2023版高考数学一轮复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法课时跟踪检测文新人教A版.doc

第二节　一元二次不等式及其解法
A级·根底过关|固根基|
1.集合A＝，B＝{0，1，2，3}，那么A∩B＝(　　)
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{1} D．{1，2，3}
解析：选A　∵A＝＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．应选A.
2．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，那么m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，2)
C. D．(－∞，0)
解析：选D　由不等式的解集形式知m<0.应选D.
3．假设不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2，5]
解析：选A　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，
只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.
4．(2023届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，那么函数y＝f(－x)的图象为(　　)
解析：选C　由题意得解得那么函数f(x)＝－x2－x＋2，那么y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，结合选项可知选C.
5．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
解析：选D　因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；
当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
要使不等式的解集中至多包含2个整数，那么a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2，4]，应选D.
6．不等式<1的解集是________．
解析：<1⇒<0⇒>0⇒x>1或x<－1.
答案：{x|x>1或x<－1}
7．函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，假设关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋8)，那么实数c的值为________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a2－4b＝0，即b＝a2.又因为关于x的不等式f(x)<c可化成x2＋ax＋b－c<0，所以x2＋ax＋a2－c<0，
假设不等式f(x)<c的解集为(m，m＋8)，
也就是方程x2＋ax＋a2－c＝0的两根分别为x1＝m，
x2＝m＋8，所以
可得|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64，
即(－a)2－4＝64，解得c＝16.
答案：16
8．函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，假设当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，那么a＝________，b的取值范围是________．
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2.
又因为f(x)>0恒成立，即b2－b－2>0成立，
解得b<－1或b>2.
答案：2　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
9．函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
(1)求f(x)在[0，1]内的值域；
(2)假设ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，
当x∈(－3，2)时，f(x)>0.
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以所以a＝－3，b＝5，
所以f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋.
因为函数图象关于x＝－对称且抛物线开口向下，
所以f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝18，f(x)min＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－，
所以实数c的取值范围为.
10．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.
解：对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a< 时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；
当Δ＝0时，即a＝± 时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a>或a<－ 时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋ }．
综上，当a>或a<－ 时，解集为{x|a－≤x≤a＋ }；当a＝ 时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－<a<时，解集为∅.
B级·素养提升|练能力|
11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，假设函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，那么t的取值范围是(　　)
A．－≤t≤ B．t≥2或t≤－2或t＝0
C．t≥或t≤－或t＝0 D．－2≤t≤2
解析：选B　假设函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由易得f(x)的最大值是1，∴1≤t2－2at＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta－t2≤0对a∈[－1，1]都成立．
设g(a)＝2ta－t2(－1≤a≤1)，欲使2ta－t2≤0恒成立，
只需满足⇒t≥2或t＝0或t≤－2.应选B.
12．(一题多解)假设不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈ 恒成立，那么a的最小值是(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
解析：选C　解法一：令f(x)＝x2＋ax＋1＝＋1－.当0<－<，即－1<a<0时，f(x)min＝f＝1－，要使不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，只需1－≥0，显然成立．
当－≥，即a≤－1时，函数f(x)在上单调递减，f(x)min＝f＝＋，同理，要使原不等式恒成立，需有＋≥0，解得a≥－，∴－≤a≤－1.
当－≤0，即a≥0时，函数f(x)在上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立．
综上，a的取值范围是a≥－，其最小值为－.应选C.
解法二：因为x∈，所以不等式x2＋ax＋1≥0
可化为a≥－x－，令f(x)＝－x－，那么f′(x)＝－1＋＝>0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)≤f＝－，由题意得a≥－，故a的最小值为－.应选C.
13．(2023届云南昆明适应性检测)关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，那么b－a＝________．
解析：画出函数f(x)＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象，如图．
可得f(x)min＝f(2)＝1，
由图象可知，假设a>1，那么不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合条件，
因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．
又不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，
所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b，可得
由b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0，
解得b＝或b＝4.
当b＝时，由a2－3a＋4－＝0，解得a＝或a＝，不符合题意，舍去．
所以b＝4，此时a＝0，
所以b－a＝4.
答案：4
14．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如下图)：
①如图①，当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即即
可得解得a∈∅.
③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即即
可得所以－7≤a≤－6，
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．