程类型
频数分布直方图

根据以上信息完成以下问题：
〔1〕直接写出频数分布表中a的值；
〔2〕补全频数分布直方图；
〔3〕假设全校共有学生1500名，估计该校喜爱围棋的学生大约有多少人
【逐步提示】此题主要考查了频数分布表、频数分布直方图的有关概念，以及用样本估计总体的统计思想，解题的关键是正确从频数分布统计表和直方图中获取有用信息．
〔1〕根据“样本容量一定，频数与频率成正比〞可求a的值〔或根据“各频率之和为1〞 可求a的值〕；〔2〕同〔1〕可求出b的值，问题得解；〔3〕运用样本的某些特性〔这里是喜爱围棋的学生的百分比〕去估计总体的某些特性，使问题得解．
【详细解答】解：〔1〕∵，∴a＝0.36；
〔2〕，b=10；补充完整统计图如下：
最喜爱的传统文化工程类型
频数分布直方图
〔第18题答图〕

〔3〕1500×0．28=420
答：该校喜爱围棋的学生大约有420人．
【解后反思】“频数分布直方图〞中的矩形是紧挨在一起的, “条形统计图〞中的矩形间是有距离的, 这两类图横轴上的标注也是有差异的,所以此题中“频数分布直方图〞其实应该叫“条形统计图〞．
【关键词】频数分布表；频数分布直方图；用样本估计总体
19.〔 2022江苏泰州，19，8分〕一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2．这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规那么如下：先由甲随机摸出一个球〔不放回〕，再由乙随机摸出一个球．两人摸出的球所标的数字之和为偶数时那么甲胜，和为奇数时那么乙胜．
〔1〕用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
〔2〕这样的游戏规那么是否公平说明理由．
【逐步提示】此题考查了两步概率,解题的关键是正确列出表格或正确画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．〔1〕根据题意画出无放回的两步概率的树状图或表格，〔2〕正确算出两人获胜的概率，根据概率是否相等确定游戏是否公平．
【详细解答】解：〔1〕画树状图如下：
开始
乙
甲
0
2
1
1
2
0
2
1
0
和
1
〔第19题答图〕
3
1
2
3
2

〔2〕∵P〔数字之和为偶数〕==，P〔数字之和为奇数〕==，且≠，
∴这样的游戏规那么不公平．
【解后反思】〔1〕某一事件发生的概率；
〔2〕求两步事件的概率其计算方法有两种，一种列表法，另一种是画树状图法．用利表法或画树状图法计算两步试验的随机事件的概率时，应找出两步试验的所有等可能发生的结果数n和符合题意的关注的结果数m，并且用公式P〔事件A〕＝来计算概率；
〔3〕摸球游戏中，注意有无放回．
【关键词】概率；列表法与树状图法
20.〔 2022江苏泰州，20，8分〕随着互联网的迅速开展，某购物网站的年销售额从2022年的200万元增长到2022年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．
【逐步提示】此题考查了一元二次方程的应用中关于平均增长率问题，解题的关键是掌握增长率模型．根据“年销售额从2022年的200万元平均增长2次后变为2022年的392万元〞列出方程，并解方程，舍去不合题意的解，即可得到答案
【详细解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率x，由题意得200(1＋x)2＝392，∴(1＋x)2＝1．96，即1＋x＝±1．4，∴x1＝0．4＝40%，x2＝－2．4〔不合题意，舍去〕．
答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．
【解后反思】增长率问题一般有两类：〔1〕增长类：增长后的量＝增长前的量× (1＋增长率)增长次数；〔2〕降价类：降价后的量＝降价前的量×(1－降价率)降价次数．设基数为a，平均增长〔或降低〕率为x，增长〔或降低〕的次数为n，增长〔或降低〕后的量为b，那么表达式为a(1±x)n＝b．
【关键词】一元二次方程的实际应用——增长〔或降低〕率问题
21.〔 2022江苏泰州，21，10分〕如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
〔1〕求证：AD∥BC；
〔2〕过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，假设AF=4，求BC的长．
〔第21题图〕

【逐步提示】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,解题的关键是证得△GAF∽△GBC．问题〔1〕是个根本图形：等腰三角形顶角的外角的角平分线平行于底边，比较容易解决，问题〔2〕中，根据∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易发现△AFC≌△AFG，得CF=FG=CG，再利用问题〔1〕所证“AD∥BC〞得△GAF∽△GBC，问题得解．
【详细解答】(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠EAD=∠CAE，∵∠B＋∠ACB=∠CAE，∴∠B=∠EAD，∴AD∥BC；
〔2〕解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°，∵AF=AF，∠CAD=∠EAD，∴△AFC≌△AFG〔ASA〕，∴CF=FG=CG，∵AD∥BC，∴△GAF∽△GBC，∴，∴．

