2022届中考数学复习专题(七)圆的有关计算与证明.docx

〔1〕求证：△COD∽△CBE；

：
试题解析： 〔1〕∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
〔2〕在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC==15，
∵△COD∽△CBE．
∴，即，
解得：r=．
考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.

〔1〕求证：DE是圆O的切线.
(2)假设AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.
(1)如下列图，连接OE，CE
∵AC是圆O的直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
∴ED＝BC＝DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD
∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形
3.〔2022甘肃庆阳第27题〕如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
〔1〕假设点A〔0，6〕，N〔0，2〕，∠ABN=30°，求点B的坐标；
〔2〕假设D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
〔1〕∵A的坐标为〔0，6〕，N〔0，2〕，
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=，
∴B〔，2〕．
〔2〕连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
4.〔2022广西贵港第24题〕如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆.
〔1〕求证：是的切线；
〔2〕假设求的半径.
【答案】(1)证明见解析；〔2〕．
〔1〕连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
〔2〕连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=，
∴AF=4，tan∠DAC==，
∴DF=2，
∴AD==2，
∴AE=，
在Rt△PAE中，tan∠1==，
∴PE=，
设⊙O的半径为R，那么OE=R﹣，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，
∴R2=〔R﹣〕2+〔〕2，
∴R=，
即⊙O的半径为．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
5.〔2022贵州安顺第25题〕如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
〔1〕求证：BE与⊙O相切；
〔2〕设OE交⊙O于点F，假设DF=1，BC=2 ，求阴影局部的面积．
【答案】(1)证明见解析；〔2〕4﹣π．
〔1〕证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
〔2〕解：设⊙O的半径为r，那么OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴〔r﹣1〕2+〔〕2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影局部的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
6.〔2022湖北武汉第21题〕如图，内接于，的延长线交于点．
〔1〕求证平分；
〔2〕假设，求和的长．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；.
〔2〕过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=,设AC=5m，那么CE=3m
∴AE=4m，BE=m
在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36
∴m=，
∴AC=
延长AO交BC于点H，那么AH⊥BC，且BH=CH=3，
过点O作OF⊥AH交AB于点F，
∵∠HOC=∠BAC
∴OH=4，OC=5
∴AH=9
∴tan∠BAH=
∴OF=AO=
∵OF∥BC
∴，即
∴DC=.
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.
7.〔2022湖南怀化第23题〕如图，是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.
(1)求证：；
(2)求证：是的切线.

∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
〔2〕连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．
11.〔2022江苏盐城第25题〕如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
〔1〕求证：BC是⊙F的切线；
〔2〕假设点A、D的坐标分别为A〔0，-1〕，D〔2，0〕，求⊙F的半径；
〔3〕试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕⊙F的半径为；〔3〕AG=AD+2CD．证明见解析.
试题解析：〔1〕连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；
〔2〕连接FD，
设⊙F的半径为r，
那么r2=〔r-1〕2+22，
解得，r=，即⊙F的半径为；
〔3〕AG=AD+2CD．
证明：作FR⊥AD于R，
那么∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD，
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=AD+CD，
∴AG=2FE=AD+2CD．.
考点：圆的综合题．
13.〔2022甘肃兰州第27题〕如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.
(1)求证：是的切线；
(2)假设的半径为5，，求的长.
〔1〕由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
〔2〕连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
〔2〕连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∴，
∴AC=AE=，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴，
∴，
∴EF=．
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
14.〔2022贵州黔东南州第21题〕如图，直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
〔1〕求证：PT2=PA•PB；
〔2〕假设PT=TB=，求图中阴影局部的面积．
〔1〕证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴，
∴PT2=PA•PB．
〔2〕∵TP=TB=，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB=
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=.
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．
16.〔2022四川泸州第24题〕如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
〔1〕求证：DF∥AO；
〔2〕假设AC=6，AB=10，求CG的长．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2.
〔1〕证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
〔2〕过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC==8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD2=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，
∴OA==3，
∵OC2=OE•OA，
∴OE=，
∵EM∥AC，
∴，
∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，
∴，
∴CG=EM=2．
考点：切线的性质．
17.〔2022四川宜宾第23题〕如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
〔1〕求证：直线CE是⊙O的切线．
〔2〕假设BC=3，CD=3，求弦AD的长．
〔1〕证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
〔2〕∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴CD2=CB•CA，
∴〔3〕2=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，,设BD=K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=，
∴AD=．
考点：切线的判定与性质．
18.〔2022新疆建设兵团第22题〕如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
〔1〕求证：BE是⊙O的切线；
〔2〕当BE=3时，求图中阴影局部的面积．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕．
〔1〕如下列图，连接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，
∴BE是⊙O的切线；
〔2〕当BE=3时，BC=3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=，
∴AC=2AB=2，AO=，
∴阴影局部的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=．
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
1. (2022北京第24题)如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点.
〔1〕求证：；
〔2〕假设，求的半径.
〔1〕证明：∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线，∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中, ∠4=∠5，∴DE=DB.
(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=BE=3，在 RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴DF=∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中，sin∠AOE= ,
∵AE=6, ∴AO=.
考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数
2. (2022天津第21题)是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点，是上一点，延长交⊙于点.
〔1〕如图①，求和的大小；
〔2〕如图②，当时，求的大小.
：(1)如图，连接AC,21世纪教育网
∵是⊙的直径，是⊙的切线，
∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.
∵，
∴∠T=90°-∠ABT=40°
由是⊙的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°
∴∠CDB=∠CAB=40°;
〔2〕如图，连接AD,
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°,
∴∠BAD=∠BCD=65°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65°
∵∠ADC=∠ABC=50°
∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
3. (2022福建第21题)如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．
〔Ⅰ〕假设，求弧的长；
〔Ⅱ〕假设弧弧，，求证：是的切线．

