2022届中考数学总复习(16)反比例函数-精练精析(2)及答案解析.docx

函数——反比例函数2
一．选择题〔共8小题〕
1．反比例函数的图象上有两点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，假设y1＞y2，那么x1﹣x2的值是〔　　〕
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
2．如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为〔1，3〕，点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为〔　　〕
A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3
3．如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A〔1，2〕，B〔﹣2，﹣1〕两点，假设y1＜y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A．x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
4．如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为〔　　〕
A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0或x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣3＜x＜1
5．如图，反比例函数y1=和一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点．A、B两点的横坐标分别为2，﹣3．通过观察图象，假设y1＞y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A．0＜x＜2 B．﹣3＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2或x＜﹣3 D．﹣3＜x＜0
6．正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于〔　　〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
7．假设ab＜0，那么一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是〔　　〕
A． B． C． D．
8．函数＞0〕的图象如下列图，那么以下说法中错误的选项是〔　　〕
A．两函数图象的交点A坐标为〔2，2〕
B．当x＞2时，y1＜y2
C．当x=1时，BC=3
D．当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减少
二．填空题〔共6小题〕
9．如图，函数y=和y=﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，那么△PAB的面积为　_________　．
10．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，那么k的值为　_________　．
11．点P〔1，﹣4〕在反比例函数y=的图象上，那么k的值是　_________　．
12．双曲线y=经过点〔﹣2，1〕，那么k的值等于　_________　．
13．假设点P1〔﹣1，m〕，P2〔﹣2，n〕在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，那么m　_________　n〔填“＞〞“＜〞或“=〞号〕．
14．反比例函数y=的图象经过点A〔﹣2，3〕，那么当x=﹣3时，y=　_________　．
三．解答题〔共9小题〕
15如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A〔﹣2，0〕，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B〔m，n〕，连结OB．假设S△AOB=6，S△BOC=2．
〔1〕求一次函数的表达式；
〔2〕求反比例函数的表达式．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．
〔1〕求点B的坐标和线段PB的长；
〔2〕当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．
17．如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
〔1〕求A、B两点的坐标；
〔2〕求△ABC的面积．
18．如图①，△OAB中，A〔0，2〕，B〔4，0〕，将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
〔1〕当m=4时，如图②．假设反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
〔2〕假设反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
19．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为〔m，2〕，点B坐标为〔﹣4，n〕，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
〔1〕求一次函数与反比例函数的解析式；
〔2〕求四边形OCBD的面积．
20．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为〔1，2〕
〔1〕求反比例函数的表达式；
〔2〕根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
〔3〕计算线段AB的长．
21．如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A〔m，2〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；
〔2〕结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A〔2，5〕在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
〔1〕求k和b的值；
〔2〕求△OAB的面积．
23．如图，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A〔m，﹣2〕．
〔1〕求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
〔2〕试根据图象写出不等式≥kx的解集；
〔3〕在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由．
函数——反比例函数2
参考答案与试题解析
一．选择题〔共8小题〕
1．反比例函数的图象上有两点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，假设y1＞y2，那么x1﹣x2的值是〔　　〕
A． 正数 B．负数 C．非正数 D． 不能确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 数形结合．
分析： 由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，那么x1﹣x2的值不确定．
解答： 解：∵反比例函数的图象的图象在二、四象限，
∴当点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕都在第二象限时，由y1＞y2，那么x1﹣x2＞0；
当点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕都在第四象限时，由y1＞y2，那么x1﹣x2＞0；
当点A〔x1，y1〕在第二象限、B〔x2，y2〕在第四象限时，即y1＞0＞y2，那么x1﹣x2＜0；
那么x1﹣x2的值不确定．
应选：D．
点评： 此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．
2．如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M、N，并且点M的坐标为〔1，3〕，点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为〔　　〕
A． ﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D． ﹣1，3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 首先把M点代入y=中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点坐标，求关于x的方程=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x的值．
解答： 解：∵M〔1，3〕在反比例函数图象上，
∴m=1×3=3，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为﹣1．
∴x=﹣3，
∴N〔﹣3，﹣1〕，
∴关于x的方程=kx+b的解为：﹣3，1．
应选：A．
点评： 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．
3．如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A〔1，2〕，B〔﹣2，﹣1〕两点，假设y1＜y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A． x＜1 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D． x＜﹣2或0＜x＜1
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得不等式的解．
解答： 解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得x＜﹣2，或0＜x＜1，
应选：D．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键．
4．如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为〔　　〕
A． x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0或x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D． ﹣3＜x＜1
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 观察函数图象得到当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有ax+b＞．
解答： 解：不等式ax+b＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．
应选：B．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了观察函数图象的能力．
5．如图，反比例函数y1=和一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点．A、B两点的横坐标分别为2，﹣3．通过观察图象，假设y1＞y2，那么x的取值范围是〔　　〕
A． 0＜x＜2 B．﹣3＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2或x＜﹣3 D． ﹣3＜x＜0
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 根据两函数的交点A、B的横坐标和图象得出答案即可．
解答： 解：∵反比例函数y1=和一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点，
A、B两点的横坐标分别为2，﹣3，
∴通过观察图象，当y1＞y2时x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣3，
应选：C．
点评： 此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
6．正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于〔　　〕
A． 第一象限 B第二象限 C第三象限 D． 第一、三象限
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．
解答： 解：解方程组得或，
所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为〔1，6〕，〔﹣1，﹣6〕．
应选：D．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
7．假设ab＜0，那么一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是〔　　〕
A． BC． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析： 根据反比例函数图象确定b的符号，结合条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
解答： 解：A、如图，反比例函数y=经过第一、三象限，那么b＞0．所以a＜0．那么一次函数y=ax+b的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
B、如图，反比例函数y=经过第二、四象限，那么b＜0．所以a＞0．那么一次函数y=ax+b的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项错误；
C、如图，反比例函数y=经过第一、三象限，那么b＞0．所以a＜0．那么一次函数y=ax+b的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项正确；
D、如图，反比例函数y=经过第二、四象限，那么b＜0．所以a＞0．那么一次函数y=ax+b的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误；
应选：C．
点评： 此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．函数＞0〕的图象如下列图，那么以下说法中错误的选项是〔　　〕
A． 两函数图象的交点A坐标为〔2，2〕
B． 当x＞2时，y1＜y2
C． 当x=1时，BC=3
D． 当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减少
考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 首先求出两函数的交点坐标再利用交点坐标比较函数的大小关系以及利用两函数的增减性得出答案即可．
解答： 解：A．将y1=x与y2=联立得：
，
解得：，，
故两函数图象的交点A坐标为〔2，2〕，故此选项正确，不符合题意；
B．根据两函数图象的交点A坐标为〔2，2〕，当x＞2时，y1＞y2，故此选项错误，符合题意；
C．当x=1时，y=CD=1，BD=4，故BC=BD﹣CD=4﹣1=3，故此选项正确，不符合题意；
D．当x逐渐增大时，利用一次函数与反比例函数的增减性得出，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减少，故此选项正确，不符合题意；
应选：B．
点评： 此题主要考查了反比例函数的增减性以及一次函数与反比例函数的交点求法，利用数形结合得出答案是解题关键．
二．填空题〔共6小题〕
9．如图，函数y=和y=﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，那么△PAB的面积为　8　．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 数形结合．
分析： 设P的坐标是〔a，〕，推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
解答： 解：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是〔a，〕〔a为正数〕，
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣上，
∴A的坐标是〔a，﹣〕，
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得：=﹣，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是〔﹣3a，〕，
∴PA=|﹣〔﹣〕|=，
