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2022年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题〔本大题共12小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项正确的，请把正确答案选出来，每题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分〕
1．〔3分〕﹣2的倒数是〔　　〕
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．〔3分〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
3．〔3分〕2022年，我市“全面改薄〞和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法表示正确的选项是〔　　〕
A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106
4．〔3分〕如图，两个等直径圆柱构成如下列图的T型管道，那么其俯视图正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
5．〔3分〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．〔a2〕m=a2m B．〔2a〕3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
6．〔3分〕某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是〔　　〕
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
7．〔3分〕以下函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是〔　　〕
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
8．〔3分〕不等式组的解集是〔　　〕
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
9．〔3分〕公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米〔cm〕表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米〔cm〕表示．下面给出的四个公式中，说明这是一个短而硬的弹簧的是〔　　〕
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P

A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4
11．〔3分〕如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b〔a＞b〕，M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
12．〔3分〕观察以下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形〔如图1〕；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去〔如图2，图3…〕，那么图6中挖去三角形的个数为〔　　〕
A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题〔本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每题填对得4分〕
13．〔4分〕计算：﹣=．
14．〔4分〕如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是．
15．〔4分〕方程3x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕的解为．
16．〔4分〕淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是．
17．〔4分〕某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如下列图．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切〔E为上切点〕，与左右两边相交〔F，G为其中两个交点〕，图中阴影局部为不透光区域，其余局部为透光区域．圆的半径为1m，根据设计要求，假设∠EOF=45°，那么此窗户的透光率〔透光区域与矩形窗面的面积的比值〕为．
三、解答题〔本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
18．〔6分〕先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
19．〔8分〕随着移动终端设备的升级换代， 已经成为我们生活中不可缺少的一局部，为了解中学生在假期使用 的情况〔选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它〕，端午节后某中学在全校范围内随机抽取了假设干名学生进行调查，得到如以下列图表〔局部信息未给出〕：
选项
频数
频率
A
10
m
B
n
0.2
C
5
0.1
D
p
0.4
E
5
0.1
根据以上信息解答以下问题：
〔1〕这次被调查的学生有多少人
〔2〕求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
〔3〕假设该中学约有800名学生，估计全校学生中利用 购物或玩游戏的共有多少人并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用 给出你的一条建议．
20．〔8分〕如图，Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
21．〔10分〕如下列图，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，∠B=30°，∠C=45°．
〔1〕求B，C之间的距离；〔保存根号〕
〔2〕如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速请说明理由．〔参考数据：≈1.7，≈1.4〕
22．〔10分〕随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处到达最高，水柱落地处离池中心3米．
〔1〕请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
〔2〕求出水柱的最大高度的多少
23．〔10分〕如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
〔1〕求证：四边形BFEP为菱形；
〔2〕当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时〔如图2〕，求菱形BFEP的边长；
②假设限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
24．〔12分〕有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=〔k≠0〕的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
〔1〕如下列图，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，A点的坐标为〔﹣k，﹣1〕，那么B点的坐标为；
〔2〕假设点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下，设P〔m，〕，直线PA的解析式为y=ax+b〔a≠0〕．
那么，
解得
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为〔1，k〕〔k≠1〕时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
2022年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共12小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项正确的，请把正确答案选出来，每题选对得3分，选错、不选、或选出的答案超过一个均记零分〕
1．〔3分〕〔2022•德州〕﹣2的倒数是〔　　〕
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
应选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：假设两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．〔3分〕〔2022•德州〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
应选D．
【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
3．〔3分〕〔2022•德州〕2022年，我市“全面改薄〞和解决大班额工程成绩突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法表示正确的选项是〔　　〕
A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：477万用科学记数法表示4.77×106，
应选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．〔3分〕〔2022•德州〕如图，两个等直径圆柱构成如下列图的T型管道，那么其俯视图正确的选项是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：两个等直径圆柱构成如下列图的T型管道的俯视图是矩形和圆的组合图，且圆位于矩形的中心位置，
应选：B．
【点评】此题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．〔3分〕〔2022•德州〕以下运算正确的选项是〔　　〕
A．〔a2〕m=a2m B．〔2a〕3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
