2022年湖南省郴州市中考数学试卷解析.docx

2022年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
1．〔3分〕〔2022•郴州〕2的相反数是〔　　〕

A．

B．

C．
﹣2
D．
2
2．〔3分〕〔2022•郴州〕计算〔﹣3〕2的结果是〔　　〕

A．
﹣6
B．
6
C．
﹣9
D．
9
3．〔3分〕〔2022•郴州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
x3+x=x4
B．
x2•x3=x5
C．
〔x2〕3=x5
D．
x9÷x3=x3
4．〔3分〕〔2022•郴州〕以下四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

5．〔3分〕〔2022•郴州〕以下列图案是轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

6．〔3分〕〔2022•郴州〕某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，那么这位同学成绩的中位数和众数分别是〔　　〕

A．
93，96
B．
96，96
C．
96，100
D．
93，100
7．〔3分〕〔2022•郴州〕如图为一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象，那么以下正确的选项是〔　　〕

A．
k＞0，b＞0
B．
k＞0，b＜0
C．
k＜0，b＞0
D．
k＜0，b＜0
8．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，那么EF=〔　　〕

A．

B．
2
C．
3
D．
3
二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
9．〔3分〕〔2022•郴州〕2022年5月在郴州举行的第三届中国〔湖南〕国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为．
10．〔3分〕〔2022•郴州〕圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，那么该圆锥的侧面积为cm2．
11．〔3分〕〔2022•郴州〕分解因式：2a2﹣2=．
12．〔3分〕〔2022•郴州〕函数y=中，自变量x的取值范围是．
13．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，直线m∥m，∠1=100°，那么∠2的度数为．
14．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠CAB=40°，那么∠ABC的度数为．
15．〔3分〕〔2022•郴州〕在m2□6m□9的“□〞中任意填上“+〞或“﹣〞号，所得的代数式为完全平方式的概率为．
16．〔3分〕〔2022•郴州〕请观察以下等式的规律：
=〔1﹣〕，=〔﹣〕，
=〔﹣〕，=〔﹣〕，
…
那么+++…+=．
三、解答题〔17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分〕
17．〔6分〕〔2022•郴州〕计算：〔〕﹣1﹣20220+|﹣|﹣2sin60°．
18．〔6分〕〔2022•郴州〕解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．〔6分〕〔2022•郴州〕如图，点A〔1，2〕是正比例函数y1=kx〔k≠0〕与反比例函数y2=〔m≠0〕的一个交点．
〔1〕求正比例函数及反比例函数的表达式；
〔2〕根据图象直接答复：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2
20．〔8分〕〔2022•郴州〕郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童〞爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了局部书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如下列图的两幅不完整的统计图．
〔1〕这次统计共抽取了本书籍，扇形统计图中的m=，∠α的度数是；
〔2〕请将条形统计图补充完整；
〔3〕估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．
21．〔8分〕〔2022•郴州〕自2022年12月启动“绿茵行动，青春聚力〞郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购置了桂花树和樱花树共30棵，其中购置桂花树花费3000元．桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．
22．〔8分〕〔2022•郴州〕如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．〔结果保存整数〕〔参考数据：≈1.41，≈1.73〕
23．〔8分〕〔2022•郴州〕如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
〔1〕求证：△AOE≌△COF；
〔2〕当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形并说明理由．
24．〔10分〕〔2022•郴州〕阅读下面的材料：
如果函数y=f〔x〕满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
〔1〕假设x1＜x2，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么称f〔x〕是增函数；
〔2〕假设x1＜x2，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么称f〔x〕是增函数．
例题：证明函数f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣==
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0
∴f〔x1〕＞f〔x2〕
∴函数f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
〔1〕函数f〔x〕=〔x＞0〕，f〔1〕==1，f〔2〕==．
计算：f〔3〕=，f〔4〕=，猜想f〔x〕=〔x＞0〕是函数〔填“增〞或“减〞〕；
〔2〕请仿照材料中的例题证明你的猜想．
25．〔10分〕〔2022•郴州〕如图，抛物线经过点A〔4，0〕，B〔0，4〕，C〔6，6〕．
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
〔3〕在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG〔顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合〕假设能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；假设不能，请说明理由．
26．〔12分〕〔2022•郴州〕如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答以下问题：
〔1〕当t为何值时，P，Q两点同时停止运动
〔2〕设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
〔3〕当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
2022年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
1．〔3分〕〔2022•郴州〕2的相反数是〔　　〕

A．

B．

C．
﹣2
D．
2
考点：
相反数．菁优网版权所有
分析：
根据相反数的概念解答即可．
解答：
解：2的相反数是﹣2，
应选：C．
点评：
此题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣〞号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．〔3分〕〔2022•郴州〕计算〔﹣3〕2的结果是〔　　〕