【关键词】等腰三角形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定；相似三角形的判定和性质
22.〔 2022江苏泰州，22，10分〕如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°，求村庄C、D间的距离〔取1.73，结果精确到0.1千米〕．
〔第22题图〕

【逐步提示】此题考查了锐角三角函数的应用---仰角、俯角问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．在△ABD中，∠NAD=60°，∠ABD=75°，那么∠BDA=45°，很显然想到过点B作BE⊥AD于E，然后依次解三个特殊的直角三角形即可．
〔第22题答图〕

【详细解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，∵AB=6×=4，∴BE=AB×sin∠NAD=4×sin 60°=2，AE=AB×cos∠NAD=4×cos 60°=2，∵∠ABD=75°，∠ABE=90°－∠NAD=30°，∴∠EBD=45°，∴DE=BE×tan∠EBD=2×tan 45°=2，∴AD=2＋2，∵MN∥CD，∴∠ADC=∠NAD=60°，在Rt△ACD中，CD=AD×cos∠ADC=〔2＋2〕×cos 60°=1＋≈1＋1．73≈2．7〔千米〕，答：村庄C、D间的距离约为2．7千米．
【解后反思】此题主要是化斜〔斜三角形〕为直〔直角三角形〕，特别是见60°、45°、30°，要想到将这两个特殊角放到相应的直角三角形中，假设见到75°=45°＋30°、105°=45°＋60°，通过作高进行分割，再用特殊角的三角函数值．
【关键词】解直角三角形
23.〔 2022江苏泰州，23，10分〕如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，∠CAE=∠ADF．
〔1〕判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
〔2〕假设PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
〔第23题图〕

【逐步提示】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题．
〔1〕在Rt△ABC中，∠CAE＋∠AEC=90°，又∠CAE=∠ADF，∠AEC=∠FDC，得∠ADC=90°，所以AB与⊙O相切；
〔2〕PC=2PF，PA=PF ＋5，连接FC、DE，只要证得△FCP∽△CAP，即可得PC、PF、PA的方程，而∠CPA=∠FPC，所以只要证得∠CAE=∠DCF(或∠PCA=∠PFC)，又∠DEA=∠DCF，所以只要证∠CAE=∠DEA，这两个角都是∠AEC的余角，或证DE∥AC，使问题得解．
【详细解答】解：〔1〕AB与⊙O相切，
理由：∵∠ACB=90°，∴∠CAE＋∠AEC=90°，∵∠CAE=∠ADF，∠AEC=∠FDC，∴∠ADF＋∠FDC =90°，即∠ADC=90°，∴CD⊥AB，又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切；
〔2〕连接FC、DE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴∠CAE=∠DEA，∵∠DEA=∠DCF，∴∠CAE=∠DCF，即∠CAP=∠FCP，∵∠CPA=∠FPC，∴△FCP∽△CAP，，∴PA=2PC=4PF，∴PF==，∴CP=2PF=．
〔第23题答图〕

【解后反思】〔1〕要探索一条直线与圆的位置关系，就想到：①假设直线与圆的公共点时，其根本思路是：连接过公共点的半径，假设这条半径与直线垂直即可得直线与圆相切，可简述为：连半径，证垂直；假设这条半径与直线不垂直即可得直线与圆相交．
②假设未知直线与圆的公共点不确定时，那么采用数量关系法，其根本思路是：过圆心作直线的垂线段，假设垂线段的长等于圆的半径即可得直线与圆相切，可简述为：作垂线，证半径；假设垂线段的长小于圆的半径即可得直线与圆相交；假设垂线段的长大于圆的半径即可得直线与圆相离．
〔2〕看到求线段的长度，就想到：①运用勾股定理，适合的前提是：一个直角三角形中知道两个有关边的信息；②相似：当一个三角形中只有一条边时，可以考虑借助其他三角形和这个三角形相似，利用相似三角形的性质来求线段的长；③三角函数：当一个直角三角形中一边一角〔通常是一角的三角函数值〕时，可以使用三角函数求线段的长；④面积法：把待求的线段看成三角形的底或高，使用面积法求解．
【关键词】切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
24.〔 2022江苏泰州，24，10分〕如图，点A〔m，4〕、B〔－4，n〕在反比例函数〔k＞0〕的图像上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．
〔1〕假设m=2，求n的值；
〔2〕求m＋n的值；
〔3〕连接OA、OB，假设tan∠AOD＋tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．
〔第24题图〕

