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2022年陕西省中考数学试卷
一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
1．计算：=〔　　〕
A．　B．　C．D．0
【答案】C．
【解析】
试题分析：原式=﹣1=，应选C．
考点：有理数的混合运算．
2．如下列图的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，那么它的主视图是〔　　〕
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：从正面看下边是一个较大的矩形，上便是一个角的矩形，应选B．
考点：简单组合体的三视图．
3．假设一个正比例函数的图象经过A〔3，﹣6〕，B〔m，﹣4〕两点，那么m的值为〔　　〕
A．2B．8C．﹣2D．﹣8
【答案】A．
【解析】
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，假设∠1=25°，那么∠2的大小为〔　　〕
A．55°　　　　　B．75°　　　　　C．65°　　　　　D．85°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵∠1=25°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°．∵a∥b，∴∠2=∠3=65°．应选C．
考点：平行线的性质．
5．化简：，结果正确的选项是〔　　〕
A．1　B．　C．　D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：原式= =．应选B．
考点：分式的加减法．
6．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．假设∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，那么B′C的长为〔　　〕
A．　B．6　C．　D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，应选A．
考点：勾股定理．
7．如图，直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b〔k≠0〕在第一象限交于点M．假设直线l2与x轴的交点为A〔﹣2，0〕，那么k的取值范围是〔　　〕
A．﹣2＜k＜2B．﹣2＜k＜0C．0＜k＜4D．0＜k＜2
【答案】D．
【解析】
考点：两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．假设点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，那么BF的长为〔　　〕
A．　B．　C．　D．
【答案】B．
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，那么PA的长为〔　　〕
A．5　B．　C．　D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，那么Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=×5=，∴AP=2PD=，应选D．
考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
10．抛物线〔m＞0〕的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，假设点M′在这条抛物线上，那么点M的坐标为〔　　〕
A．〔1，﹣5〕　　　　　B．〔3，﹣13〕　　　　　C．〔2，﹣8〕　　　　　D．〔4，﹣20〕
【答案】C．
【解析】
试题分析：=，∴点M〔m，﹣m2﹣4〕，∴点M′〔﹣m，m2+4〕，∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M〔2，﹣8〕．应选C．
考点：二次函数的性质．
二、填空题〔本大题共4小题，每题3分，共12分〕
11．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是．
【答案】π．
【解析】
考点：实数大小比较．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，假设多项选择，那么按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．假设∠A=52°，那么∠1+∠2的度数为．
B．tan38°15′≈．〔结果精确到0.01〕
【答案】A．64°；B．2.03．
【解析】
考点：计算器—三角函数；计算器—数的开方；三角形内角和定理．
13．A，B两点分别在反比例函数〔m≠0〕和〔m≠〕的图象上，假设点A与点B关于x轴对称，那么m的值为．
【答案】1．
【解析】
试题分析：设A〔a，b〕，那么B〔a，﹣b〕，依题意得：，所以 =0，即5m﹣5=0，解得m=1．故答案为：1．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．假设AC=6，那么四边形ABCD的面积为．
【答案】18．
【解析】
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；
∴2λ2=36，λ2=18，故答案为：18．
考点：全等三角形的判定与性质．
三、解答题〔本大题共11小题，共78分〕
15．计算：．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
试题解析：原式===.