PB=|a﹣〔﹣3a〕|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为：8．
点评： 此题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，此题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
10．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，那么k的值为　﹣6　．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
分析： 先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
解答： 解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C〔﹣3，2〕，
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴2=，
解得k=﹣6．
故答案为：﹣6．
点评： 此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．
11．点P〔1，﹣4〕在反比例函数y=的图象上，那么k的值是　﹣4　．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 将点P〔1，﹣4〕代入y=，即可求出k的值．
解答： 解：∵点P〔1，﹣4〕在反比例函数y=的图象上，
∴﹣4=，
解得k=﹣4．
故答案为﹣4．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式．
12双曲线y=经过点〔﹣2，1〕，那么k的值等于　﹣1　．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 待定系数法．
分析： 直接把点〔﹣2，1〕代入双曲线y=，求出k的值即可．
解答： 解：∵双曲线y=经过点〔﹣2，1〕，
∴1=，
解得k=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
13假设点P1〔﹣1，m〕，P2〔﹣2，n〕在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，那么m　＜　n〔填“＞〞“＜〞或“=〞号〕．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1•m=k，﹣2•n=k，解得m=﹣k，n=﹣，然后利用k＞0比较m、n的大小．
解答： 解：∵P1〔﹣1，m〕，P2〔﹣2，n〕在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，
∴﹣1•m=k，﹣2•n=k，
∴m=﹣k，n=﹣，
而k＞0，
∴m＜n．
故答案为：＜．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
14．反比例函数y=的图象经过点A〔﹣2，3〕，那么当x=﹣3时，y=　2　．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先把点A〔﹣2，3〕代入y=求得k的值，然后将x=﹣3代入，即可求出y的值．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象经过点A〔﹣2，3〕，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∴当x=﹣3时，y=﹣=2．
故答案是：2．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
三．解答题〔共9小题〕
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A〔﹣2，0〕，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B〔m，n〕，连结OB．假设S△AOB=6，S△BOC=2．
〔1〕求一次函数的表达式；
〔2〕求反比例函数的表达式．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： 〔1〕由S△AOB=6，S△BOC=2得S△AOC=4，根据三角形面积公式得•2•OC=4，解得OC=4，那么C点坐标为〔0，4〕，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
〔2〕由S△BOC=2，根据三角形面积公式得到×4×m=2，解得m=1，那么B点坐标为〔1，6〕，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式．
解答： 解：〔1〕∵S△AOB=6，S△BOC=2，
∴S△AOC=4，
∴•2•OC=4，解得OC=4，
∴C点坐标为〔0，4〕，
把A〔﹣2，0〕，C〔0，4〕代入y=ax+b，
得，解得，
∴一次函数解析式为y=2x+4；
〔2〕设B为〔m，2m+4〕，
∵S△BOC=2，
∴×4×m=2，解得m=1，
∴B点坐标为〔1，6〕，
把B〔1，6〕代入y=得k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．
〔1〕求点B的坐标和线段PB的长；
〔2〕当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 〔1〕根据勾股定理求出OB，即可得出答案；
〔2〕设D的坐标是〔4，y〕，证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可．﹣
解答： 解：〔1〕∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：OB=3，
即点B的坐标是〔0，3〕，
∵OP=7，
∴线段PB的长是7+3=10；
〔2〕过D作DM⊥y轴于M，
∵PD⊥BD，
∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，
∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠MDP=90°，
∴∠DBM=∠PDM，
∴△DBM∽△PDM，
∴=，
∵OA=4，AD⊥x轴，
∴设D的坐标是〔4，y〕〔y＞0〕，
∴=，
解得：y=1，〔y=﹣5舍去〕，
即D点的坐标是〔4，1〕，
把D的坐标代入y=得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=．
点评： 此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较典型，难度不大．
17如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
〔1〕求A、B两点的坐标；
〔2〕求△ABC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 代数几何综合题；数形结合．
分析： 〔1〕根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标；
〔2〕先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算．
解答： 解：〔1〕根据题意得，解方程组得或，
所以A点坐标为〔﹣1，3〕，B点坐标为〔3，﹣1〕；
〔2〕把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2，
所以D点坐标为〔2，0〕，
因为C、D两点关于y轴对称，
所以C点坐标为〔﹣2，0〕，
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD
=×〔2+2〕×3+×〔2+2〕×1
=8．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，假设方程组无解那么两者无交点．
18．如图①，△OAB中，A〔0，2〕，B〔4，0〕，将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
〔1〕当m=4时，如图②．假设反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
〔2〕假设反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质．
专题： 代数几何综合题．
分析： 〔1〕根据题意得出：A′点的坐标为：〔4，2〕，B′点的坐标为：〔8，0〕，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
