2023版高考数学一轮复习第九章立体几何9.7.2利用空间向量求二面角与空间距离练习理北师大版.doc
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1、9.7.2 利用空间向量求二面角与空间距离核心考点精准研析考点一求二面角命题精解读1.考什么:(1)考查与二面角相关的问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.2.怎么考:以柱、锥、台等几何体为载体考查与二面角相关的证明、求值问题.3.新趋势:以求二面角或某一三角函数值为主要命题方向.学霸好方法1.利用空间向量求二面角的两种方法:(1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).2.交汇问题: 常常与证明线面的平行、垂
2、直关系同时考查.求二面角或某一三角函数值【典例】 (2019全国卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1. (1)证明:BE平面EB1C1.(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.【解析】(1)由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,EC1B1C1=C1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则
3、C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则即所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则即所以可取m=(1,1,0).于是cos=-.所以二面角B-EC-C1的正弦值为.与二面角有关的综合问题【典例】如图,在梯形ABCD中,ABCD,BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平
4、面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值. 【解析】(1)在梯形ABCD中,因为ABCD,AD=CD=BC=1,又因为BCD=,所以ADC=,ACD=,所以ACB=,故ACBC.因为CF平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACCF,而CFBC=C,所以AC平面BCF,因为EFAC,所以EF平面BCF. (2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,AD=CD=BC=CF=1,令FM=(0),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),所以=(-,1,0),=(,-1,1), 设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法
5、向量,由得取x=1,则n1=(1,-), 因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,所以cos =,因为0,所以当=0时,cos 有最小值,所以点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=1,0,-,设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则所以所以n1=(1
6、,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=.即所成的锐二面角的余弦值为.2.如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形,PD平面ABCD且PD=AD=2,点E是射线AB上一点,当二面角P-EC-D为时,AE=()A.1B.C.2-D.2+2【解析】选D.设AE=a(a0),以点D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),E(2,a,0),P(0,0,2),则=(0,2,-2),=(2,a,-2),设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),则即故xyz=(2-a)22,故
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