A．
﹣6
B．
6
C．
﹣9
D．
9
考点：
有理数的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
解答：
解：〔﹣3〕2=〔﹣3〕×〔﹣3〕=9．
应选D．
点评：
此题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
3．〔3分〕〔2022•郴州〕以下计算正确的选项是〔　　〕

A．
x3+x=x4
B．
x2•x3=x5
C．
〔x2〕3=x5
D．
x9÷x3=x3
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答：
解：A、x3•x=x4，故错误；
B、正确；
C、〔x2〕3=x6，故错误；
D、x9÷x3=x6，故错误；
应选：B．
点评：
此题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法那么才能做题．
4．〔3分〕〔2022•郴州〕以下四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．
解答：
解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；
B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．
应选A．
点评：
此题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．
5．〔3分〕〔2022•郴州〕以下列图案是轴对称图形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
轴对称图形．菁优网版权所有
分析：
根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．
解答：
解：A、是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
D、不是轴对称图形，
应选：A．
点评：
此题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合．
6．〔3分〕〔2022•郴州〕某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，那么这位同学成绩的中位数和众数分别是〔　　〕

A．
93，96
B．
96，96
C．
96，100
D．
93，100
考点：
众数；中位数．菁优网版权所有
分析：
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：
解：把数据从小到大排列：92，93，95，96，96，98，100，
位置处于中间的数是：96，故中位数是96；
次数最多的数是96，故众数是96，
应选：B．
点评：
此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求，如果是偶数个那么找中间两位数的平均数．
7．〔3分〕〔2022•郴州〕如图为一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象，那么以下正确的选项是〔　　〕

A．
k＞0，b＞0
B．
k＞0，b＜0
C．
k＜0，b＞0
D．
k＜0，b＜0
考点：
一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．
解答：
解：∵一次函数经过二、四象限，
∴k＜0，
∵一次函数与y轴的交于正半轴，
∴b＞0．
应选C．
点评：
考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．
8．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，那么EF=〔　　〕

A．

B．
2
C．
3
D．
3
考点：
翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．
解答：
解：如下列图：由题意可得：∠1=∠2=30°，那么∠3=30°，
可得∠4=∠5=60°，
∵AB=DC=BE=3，
∴tan60°===，
解得：EF=．
应选：A．

点评：
此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．
二、填空题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕
9．〔3分〕〔2022•郴州〕2022年5月在郴州举行的第三届中国〔湖南〕国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为　3.2×109．
考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：3200000000=3.2×109，
故答案为：3.2×109
点评：
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．〔3分〕〔2022•郴州〕圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，那么该圆锥的侧面积为　3π　cm2．
考点：
圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
解答：
解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．
故答案为：3π．
点评：
此题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
11．〔3分〕〔2022•郴州〕分解因式：2a2﹣2=　2〔a+1〕〔a﹣1〕　．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：
解：2a2﹣2，
=2〔a2﹣1〕，
=2〔a+1〕〔a﹣1〕．
点评：
此题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．〔3分〕〔2022•郴州〕函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
考点：
函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
解答：
解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
点评：
此题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，直线m∥m，∠1=100°，那么∠2的度数为　80°　．
考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据邻补角定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．
解答：
解：如图，
∵∠1=100°，
∴∠3=180°﹣100°=80°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3=80°．
故答案为80°．

点评：
此题考查了平行线的性质，找到相应的同位角是解题的关键．
14．〔3分〕〔2022•郴州〕如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠CAB=40°，那么∠ABC的度数为　50°　．
考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°．
故答案为50°．
点评：
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
15．〔3分〕〔2022•郴州〕在m2□6m□9的“□〞中任意填上“+〞或“﹣〞号，所得的代数式为完全平方式的概率为．
考点：
列表法与树状图法；完全平方式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++〞和“﹣+〞能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．
解答：
解：画树状图为：

