2023版高考数学一轮复习第8章立体几何第3节空间点直线平面之间的位置关系课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
A级·根底过关|固根基|
1.异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：选C　假设c与a，b都不相交，那么c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．
2．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B　
如下图，易证四边形EFGH为平行四边形．
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
又FG∥BD，
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
3．直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，那么“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　假设直线a，b相交，设交点为P，那么P∈a，P∈b，又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，假设α，β相交，那么a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交〞是“平面α和平面β相交〞的充分不必要条件．
4．如下图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，那么平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析：选C　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β.
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
5.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：选A　连接A1C1，AC，那么A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．应选A.
6．给出以下四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②假设平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，那么α与β相交；
③假设一条直线和两条平行线都相交，那么这三条直线共面；
④假设三条直线两两相交，那么这三条直线共面．
其中真命题的序号是________．
解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点；②正确，a，b有交点，那么两平面有公共点，那么两平面相交；③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面；④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．
答案：①②③
7．(2023届广安期末)给出以下四个结论：
①平行于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③假设α，β是两个平面，m，n是异面直线，且m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，那么α∥β；
④假设在三棱锥A－BCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么点B在平面ACD内的射影是△ACD的垂心．
其中错误结论的序号为________(要求填上所有错误结论的序号)．
解析：由平行公理4可得平行于同一直线的两条直线互相平行，①正确；
垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，②错误；
假设α，β是两个平面，m，n是异面直线，且m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，由线面平行的性质定理可得过n的平面与平面α交于n′，可得n∥n′，且n′∥β，由面面平行的判定定理可得α∥β，③正确；
假设在三棱锥A－BCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，设点B在平面ACD内的射影为H，连接AH，CH，DH，由BH⊥平面ACD，可得BH⊥CD，CD⊥AB，BH∩AB＝B，可得CD⊥平面ABH，那么CD⊥AH，同理可得AC⊥DH，可得H是△ACD的垂心，④正确．
答案：②
8．如图，圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，
所以∠C1AD(或其补角)为异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
那么tan∠C1AD＝＝，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
答案：
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)假设E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而∠B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角．
因为AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°，
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC，
所以EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
证明：如图，连接BD，B1D1，
那么BD∩AC＝O，
∵BB1DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形．
又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，
那么H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
故D1，H，O三点共线.
B级·素养提升|练能力|
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，假设M为线段A′C的中点，那么异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)
A. B．2
C. D．4
解析：选A　
取A′D的中点N，连接PN，MN，
∵M是A′C的中点，
∴MN∥CD，且MN＝CD.
∵四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，
∴PB∥CD，且PB＝CD，
∴MN∥PB，且MN＝PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴MB∥PN，
∴∠A′PN(或其补角)是异面直线BM与PA′所成的角．
在Rt△A′PN中，tan ∠A′PN＝＝，
∴异面直线BM与PA′所成角的正切值为.应选A.
12．(2023届长沙模拟)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，那么P为________．
解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，那么EMCC′KF，得四边形EFKM为平行四边形，假设取点K为P，那么AA′∥BB′∥CC′∥PF，故与平面PEF平行的棱超过2条，不符合题意；因为HB′∥MK，MK∥EF，所以HB′∥EF，假设取点H或B′为P，那么平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC′，那么EF∥A′B′∥AB，假设取点G为P，那么AB，A′B′与平面PEF平行．
答案：G
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，那么以下结论中正确的选项是________(填序号)．
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥E－ABC的体积为定值；
④B1E⊥BC1.
解析：因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故①正确；因为B1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，那么VE－ABC＝V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．
答案：①②③
14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
解：(1)由可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，那么∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝，
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.