〔Ⅱ〕∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.
4. (2022河南第18题)如图，在中， ，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.
〔1〕求证：；
〔2〕假设，，求的长.
(1)∵
∴∠ABC=∠ACB

∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB，即CB平分∠DCF
∵为⊙直径
∴∠ADB=90°，即
∵BF为⊙的切线
∴
∵
∴
∴BD=BF
考点：圆的综合题.
6. 〔2022湖南长沙第23题〕如图，与⊙相切于，分别交⊙于点，．
〔1〕求证：；
〔2〕，，求阴影局部的面积．
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕
试题解析：〔1〕连接OC，那么OC⊥AB
∵
∴∠AOC=∠BOC
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC〔ASA〕
∴AO=BO
〔2〕由〔1〕可得AC=BC=AB=
∴在Rt△AOC中，OC=2
∴∠AOC=∠BOC=60°
∴
∴
考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积
7. 〔2022山东临沂第23题〕如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.
〔1〕求证：；
〔2〕假设，，求外接圆的半径.
【
试题解析：〔1〕平分，平分，，又，，,..
〔2〕解：连接，，是圆的直径.，.，，，是等腰直角三角形.，.的外接圆的半径为.
考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理
8. (2022四川泸州第24题)如图，⊙O与的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点，连接并延长交边于点.
〔1〕求证：//
〔2〕假设求的长.
〔1〕证明：与⊙O相切与点
〔弦切角定理〕
又与⊙O相切与点
由切线长定理得：
即：DF//AO
（2） ：过点作与
由切割线定理得：,解得：
21世纪教育网
由射影定理得：
9. (2022山东滨州第23题)〔本小题总分值10分〕
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
〔1〕求证：直线DM是⊙O的切线；
〔2〕求证：DE2＝DF·DA．
【答案】详见解析.
试题解析：
证明：〔1〕如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；
∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．21世纪教育网
∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，21世纪教育网
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．
∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；
〔2〕如图2，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2＝DF·DA．
∴DE2＝DF·DA．
10. (2022辽宁沈阳第22题)如图，在中，以为直径的交于点，过点做于点，延长交的延长线于点，且.
〔1〕求证：是的切线；
〔2〕假设，的半径是3，求的长.
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕.
试题解析：
(1)连接OE，
那么,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
又∵OE是的半径
∴是的切线；
〔2〕∵，∵
∴
∴BA=BC
又的半径为3，
∴OE=OB=OC
∴BA=BC=2×3=6
在Rt△OEG中，sin∠EGC=，即
∴OG=5
在Rt△FGB中，sin∠EGC=，即
∴BF=
∴AF=AB-BF=6-=.
考点：圆的综合题.
13. (2022山东菏泽第22题)如图，是⊙的直径，与⊙相切于点，连接交⊙于点.连接.
〔1〕求证：；
〔2〕求证：；
〔3〕当时，求的值.
【答案】(1)详见解析；〔2〕详见解析；〔3〕.
【解析】
试题分析：〔1〕根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得；〔2〕先证△PB∽C△ABP，根据相似三角形的性质即可得结论； 〔3〕利用，得，从而求=
试题解析：
【解】
〔1〕∵是⊙的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∵与⊙相切于点
∴∠CBP+∠ABC=90°
∴
(2) ∵，∠P=∠P
∴△PB∽C△ABP
∴
∴
〔3〕∵
∴AP=9
∵
∴
∴=
14. (2022浙江金华第22题)如图，：是的直径，点在上，是的切线，于点是延长线上的一点，交于点，连接．
(1)求证：平分．
(2)假设，．
①求的度数．
②假设的半径为，求线段的长．
【答案】(1)详见解析；〔2〕①∠OCE=45°；②2-2.
〔1〕解：∵直线与⊙O相切，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC平分∠DAO.
〔2〕解：①∵AD//OC，∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,
∵OC=2,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2,
∴EF=GE-FG=2-2.
15. 〔2022浙江湖州第21题〕〔本小题8分〕
如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．，．
〔1〕求的长；
〔2〕求图中阴影局部的面积．
【答案】〔1〕〔2〕
〔1〕在Rt△ABC中，AB===2
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
〔2〕在Rt△ABC中，sinA=
∴∠A=30°
∵AB切⊙O于点D
∴OD⊥AB
∴∠AOD=90°-∠A=60°
∵
∴
∴OD=1
∴
考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积
16. 〔2022浙江台州第22题〕 如图，等腰直角三角形，点是斜边上一点〔不与重合〕，是的外接圆⊙的直径.
〔1〕求证：是等腰直角三角形；
〔2〕假设⊙的直径为2，求的值.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕4
〔1〕证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴△APE是等腰直角三角形.
〔2〕∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形
14．〔2022四川省南充市〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕6．
【解析】
试题分析：〔1〕连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
〔2〕设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=〔r+2〕2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：〔1〕如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
〔2〕设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=〔r+2〕2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
15．〔2022四川省广安市〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
〔1〕求证：直线AE是⊙O的切线．
〔2〕假设∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕．
〔1〕连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；
〔2〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==，Rt△ADB中，cos∠BAD==，∴=，∴AD=6，∴BD= =，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴，∴，∴BF=．
考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．