高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练42直线与直线的方程理含解析北师大版.doc

考点规范练42　直线与直线的方程
　考点规范练B册第28页　 
基础巩固组
1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足(　　)

A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
答案:D
解析:由sin α+cos α=0,得=-1,即tan α=-1.
又因为tan α=-,所以-=-1.
即a=b,故应选D.
2.不论m为何值,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点(　　)
A.(1,-1) B.(-2,0)
C.(2,3) D.(-2,3)
答案:D
解析:将方程整理为m(x+2)-(x+y-1)=0,
令解得
则直线恒过定点(-2,3).
3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)
A. B.∪(1,+∞)
C.(-∞,1)∪ D.(-∞,-1)∪〚导学号92950847〛
答案:D
解析:

设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪.
4.一次函数y=-x+的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)
A.m>1,且n>1 B.mn>0
C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0
答案:B
解析:因为y=-x+经过第一、二、四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.
5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
答案:A
解析:易知A(-1,0).
∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.
∴B(5,0).
∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.
∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
6.函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
答案:D
解析:令f(x)=y=asin x-bcos x.由函数f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f,即-b=a,则直线l的斜率为-1,故其倾斜角为135°.
7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. 
答案:16
解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,
又C(-2,-2)在该直线上,故=1,
所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.
根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.
8.一条直线经过点M(2,1),且在两坐标轴上的截距和是6,则该直线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案:x+y-3=0或x+2y-4=0
解析:由题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为6-a.
于是我们可列出此直线的截距式方程为=1,代入点M的坐标(2,1),得到关于a的一元二次方程a2-7a+12=0,解得a=3或a=4,所以直线的方程为=1或=1,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.
9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.
(1)经过定点P(2,-1);
(2)在y轴上的截距为6;
(3)与y轴平行;
(4)与y轴垂直.
解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,
把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.
(2)令x=0,得y=,
根据题意可知=6,解得m=-或m=0.
(3)直线与y轴平行,
则有解得m=.
(4)直线与y轴垂直,
则有解得m=3.〚导学号92950848〛
10.

已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.
解:∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,
故可设点B的坐标为(a,8-2a).
∵点P(0,1)是线段AB的中点,
得点A的坐标为(-a,2a-6).
又∵点A在直线l1:x-3y+10=0上,
故将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,
得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.
∴点B的坐标是(4,0).
因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,
即x+4y-4=0.
能力提升组
11.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2〚导学号92950849〛
答案:C
解析:(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,欲求m2+n2的最小值可先求的最小值.
而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.

当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.
∴m2+n2的最小值为4.
(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,OA=,OB=,斜边AB=,
斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,
∴S△OAB=·OA·OB=AB·h,
∴h==2,
∴m2+n2的最小值为h2=4.
12.(2015河北衡水中学高三一调)设直线l与曲线f(x)=x3+2x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=,则直线l的方程为(　　)
A.y=5x+1 B.y=4x+1
C.y=x+1 D.y=3x+1〚导学号92950850〛
答案:D
解析:由题意,曲线f(x)=x3+2x+1是由g(x)=x3+2x向上平移1个单位得到的,
函数g(x)=x3+2x是奇函数,对称中心为(0,0),
故函数f(x)=x3+2x+1的对称中心为B(0,1).
设直线l的方程为y=kx+1,
代入y=x3+2x+1,可得x3=(k-2)x,
∵l与曲线有三个不同的交点,∴k>2.
∴x=0或x=±.
∴不妨设A(,k+1).
∵|AB|=|BC|=,
∴(-0)2+(k+1-1)2=10.
∴k3-2k2+k-12=0.
∴(k-3)(k2+k+4)=0.∴k=3.
∴直线l的方程为y=3x+1.
13.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　. 
答案:x+2y-5=0
解析:设坐标原点为O,依题意,切线l与OP垂直,而kOP=2,
所以kl=-,于是切线l的方程为y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
14.已知曲线y=,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　　. 
答案:
解析:y'=,因为ex>0,所以ex+≥2=2,所以ex++2≥4,故y'=≥-(当且仅当x=0时取等号).
所以当x=0时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为,切线的方程为y-=-(x-0),即x+4y-2=0.
该切线在x轴上的截距为2,在y轴上的截距为,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=×2×.
15.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
设直线l的方程为=1,则=1,
所以|OA|+|OB|=a+b
=(a+b)=2+
≥2+2=4,
当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),
则A,B(0,1-k),
所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2
=2+k2+≥2+2=4,
当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.〚导学号92950852〛

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