【分析】根据整式的运算法那么即可求出答案．
【解答】解：〔B〕原式=8a3，故B不正确；
〔C〕原式=a﹣2，故C不正确；
〔D〕原式=a8，故D不正确；
应选〔A〕
【点评】此题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法那么，此题属于根底题型．
6．〔3分〕〔2022•德州〕某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是〔　　〕
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
应选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．〔3分〕〔2022•德州〕以下函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是〔　　〕
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值的增大而增大；C、由a=2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大；D、由k=﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y=2x2+1中a=2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而减小，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴C选项不符合题意；
D、y=﹣中k=﹣1，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
应选A．
【点评】此题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一次〔二次、反比例〕函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关键．
8．〔3分〕〔2022•德州〕不等式组的解集是〔　　〕
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，
解不等式＞x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
应选：B．
【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．
9．〔3分〕〔2022•德州〕公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米〔cm〕表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米〔cm〕表示．下面给出的四个公式中，说明这是一个短而硬的弹簧的是〔　　〕
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
应选A．
【点评】此题考查了一次函数的应用，比较L0和K的值，找出短而硬的弹簧是解题的关键．

A．﹣=4 B．﹣=4
C．﹣=4 D．﹣=4

【解答】解：设他上月买了x本笔记本，那么这次买了〔x+20〕本，
根据题意得：﹣=4．
应选D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．
11．〔3分〕〔2022•德州〕如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b〔a＞b〕，M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是〔　　〕
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；
②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b﹣；故②正确；
③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；
④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确；
⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，
∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴，
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b〔a＞b〕，BM=b，
∴EF=b，CM=a﹣b，ME=〔a﹣b〕+b=a，
∴，
∴CP=b﹣；故②正确；
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中，，
∴△ABM≌△NGF；故③正确；
④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，
∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确；
⑤∵四边形AMFN是正方形，
∴∠AMP=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
应选D．
【点评】此题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
12．〔3分〕〔2022•德州〕观察以下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形〔如图1〕；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去〔如图2，图3…〕，那么图6中挖去三角形的个数为〔　　〕
A．121 B．362 C．364 D．729
【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的〔1+3〕个小三角形，
图3挖去中间的〔1+3+32〕个小三角形，
…
那么图6挖去中间的〔1+3+32+33+34+35〕个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，
应选：C．
【点评】此题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．
二、填空题〔本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每题填对得4分〕
13．〔4分〕〔2022•德州〕计算：﹣=．
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣=，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
14．〔4分〕〔2022•德州〕如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是　同位角相等，两直线平行　．
【分析】过直线外一点作直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角〞中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
15．〔4分〕〔2022•德州〕方程3x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕的解为　x=1或x=．
【分析】移项后分解因式得到〔x﹣1〕〔3x﹣2〕=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出方程的解即可．
【解答】解：3x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕，
移项得：3x〔x﹣1〕﹣2〔x﹣1〕=0，
即〔x﹣1〕〔3x﹣2〕=0，
∴x﹣1=0，3x﹣2=0，
解方程得：x1=1，x2=．
故答案为：x=1或x=．
【点评】此题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．〔4分〕〔2022•德州〕淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同时抽到物理的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数为1，
所以他们两人都抽到物理实验的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
17．〔4分〕〔2022•德州〕某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如下列图．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切〔E为上切点〕，与左右两边相交〔F，G为其中两个交点〕，图中阴影局部为不透光区域，其余局部为透光区域．圆的半径为1m，根据设计要求，假设∠EOF=45°，那么此窗户的透光率〔透光区域与矩形窗面的面积的比值〕为．
【分析】把透光局部看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．
【解答】解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，那么M、O、E共线，
由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，
∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，
∴S透明区域=+2××1×1=+1，
过O作ON⊥AD于N，
∴ON=FG=，
∴AB=2ON=2×=，
∴S矩形=2×=2，
∴==．
故答案为：．
【点评】此题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光局部化分为几个熟知图形的面积是关键．
三、解答题〔本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
18．〔6分〕〔2022•德州〕先化简，再求值：÷﹣3，其中a=．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答此题．
【解答】解：÷﹣3
=
=a﹣3，
当a=时，原式=．
