高优指导2021版高考数学一轮复习第八章立体几何37平行关系考点规范练文北师大版.doc

考点规范练37　平行关系
　考点规范练A册第28页　 
基础巩固组
1.对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是(　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⫋α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m∥n D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
答案:D
解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对C,m与n垂直而非平行,故C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.
2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
答案:C
解析:对于图形①,平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.
3.设l表示直线,α,β表示平面.给出四个结论:
①如果l∥α,则α内有无数条直线与l平行;
②如果l∥α,则α内任意的直线与l平行;
③如果α∥β,则α内任意的直线与β平行;
④如果α∥β,对于α内的一条确定的直线a,在β内仅有唯一的直线与a平行.
以上四个结论中,正确结论的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:②中α内的直线与l可异面,④中可有无数条.
4.平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⫋α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⫋α,b⫋β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⫋α,b⫋β,a∥β,b∥α
答案:D
解析:若α∩β=l,a∥l,a⊈α,a⊈β,
则a∥α,a∥β,故排除A.
若α∩β=l,a⫋α,a∥l,
则a∥β,故排除B.
若α∩β=l,a⫋α,a∥l,b⫋β,b∥l,
则a∥β,b∥α,故排除C.选D.
5.已知平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项正确的是(　　)
A.如果m⫋α,n⊈α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m⫋α,n与α相交,那么m,n是异面直线
C.如果m⫋α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
D.如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α
答案:C
解析:如图(1)可知A错;如图(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错.
∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⫋α,∴n与m无公共点,又m,n共面,∴m∥n,故选C.

6.

如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论中不正确的是(　　)
A.MC⊥AN
B.GB∥平面AMN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面DCM∥平面ABN〚导学号32470502〛
答案:C
解析:

显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),
取AN的中点H,连接HB,MH,
则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;
由题意易得GB∥MH,
又GB⊈平面AMN,MH⫋平面AMN,
所以GB∥平面AMN,所以B正确;
因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,
所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.
7.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列三个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
③若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
答案:B
解析:对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正确;对②,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故②错误;对③,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上①③正确.故选B.
8.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 
答案:6
解析:过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
9.

如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为　　　　　　　　. 
答案:平行
解析:取PD的中点F,连接EF,AF,

在△PCD中,EF􀱀CD.
又∵AB∥CD且CD=2AB,
∴EF􀱀AB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.
又∵EB⊈平面PAD,AF⫋平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件　　　　　　　　　　　　　　　　　时,有平面D1BQ∥平面PAO.〚导学号32470503〛 
答案:Q为CC1的中点
解析:

如图,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,
所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.
又D1B⊈平面PAO,QB⊈平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
11.(2015山东,文18改编)

如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
证明:(方法一)连接DG,CD,设CD∩GF=M.连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,

可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
则M为CD的中点.又H为BC的中点,
所以HM∥BD,
又HM⫋平面FGH,BD⊈平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
(方法二)在三棱台DEF-ABC中,
由BC=2EF,H为BC的中点,
可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形HBEF为平行四边形,
可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,
所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD⫋平面ABED,
所以BD∥平面FGH.
12.

如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明:(1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,

所以BE∥MO,
又BE⊈平面DMF,MO⫋平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又DE⊈平面MNG,GN⫋平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点,
所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,
又MN⫋平面MNG,BD⊈平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
又DE,BD⫋平面BDE,DE∩BD=D,
所以平面BDE∥平面MNG.
能力提升组
13.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则(　　)
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形〚导学号32470504〛
答案:B

解析:如图,由题意得,EF∥BD,
且EF=BD.
HG∥BD,且HG=BD,
∴EF∥HG,且EF≠HG.
∴四边形EFGH是梯形.
又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故B正确.
14.设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)
A.m∥β,且l1∥α
B.m∥l1,且n∥l2
C.m∥β,且n∥β
D.m∥β,且n∥l2
答案:B
解析:对于选项A,不合题意;
对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α,故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;
对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要不充分条件;
对于选项D,由于n∥l2可转化为n∥β,同选项C,故不符合题意.
综上选B.
15.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⫋γ,且　　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. 
①α∥γ,n⫋β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⫋γ.
可以填入的条件有(　　)
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③〚导学号32470505〛
答案:C
解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⫋γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.选C.
16.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为　　　　　. 
答案:

解析:取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⫋平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF􀱀AC􀱀DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=.
17.

如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置,使得A'C=2.
(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;
(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M;若不存在,请说明理由.
解:

(1)连接AC,设AC∩EF=H,连接A'H.∵四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,
∴H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH,
从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,
又A'H∩CH=H,
所以EF⊥平面A'HC,且EF⫋平面ABCD,
从而平面A'HC⊥平面ABCD,
过点A'作A'O⊥HC,与HC相交于点O,
则A'O⊥平面ABCD,
因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,
故A'H=2,CH=4,
所以cos∠A'HC=
=,
所以HO=A'H·cos∠A'HC=,
则A'O=,
所以五棱锥A'-BCDFE的体积
V=.
(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,
此时A'M=.
证明如下:
连接OM,BD,BM,DM,且易知BD过O点.
A'M=A'C,HO=HC,
所以OM∥A'H,
又OM⊈平面A'EF,A'H⫋平面A'EF,
所以OM∥平面A'EF,
又BD∥EF,BD⊈平面A'EF,EF⫋平面A'EF,
所以BD∥平面A'EF,
又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,
因为BM⫋平面MBD,
所以BM∥平面A'EF.〚导学号32470506〛
18.

如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⫋平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证:EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)解:连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.

因为PA=PC,O是AC的中点,
所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD,
且PO⊈平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2,
得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,
即K为OB的中点.
再由PO∥GK,得GK=PO,
即G是PB的中点,
且GH=BC=4.
由已知可得OB=4,
PO==6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.

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