【逐步提示】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、锐角三角函数的应用、点的坐标与点到坐标轴的距离的转化，解题的关键是构造辅助线将点A、B的坐标转化为它们到坐标轴的距离，结合锐角三角函数的定义得到关于k的方程．
〔1〕思路一：先根据A点坐标求出反比函数关系式，再将B点代数关系式，求出待定字母的值；思路二：根据成反比例的特点是横纵坐标的积为常数，直接列出方程求解；
〔2〕将点A纵坐标和点B横坐标分别代入反比例函数关系式，用k的代数式表示m、n的值，最后都代入m＋n中，消去k即可；
〔3〕分别构造以∠AOD、∠BOC为内角的直角三角形，利用锐角三角函数的边角关系，结合tan∠AOD＋tan∠BOC=1得k得方程，求出k的值后自然得A、B的坐标，再用待定系数法求直线AB的函数关系式．
〔第24题答图〕

【详细解答】解：〔1〕当m=2时，A〔2，4〕，∴，当x=－4时，；
〔2〕∵点A〔m，4〕、B〔－4，n〕在反比例函数〔k＞0〕的图像上，∴，，∴=0；
〔3〕分别过点A、B作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，由〔2〕得A〔，4〕、B〔－4，〕，∴tan∠AOD===，tan∠BOC===，∵tan∠AOD＋tan∠BOC=1，∴＋=1，∴，∴A〔2，4〕，B〔－4，－2〕，设直线AB的函数关系式为，那么，解之得，∴直线AB的函数关系式为．
【解后反思】对于问题〔1〕〔2〕的解题思路是：利用待定系数法，建立未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组可得答案；
〔3〕在Rt△ABC中，∠C=90º，那么sinA=，cosA=，tan A=．要用或要求直角三角形中某锐角的三角函数值，有两种思路：①构造以此角为内角的直角三角形，直接运用定义；②等角代换，即转化为易求的三角函数值来求．
【关键词】待定系数法；锐角三角函数的定义；点的坐标与点到坐标轴的距离的转化
25.〔 2022江苏泰州，25，12分〕正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
〔1〕如图1，假设点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
〔2〕假设点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．
〔第25题图〕
〔图2〕
〔图1〕
〔图3〕

【逐步提示】此题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线．
〔1〕图1是一个轴对称图形，证明一对轴对称型全等三角形即可；
〔2〕①显然△ABC、△APE都是等腰直角三角形，所以△ACE为直角三角形，但要继续探索△ACE是否为等腰直角三角形；
②由PE∥BF得∠CEP=∠ECF，结合∠AEP=∠CEP，得∠ECF=∠AEP，此时显然△APE∽△EFC，得比例式，得关于a、b的等式，化简得a:b的值，连接BE，结合前面的结论，显然得BE=BC，得∠EBF=2∠ECF，又∠AEC=2∠CEP=2∠ECF，得∠AEC=∠EBF=45°．
【详细解答】解：(1)证明：在正方形ABCD和正方形BPEF中，AB=BC，BP=BF=PE=EF，∠BFE=∠BPE=90°，∴AP=CF，∴△APE≌△CFE〔SAS〕，∴EA=EC；
〔2〕①△ACE为一般直角三角形，
理由：在正方形BPEF中，∠BPE=90°，∴∠APE=90°，∵点P为AB的中点，∴AP=BP，∵BP= PE，∴AP= PE，∴∠PAE=∠PEA=45°，在正方形ABCD中，∠CAB=45°，∴∠CAE=90°，∵∠AEC＞∠AEP=45°，∴△ACE为一般直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，∴∠AEP=∠CEP，在正方形BPEF中，PE∥BF，∴∠CEP=∠ECF，∴∠AEP=∠ECF，∵∠APE=∠EFC=90°，∴△APE∽△EFC，∴，∴，∴，∴〔舍负〕，∴，连接BE，那么，∠EBF=45°，∴BE=BC，∴∠BEC=∠ECF，∴∠EBF=∠BEC＋∠ECF=2∠ECF，∵∠AEC=2∠CEP，∠CEP=∠ECF，∴∠AEC=∠EBF=45°．
〔第25题答图〕

