2022版高考数学一轮复习第10章概率第2节古典概型课时跟踪检测文新人教A版.doc

第二节　古典概型
A级·根底过关|固根基|
1.(2022届黄冈质检)一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　3卷文集随机排列，共有6种结果，其中卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是＝.
2．甲在微信群中发布6元“拼手气〞红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么乙获得“手气最正确〞(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元，y元，z元．
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
乙获得“手气最正确〞的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最正确〞的概率P＝＝.
3．(2022届惠州市高三第二次调研)我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的?周髀算经?、?九章算术?、?海岛算经?、?数书九章?、?缉古算经?有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化〞校本课程学习内容，那么所选2部专著中至少有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　记这5部专著分别为A，B，C，D，E，其中A，B，C产生于汉、魏、晋、南北朝时期，那么从这5部专著中选择2部的所有根本领件为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，所选的2部专著都不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的情况只有(D，E)这1种，根据对立事件的概率公式可知，所选2部专著中至少有1部是汉、魏、晋、南北朝时期的概率为1－＝，应选B.
4．(2022届武汉市局部学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，那么方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为所以a和b的组合有36种，假设方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，那么Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1，2；当b＝4时，a可取1，2，3，4；当b＝5时，a可取1，2，3，4，5，6；当b＝6时，a可取1，2，3，4，5，6.
满足条件的组合有19种，那么方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝，应选C.
5．(2022年全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，那么两位女同学相邻的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，那么四位同学排成一列的情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝.应选D.
6．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么构成的四边形是梯形的概率为________．
解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.
答案：
7．(2022届福建市第一学期高三模拟考试)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，那么角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．
解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，那么并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝＝.
答案：
8．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)那么f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率为________；
(2)从f(x)中随机抽取两个，那么它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率为________．
解析：(1)由题意得－≥－1，即b≤a.
而(a，b)可能情况有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，满足b≤a的有3种，故概率为.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种情况，从中随机抽取两个，有6种抽法．
因为函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.
答案：(1)　(2)
9．(2022届成都模拟)为践行“绿水青山就是金山银山〞的开展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩到达80分及其以上的单位被称为“星级〞环保单位，未到达80分的单位被称为“非星级〞环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下，
A类行业：85，82，77，78，83，87；
B类行业：76，67，80，85，79，81；
C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.
(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；
(2)假设在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级〞环保单位，又有“非星级〞环保单位的概率．
解：(1)由题意知，抽取的三类行业的单位个数之比为3∶3∶4.
由分层抽样的定义，得
A类行业的单位个数为×200＝60；
B类行业的单位个数为×200＝60；
C类行业的单位个数为×200＝80.
∴A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80.
(2)记选出的这3个单位中既有“星级〞环保单位，又有“非星级〞环保单位为事件M.
在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有(85，82，77)，(85，82，78)，(85，82，83)，(85，82，87)，(85，77，78)，(85，77，83)，(85，77，87)，(85，78，83)，(85，78，87)，(85，83，87)，(82，77，78)，(82，77，83)，(82，77，87)，(82，78，83)，(82，78，87)，(82，83，87)，(77，78，83)，(77，78，87)，(77，83，87)，(78，83，87)，共20种．
这3个单位都是“星级〞环保单位的考评数据情形有(85，82，83)，(85，82，87)，(85，83，87)，(82，83，87)，共4种．
这3个单位都是“非星级〞环保单位的考评数据情形有0种．
∴这3个单位都是“星级〞环保单位或都是“非星级〞环保单位的情形共有4种．
∴所求概率P(M)＝1－＝.
10．(2022届昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山〞的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为0.9.
(1)假设引种树苗A，B，C各10棵．
①估计自然成活的总棵数；
②利用①中估计的结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取2棵，求抽到的2棵都是树苗A的概率．
(2)该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．假设每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
解：(1)①依题意知，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的总棵数约为26.
②由题意知没有自然成活的树苗共4棵，其中2棵A种树苗，1棵B种树苗，1棵C种树苗，分别设为a1，a2，b，c，从中随机抽取2棵，可能的情况有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，共6种，其中抽到的2棵都是树苗A的有(a1，a2)，共1种，故抽到的2棵都是树苗A的概率为.
(2)设该农户引种B种树苗n棵，那么最终成活的棵数为0.9n＋(1－0.9)n××0.8＝0.96n，未能成活的棵数为n－0.96n＝0.04n，由题意知0.96n×300－0.04n×50≥200 000，那么n>699.
所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元.
B级·素养提升|练能力|
11.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数〞(如213，312等)，假设a，b，c∈{1，2，3，4}，a，b，c互不相同，那么这个三位数为“凹数〞的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)三位数．
当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数〞；
当b＝2时，有324，423，共2个“凹数〞．
所以这个三位数为“凹数〞的概率是P＝＝.
12．设f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)·g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝ax·g(x)，＋＝，在有穷数列(n＝1，2，…，10)中，任意取前k项相加，那么前k项和大于的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设h(x)＝，那么h′(x)＝<0，故h(x)＝ax在R上单调递减，所以0<a<1，又＋＝a＋＝，解得a＝，那么数列＝，其前n项和Sn＝1－，因为1－>，所以n>6，故P＝＝.
13.
某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如下图的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：
①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；
②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应，得根本领件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
那么事件A包含的根本领件共5个，
即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，
那么事件B包含的根本领件共6个，
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的根本领件共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．
所以P(C)＝.
因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
14．(2022届合肥市第一次教学质量检测)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：
年龄
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
使用人数
45
30
15
15
未使用人数
0
10
20
45
(1)为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋．假设某日该商场预计有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋；
(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．
解：(1)由表可知，该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，假设某日该商场有12 000人(年龄在[20，60]内)购物，那么估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×＝7 000.
(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A，B，C，其他4人分别为a，b，c，d，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：
AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共21种，其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种，所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为＝.
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