〔2〕首先得出A′B′的中点M的坐标为：〔m+4﹣2，1〕那么2m=m+2，求出m的值即可．
解答： 解：〔1〕由图②值：A′点的坐标为：〔4，2〕，B′点的坐标为：〔8，0〕，
∴k=4×2=8，
∴y=，
把〔4，2〕，〔8，0〕代入y=ax+b得：
，
解得：，
∴经过A′、B′两点的一次函数表达式为：y=﹣x+4；
〔2〕当△AOB向右平移m个单位时，
A′点的坐标为：〔m，2〕，B′点的坐标为：〔m+4，0〕
那么A′B′的中点M的坐标为：〔m+4﹣2，1〕
∴2m=m+2，
解得：m=2，
∴当m=2时，反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M．
点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出A′，B′点坐标是解题关键．
19．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为〔m，2〕，点B坐标为〔﹣4，n〕，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
〔1〕求一次函数与反比例函数的解析式；
〔2〕求四边形OCBD的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 代数几何综合题；压轴题；待定系数法．
分析： 〔1〕根据正切值，可得OE的长，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据点的坐标满足函数解析式，可得B点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；
〔2〕根据面积的和，可得答案．
解答： 解：〔1〕如图：
，
tan∠AOE=，
得OE=6，
∴A〔6，2〕，
y=的图象过A〔6，2〕，
∴，
即k=12，
反比例函数的解析式为 y=，
B〔﹣4，n〕在 y=的图象上，
解得n==﹣3，
∴B〔﹣4，﹣3〕，
一次函数y=ax+b过A、B点，
，
解得，
一次函数解析式为y=﹣1；
〔2〕当x=0时，y=﹣1，
∴C〔0，﹣1〕，
当y=﹣1时，﹣1=，x=﹣12，
∴D〔﹣12，﹣1〕，
sOCBD=S△ODC+S△BDC
=+|﹣12|×|﹣2|
=6+12
=18．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式的关键，利用面积的和差求解四边形的面积．
20．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为〔1，2〕
〔1〕求反比例函数的表达式；
〔2〕根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
〔3〕计算线段AB的长．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合；待定系数法．
分析： 〔1〕把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
〔2〕求出直线的解析式，解组成的方程组求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象即可得出答案；
〔3〕根据A、B的坐标．利用勾股定理分别求出OA、OB，即可得出答案．
解答： 解：〔1〕把A〔1，2〕代入y=得：k=2，
即反比例函数的表达式是y=；
〔2〕把A〔1，2〕代入y=mx得：m=2，
即直线的解析式是y=2x，
解方程组得出B点的坐标是〔﹣1，﹣2〕，
∴当mx＞时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1；
〔3〕过A作AC⊥x轴于C，
∵A〔1，2〕，
∴AC=2，OC=1，
由勾股定理得：AO==，
同理求出OB=，
∴AB=2．
点评： 此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，题目比较典型，难度不大．
21．如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A〔m，2〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；
〔2〕结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 〔1〕先把A〔m，2〕代入y=﹣2x可计算出m，得到A点坐标为〔﹣1，2〕，再把A点坐标代入y=可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；利用点A与点B关于原点对称确定B点坐标；
〔2〕观察函数图象得到当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方．
解答： 解：〔1〕把A〔m，2〕代入y=﹣2x得﹣2m=2，解得m=﹣1，
所以A点坐标为〔﹣1，2〕，
把A〔﹣1，2〕代入y=得k=﹣1×2=﹣2，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
点A与点B关于原点对称，
所以B点坐标为〔1，﹣2〕；
〔2〕当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，﹣2x＞．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
22如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A〔2，5〕在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
〔1〕求k和b的值；
〔2〕求△OAB的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 代数几何综合题．
分析： 〔1〕根据待定系数法，可得答案；
〔2〕根据三角形的面积公式，可得答案．
解答： 解：〔1〕把A〔2，5〕分别代入y=和y=x+b，得，
解得k=10，b=3；
〔2〕作AC⊥x轴于点C，
由〔1〕得直线AB的解析式为y=x+3，
∴点B的坐标为〔﹣3，0〕，
∴OB=3，
∵点A的坐标是〔2，5〕，
∴AC=5，
∴=5=．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．
23．如图，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A〔m，﹣2〕．
〔1〕求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
〔2〕试根据图象写出不等式≥kx的解集；
〔3〕在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 代数综合题；数形结合．
分析： 〔1〕把点A的坐标代入y=求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．
〔2〕把k的值代入不等式，讨论当a＞0和当a＜0时分别求出不等式的解．
〔3〕讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，根据|OA|=|OC|，求出点C的坐标，再看AC的值看是否构成等边三角形．
解答： 解：〔1〕把A〔m，﹣2〕代入y=，得﹣2=，
解得m=﹣1，
∴A〔﹣1，﹣2〕代入y=kx，
∴﹣2=k×〔﹣1〕，解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x=，得x=1或x=﹣1〔舍去〕，
∴B〔1，2〕，
〔2〕∵k=2，
∴≥kx为≥2x，
根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．
〔3〕①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，那么|OA|=|OC|，设C〔t，〕〔t＜0〕，
∵A〔﹣1，﹣2〕
∴OA=
∴t2+=5，那么t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，
t2=4，t=﹣2，∴C〔﹣2，﹣1〕，而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，
∴不存在符合条件的点C．
点评： 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点C的坐标，看是否构成等边三角形．