2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析26对数函数.docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.6对数函数
一、对数式的化简与求值
对数的化简与求值的根本思路
（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；
（2） 利用对数的运算法那么，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；
（3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
〖例1〗计算
〔1〕；〔2〕；
〔3〕
解：〔1〕原式
；
〔2〕原式
；
〔3〕分子=；
分母=；
原式=。
二、比较大小
1、相关链接
〔1〕比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。
①a>1,f(x)>0.g(x)>0,那么logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;
②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,那么logaf(x)>logag(x)0<f(x)<g(x)
〔2〕比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。
①假设a>b>1，如图1.
当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);
当0<f(x)<1时，logaf(x)> logbf(x).
②假设1>a>b>0,如图2。
当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x);
当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x).
③假设a>1>b>0。
当f(x)>1时，那么logaf(x)> logbf(x);
当0<f(x)<时，那么logaf(x)<logbf(x).
〔3〕比较大小常用的方法
①作差〔商〕法；②利用函数的单调性；③特殊值法〔特别是1和0为中间值〕
2、例题解析
〖例〗对于，给出以下四个不等式：
①
②；
③
④其中成立的是〔 〕
〔〕①与③〔〕①与④〔〕②与③〔〕②与④
分析：从题设可知，该题主要考查与两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。
解答：选。∵0<a<1,∴a<,1+a<1+,∴,即②④正确。
注：〔1〕画对数函数图象的几个关键点
共有三个关键点：
〔2〕解决与对数函数有关的问题时需注意两点
①务必先研究函数的定义域；
②注意对数底数的取值范围。
〔3〕比较对数式的大小
①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
②当底数不同，真数相同时，可转化为同底〔利用换底公式〕或利用函数的图象，数形结合解决；
③当不同底，不同真数时，那么可利用中间量进行比较。
三、对数函数图象与性质
1、相关链接
〔1〕对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1〞的大小关系。
〔2〕利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其根本方法是“同底法〞。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。
〔3〕与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
①确定定义域；
②弄清函数是由哪些根本初等函数复合而成的，将复合函数分解成根本初等函数y=f(u),u=g(x)
③分别确定这两个函数的单调区间；
④假设这两个函数同增或同减，那么y=f(g(x))为增函数，假设一增一减，那么y=f(g(x))为减函数，即“同增异减〞。
2、例题解析
〖例1〗f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
思路解析：(1)此题求f(x)的定义域，但由于在条件中函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)此题求f(x)的单调性，但由于在条件中函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.
解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，那么ax-1>0，即ax>1，
当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0；
∴当a>1时，函数的定义域为{x|x>0}；
当0<a<1时，函数的定义域为{x|x<0}.
(2)当a>1时，设0<x1<x2，那么
∴
∴，
∴f(x1)<f(x2)，
∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当0<a<1时，设x1<x2<0，那么，
∴，
∴∴f(x1)<f(x2)，
∴当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数；
综上可知：函数f(x)=loga(ax-1)在其定义域上为增函数.
方法提示：利用复合函数〔只限由两个函数复合而成的〕判断函数单调性的方法
（1） 找出函数是由哪两个函数复合而成的；
（2） 当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；
（3） 分别求出两函数的单调区间；
（4） 按照“同增异减〞确定函数的单调区间；
（5） 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。
〖例2〗设函数.
(1)求的单调区间;
(2)假设当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
解 〔1〕函数的定义域为. 1分
由得; 2分
由得, 3分
那么增区间为,减区间为. 4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分
由,且, 8分
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分
(3)方程即.记,那么
.由得;由得.
所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分
所以，当a＞1时，方程无解；
当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，
当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；
当a=2-2ln2时，方程有一个解；
当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分
字上所述，a时，方程无解；
或a=2-2ln2时，方程有唯一解；
时，方程有两个不等的解. 14分
注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。
四、对数函数的综合应用
〖例1〗函数f(x)=-x+.
(1)求f()+f(-)的值；
(2)当x∈(-a,a］，其中a∈(0,1〕，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值假设存在，求出f(x)的最小值；假设不存在，请说明理由.
思想解析:(1)此题是求函数值，而解析式中的两个变量互为相反数，所以，在解题方法上，应考虑函数的奇偶性；(2)此题探求f(x)的最值是否存在，由于函数的解析式，在解题方法上应考虑函数的单调性.
解答:(1)由f(x)=-x+有意义得：>0，
解得：-1<x<1，即该函数的定义域为(-1,1)，
又∵f(-x)=x+=x-=-f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，即f(-x)+f(x)=0，
∴f(-)+f()=0；
(2)任取x1、x2∈(-1,1)且设x1<x2那么
f(x1)-f(x2)=x2-x1+log2-log2＞0，
易知f(x)在(-1,1)上是减函数，
又x∈(-a,a］，且a∈(0,1〕，
∴f(x)min=f(a)=-a+log2.
方法提示:〔1〕求f(a)+f(-a)的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值.
〔2〕求形如f(2 012),f(2 011)的值往往与函数的周期性有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性
〔3〕函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性
〖例2〗〔12分〕过原点O的一条直线与函数的图象交于、两点，分别过、作y，轴的平行线与函数的图象交于、两点。
（1） 证明点、和原点O在同一直线上；
（2） 当平行于x轴时，求点的坐标。
分析：〔1〕证明三点在同一条直线上只需证明；
〔2〕解方程组得，，代入解析式即可求解。
解答：〔1〕设点，的横坐标分别为、，由题设知>1，>1
那么点、的纵坐标分别为、。
因为、在过点O的直线上，所以，
点、的坐标分别为〔，〕、〔，〕
由于
O的斜率为=，
O的斜率为，
由此可知，即O、、在同一直线上。
注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到与关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对、的范围没有搞清楚。
〔2〕由于平行于轴，知=，
即得=，
代入，得
由于，知故
考虑，解得，
于是点的坐标为〔，〕
注：此题是典型的在知识交汇点处的命题，假设用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。
方法提示:解决对数函数综合问题的方法
无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质
(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1,+∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否那么结论错误.
(4)在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响，以及真数为正的限制条件.