【点评】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．〔8分〕〔2022•德州〕随着移动终端设备的升级换代， 已经成为我们生活中不可缺少的一局部，为了解中学生在假期使用 的情况〔选项：A．和同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它〕，端午节后某中学在全校范围内随机抽取了假设干名学生进行调查，得到如以下列图表〔局部信息未给出〕：
选项
频数
频率
A
10
m
B
n
0.2
C
5
0.1
D
p
0.4
E
5
0.1
根据以上信息解答以下问题：
〔1〕这次被调查的学生有多少人
〔2〕求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
〔3〕假设该中学约有800名学生，估计全校学生中利用 购物或玩游戏的共有多少人并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用 给出你的一条建议．
【分析】〔1〕根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
〔2〕根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
〔3〕根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：〔1〕从C可看出5÷0.1=50人，
答：次被调查的学生有50人；
〔2〕m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，
，
〔3〕800×〔0.1+0.4〕=800×0.5=400人，
答：全校学生中利用 购物或玩游戏的共有400人，可利用 学习．
【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．
20．〔8分〕〔2022•德州〕如图，Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【分析】〔1〕求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
〔2〕求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【解答】〔1〕证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
〔2〕解：由〔1〕知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴=，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，那么BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=，
即AE=．
【点评】此题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．
21．〔10分〕〔2022•德州〕如下列图，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，∠B=30°，∠C=45°．
〔1〕求B，C之间的距离；〔保存根号〕
〔2〕如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速请说明理由．〔参考数据：≈1.7，≈1.4〕
【分析】〔1〕如图作AD⊥BC于D．那么AD=10m，求出CD、BD即可解决问题．
〔2〕求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【解答】解：〔1〕如图作AD⊥BC于D．那么AD=10m，
在Rt△ACD中，∵∠C=45°，
∴AD=CD=10m，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
∴tan30°=，
∴BD=AD=10m，
∴BC=BD+DC=〔10+10〕m．
〔2〕结论：这辆汽车超速．
理由：∵BC=10+1027m，
∴汽车速度==30m/s=108km/h，
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
【点评】此题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．〔10分〕〔2022•德州〕随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处到达最高，水柱落地处离池中心3米．
〔1〕请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
〔2〕求出水柱的最大高度的多少
【分析】〔1〕以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〕2+h，代入〔0，2〕和〔3，0〕得出方程组，解方程组即可，
〔2〕求出当x=1时，y=即可．
【解答】解：〔1〕如下列图：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a〔x﹣1〕2+h，
代入〔0，2〕和〔3，0〕得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣〔x﹣1〕2+；
即y=﹣x2+x+2〔0≤x≤3〕；
〔2〕y=﹣x2+x+2〔0≤x≤3〕，
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．
【点评】此题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
23．〔10分〕〔2022•德州〕如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
〔1〕求证：四边形BFEP为菱形；
〔2〕当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时〔如图2〕，求菱形BFEP的边长；
②假设限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【分析】〔1〕由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
〔2〕①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．
【解答】〔1〕证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
〔2〕解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE==4cm，
∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，
∴EP2=12+〔3﹣EP〕2，
解得：EP=cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
【点评】此题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；此题综合性强，有一定难度．
24．〔12分〕〔2022•德州〕有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=〔k≠0〕的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=x与y=，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
〔1〕如下列图，设函数y=x与y=图象的交点为A，B，A点的坐标为〔﹣k，﹣1〕，那么B点的坐标为　〔k，1〕　；
〔2〕假设点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
证明过程如下，设P〔m，〕，直线PA的解析式为y=ax+b〔a≠0〕．
那么，
解得
﹣1　
∴直线PA的解析式为　y=x+﹣1　
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为〔1，k〕〔k≠1〕时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
【分析】〔1〕根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
〔2〕①设P〔m，〕，根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．
【解答】解：〔1〕由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为〔﹣k，﹣1〕，
∴B点的坐标为〔k，1〕．
故答案为：〔k，1〕．
〔2〕①证明过程如下，设P〔m，〕，直线PA的解析式为y=ax+b〔a≠0〕．
那么，
解得：，
∴直线PA的解析式为y=x+﹣1．
当y=0时，x=m﹣k，
∴M点的坐标为〔m﹣k，0〕．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为〔m，〕，
∴H点的坐标为〔m，0〕，
∴MH=xH﹣xM=m﹣〔m﹣k〕=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
故答案为：；y=x+﹣1．
②由①可知，在△PMN中，PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．
当P点坐标为〔1，k〕时，PH=k，
∴MH=HN=PH，
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图1，
S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，
=MN•PH﹣ON•yB+OM•|yA|，
=×2k×k﹣〔k+1〕×1+〔k﹣1〕×1，
=k2﹣1；
当0＜k＜1时，如图2，
S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，
=ON•yB﹣k2+OM•|yA|，
=〔k+1〕×1﹣k2+〔1﹣k〕×1，
=1﹣k2．
【点评】此题考查了正〔反〕比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：〔1〕根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；〔2〕①利用等腰三角形的三线合一证出PM=PN；②分k＞1和0＜k＜1两种情况求出△PAB的面积．