考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．
16．解方程：．
【答案】x=﹣6．
【解析】
试题分析：利用解分式方程的步骤和完全平方公式，平方差公式即可得出结论．
试题解析：去分母得，〔x+3〕2﹣2〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+3〕，去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，移项，系数化为1，得x=﹣6，经检验，x=﹣6是原方程的解．
考点：解分式方程．
17．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．〔保存作图痕迹，不写作法〕
【答案】作图见解析．
【解析】
考点：作图—根本作图．
18．养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了局部学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x〔分钟〕进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答以下问题：
〔1〕补全频数分布直方图和扇形统计图；
〔2〕所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在区间内；
〔3〕该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．〔早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼〕
【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕C；〔3〕1020．
【解析】
百分比为1﹣〔5%+10%+65%〕=20%，补全图形如下：
〔2〕由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，那么其中位数位于C区间内，故答案为：C；
〔3〕1200×〔65%+20%〕=1020〔人〕．
答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．
考点：频数〔率〕分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．
19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：根据正方向的性质，可得∠ADF=CDE=90°，AD=CD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【答案】34米．
【解析】
试题分析：作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，那么BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
试题解析：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，那么BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x=，解得x≈34〔米〕．
答：“聚贤亭〞与“乡思柳〞之间的距离AN的长约为34米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
21．在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他快乐地说：“我的日子终于好了〞．

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．
根据以上提供的信息，请你解答以下问题：
〔1〕求出y与x之间的函数关系式；
〔2〕求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚才能使获得的利润不低于10万元．
【答案】〔1〕y=7500x+68000；〔2〕5．
【解析】
试题分析：〔1〕利用总利润=种植香瓜的利润+种植甜瓜的利润即可得出结论；
〔2〕利用〔1〕得出的结论大于等于100000建立不等式，即可确定出结论．
试题解析：〔1〕由题意得，y=〔2000×12﹣8000〕x+〔4500×3﹣5000〕〔8﹣x〕=7500x+68000；
〔2〕由题意得，7500x+6800≥100000，∴x≥，∵x为整数，∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．
考点：一次函数的应用；最值问题．
22．端午节“赛龙舟，吃粽子〞是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子〔记为A〕，豆沙粽子〔记为B〕，肉粽子〔记为C〕，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你答复以下问题：
〔1〕假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少
〔2〕假设小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
【答案】〔1〕；〔2〕．
【解析】
〔A，A〕、〔A，B〕、〔A，C〕、〔A，C〕、
〔A，A〕、〔A，B〕、〔A，C〕、〔A，C〕、
〔B，A〕、〔B，B〕、〔B，C〕、〔B，C〕、
〔C，A〕、〔C，B〕、〔C，C〕、〔C，C〕，∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
23．如图，⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时．
〔1〕求弦AC的长；
〔2〕求证：BC∥PA．
【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析．
【解析】
在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=，∴AC=2AD=；
〔2〕∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA，∴BC∥PA．
考点：切线的性质．
24．在同一直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2x﹣3与抛物线y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
〔1〕求抛物线C1，C2的函数表达式；
〔2〕求A、B两点的坐标；
〔3〕在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形假设存在，求出P、Q两点的坐标；假设不存在，请说明理由．
【答案】〔1〕C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；〔2〕A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕；〔3〕存在满足条件的点P、Q，其坐标为P〔﹣2，5〕，Q〔2，5〕或P〔﹣2，﹣3〕，Q〔2，﹣3〕．
【解析】
试题分析：〔1〕由对称可求得a、n的值，那么可求得两函数的对称轴，可求得m的值，那么可求得两抛物线的函数表达式；
〔2〕由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；
〔3〕由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．
试题解析：
〔t+4，t2﹣2t﹣3〕或〔t﹣4，t2﹣2t﹣3〕，①当Q〔t+4，t2﹣2t﹣3〕时，那么t2﹣2t﹣3=〔t+4〕2+2〔t+4〕﹣3，解得t=﹣2，∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，∴P〔﹣2，5〕，Q〔2，5〕；
②当Q〔t﹣4，t2﹣2t﹣3〕时，那么t2﹣2t﹣3=〔t﹣4〕2+2〔t﹣4〕﹣3，解得t=2，∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，∴P〔﹣2，﹣3〕，Q〔2，﹣3〕，综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P〔﹣2，5〕，Q〔2，5〕或P〔﹣2，﹣3〕，Q〔2，﹣3〕．
考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；轴对称的性质．
25．问题提出
〔1〕如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，假设点O是△ABC的内心，那么OA的长为；
问题探究
〔2〕如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分假设存在，求出PQ的长；假设不存在，请说明理由．
问题解决
〔3〕某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB〔即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．〕同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法为什么〔结果保存根号或精确到0.01米〕
【答案】〔1〕；〔2〕PQ=；〔3〕喷灌龙头的射程至少为19.71米．
【解析】
试题分析：〔1〕构建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°=，可得OA的长；
〔2〕经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用勾股定理进行计算即可；
〔3〕如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：
在Rt△AOD中，由勾股定理解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股定理计算OM，那么最大距离FM的长可利用相加得出结论．
试题解析：〔1〕如图1，过O作OD⊥AC于D，那么AD=AC=×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，∴OA=6÷=，故答案为：；
〔r﹣8〕2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴AB•MN=96，×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴，∴，∴DC=，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交于点F，那么MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，那么OH=DN=6，MH=3，∴OM===，∴MF=OM+r=+13≈19.71〔米〕．
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．
考点：圆的综合题；最值问题；存在型；阅读型；压轴题．