【解后反思】判断一个三角形为一个直角三角形，有如下方法：①判断两小边的平方和与最大边的平方相等；②两个较小角的和为90°；③一边上的中线等于该边的一半也可转化为角相等，从而得直角；④直径〔或半圆〕所对的圆周角是直角．
要求两线段长的比，可以通过直接求出两线段长，然后求比值；也可通过勾股定理或相似等得关于这两线段的等式，化简得两线段长的比值．
【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；直角三角形的识别；相似三角形的判定；相似三角形的性质；等腰三角形的性质．
26.〔 2022江苏泰州，26，14分〕两个二次函数和．对于函数，当x=2时，该函数取最小值．
〔1〕求b的值；
〔2〕假设函数的图像与坐标轴只有2个不同的交点，求这两个公共点间的距离；
〔3〕假设函数、的图像都经过点〔1，－2〕，过点〔0，a－3〕(a为实数)作x轴的平行线，与函数、的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是、、、，且＜＜＜，求－＋－的最大值．
【逐步提示】此题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、待定系数法、函数图像的平移，解题的关键是解决问题〔2〕中“二次函数的图像与坐标轴只有2个不同的交点〞时分两种情况讨论，发现问题〔3〕中、的图像可以通过水平方向平移得到，再运用数形结合思想平移直线y=a－3，发现－＋－≤4．
〔1〕根据对称轴方程可求b值；
(2)函数的图像的顶点恒在直线x=2上，任何二次函数的图像都与y轴有一个交点〔0，c〕，然后分〔0，c〕是否为原点，①当〔0，c〕不是原点时，函数的图像的顶点只能在x轴上；②当〔0，c〕是原点时，自然求出函数的关系式，此时很容易求出函数的图像与坐标轴的2个不同的交点间的距离；
〔3〕将〔1，－2〕分别代入函数、，求得函数表达式=、，发现函数的图像向左平移2个单位长度与函数的图像重合，求出两函数图像交点A的坐标〔1，－2〕，再分别画水平线在点A的下方和上方进行讨论，得－＋－的取值范围，即可求得其最大值．
【详细解答】解：〔1〕∵对于函数，当x=2时，该函数取最小值，∴，∴；
〔2〕二次函数与y轴恒有一个交点〔0，c〕，且函数的图像的顶点恒在直线x=2上，
①当c≠0时，如题1，函数的图像的顶点必须在x轴上，∴，∴，∴=，∴函数的图像与x轴、y轴分别交于〔2，0〕和〔0，4〕点，这两点间的距离为，
〔第26题答图1〕
〔第26题答图2〕

②当c=0时，如图2，函数的图像与x轴、y轴分别交于〔4，0〕和〔0，0〕点，符合题意，此时这两点间的距离为4，
综上所述，这两个公共点间的距离为或4；
〔3〕∵函数、的图像都经过点〔1，－2〕，∴，，∴，，∴=，，∴函数的图像向左平移2个单位长度与函数的图像重合，
如图3，令，那么，此时，∴A〔1，－2〕，令a－3=－2，那么a=1，过点A作x轴的平行线，与函数、的图像的另一个交点分别为B、C，那么AB＋AC=4，
〔第26题答图3〕
〔第26题答图4

设过点〔0，a－3〕(a为实数)作x轴的平行线，与函数图像的2个不同的交点为D、E，与函数图像的2个不同的交点为F、G，
①当a＜1时，如图4，直线DG在点A的下方，－＋－=GF＋ED＜GE＋FD=AC＋AB =4；
②当a=1时，如图3，直线DG经过点A，与函数、的图像共有3个不同的交点，此情况舍去；
③当a＞1时，如图5，直线DG在点A的上方，－＋－=GE＋FD=AC＋AB =4，
〔第26题答图5〕

综上所述，－＋－≤4，∴－＋－的最大值为4．
【解后反思】〔1〕二次函数的图像与坐标轴只有2个不同的交点，应分两种情况讨论：①图像与y轴的交点不是原点，顶点在x轴上；②图像与y轴的交点是原点，与x轴有两个不同的交点〔含原点〕；
〔2〕函数图像平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量．具体为：〔1〕上下平移：抛物线y=a(x－h)2+k向上平移m〔m>0〕个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k+m；抛物线y=a(x－h)2+k向下平移m〔m>0〕个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h)2+k－m．
〔2〕左右平移：抛物线y=a(x－h)2+k向左平移n〔n>0〕个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x－h+n)2+k；抛物线y=a(x－h)2+k向右平移n〔n>0〕个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x－h－n)2+k.　特别地，要注意其中的符号处理；
〔3〕平移时