共有四种等可能的结果数，其中“++〞和“﹣+〞能使所得的代数式为完全平方式，
所以所得的代数式为完全平方式的概率==．
故答案为．
点评：
此题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了完全平方式．
16．〔3分〕〔2022•郴州〕请观察以下等式的规律：
=〔1﹣〕，=〔﹣〕，
=〔﹣〕，=〔﹣〕，
…
那么+++…+=．
考点：
规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
分析：
观察算式可知=〔﹣〕〔n为非0自然数〕，把算式拆分再抵消即可求解．
解答：
解：+++…+
=〔1﹣〕+〔﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕
=〔1﹣+﹣+﹣+…+﹣〕
=〔1﹣〕
=×
=．
故答案为：．
点评：
考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的根本能力．此题的关键规律为=〔﹣〕〔n为非0自然数〕．
三、解答题〔17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分〕
17．〔6分〕〔2022•郴州〕计算：〔〕﹣1﹣20220+|﹣|﹣2sin60°．
考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用负整数指数幂法那么计算，第二项利用零指数幂法那么计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=2﹣1+﹣2×=1．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
18．〔6分〕〔2022•郴州〕解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析：
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答：
解：∵解不等式①得：x≤，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
点评：
此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．
19．〔6分〕〔2022•郴州〕如图，点A〔1，2〕是正比例函数y1=kx〔k≠0〕与反比例函数y2=〔m≠0〕的一个交点．
〔1〕求正比例函数及反比例函数的表达式；
〔2〕根据图象直接答复：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可；
〔2〕利用函数图象，结合交点左侧时y1＜y2．
解答：
解：〔1〕将点A〔1，2〕代入正比例函数y1=kx〔k≠0〕与反比例函数y2=〔m≠0〕得，
2=k，m=1×2=2，
故y1=2x〔k≠0〕，反比例函数y2=；

〔2〕如下列图：当0＜x＜1时，y1＜y2．

点评：
此题主要考查了一次函数与反比例函数交点，利用数形结合得出是解题关键．
20．〔8分〕〔2022•郴州〕郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童〞爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了局部书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如下列图的两幅不完整的统计图．
〔1〕这次统计共抽取了　200　本书籍，扇形统计图中的m=　40　，∠α的度数是　36°　；
〔2〕请将条形统计图补充完整；
〔3〕估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．
考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；
〔2〕计算出B的本数，即可补全条形统计图；
〔3〕根据文学类书籍的百分比，即可解答．
解答：
解：〔1〕40÷20%=200〔本〕，80÷200=40%，×360°=36°，
故答案为：200，40，36°；
〔2〕B的本数为：200﹣40﹣80﹣20=60〔本〕，
如下列图：

〔3〕3000×=900〔本〕．
答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．
点评：
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
21．〔8分〕〔2022•郴州〕自2022年12月启动“绿茵行动，青春聚力〞郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购置了桂花树和樱花树共30棵，其中购置桂花树花费3000元．桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．
考点：
分式方程的应用．菁优网版权所有
分析：
设樱花树的单价为x元，那么桂花树的单价为〔1+50%〕x元，根据购置了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．
解答：
解：设樱花树的单价为x元，那么桂花树的单价为〔1+50%〕x元，由题意得
+=30
解得：x=200
经检验x=200是原方程的解．
那么〔1+50%〕x=300
=20〔棵〕
答：樱花树的单价为200元，有20棵．
点评：
此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
22．〔8分〕〔2022•郴州〕如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．〔结果保存整数〕〔参考数据：≈1.41，≈1.73〕
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
分析：
过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．用含x的代数式分别表示BD，CD．再根据BD+CD=BC，列出方程x+x=150，解方程即可．
解答：
解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=AD•tan30°=x．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=x．
∵BD+CD=BC，
∴x+x=150，
∴x=75〔3﹣〕≈95．
即A点到河岸BC的距离约为95m．

点评：
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．
23．〔8分〕〔2022•郴州〕如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
〔1〕求证：△AOE≌△COF；
〔2〕当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形并说明理由．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出结论；
〔2〕由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
解答：
〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是OA的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF〔ASA〕；
〔2〕解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
点评：
此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．〔10分〕〔2022•郴州〕阅读下面的材料：
如果函数y=f〔x〕满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
〔1〕假设x1＜x2，都有f〔x1〕＜f〔x2〕，那么称f〔x〕是增函数；
〔2〕假设x1＜x2，都有f〔x1〕＞f〔x2〕，那么称f〔x〕是增函数．
例题：证明函数f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣==
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0
∴f〔x1〕＞f〔x2〕
∴函数f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
〔1〕函数f〔x〕=〔x＞0〕，f〔1〕==1，f〔2〕==．
计算：f〔3〕=，f〔4〕=，猜想f〔x〕=〔x＞0〕是　减　函数〔填“增〞或“减〞〕；
〔2〕请仿照材料中的例题证明你的猜想．
考点：
反比例函数综合题．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
〔1〕根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；
〔2〕假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再作差比较即可．
解答：
〔1〕解：∵f〔x〕=〔x＞0〕，f〔1〕==1，f〔2〕==，
∴f〔3〕==，f〔4〕==，
∵＞，
∴猜想f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
故答案为：，，减；

〔2〕证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣==，
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，x12•x22＞0，
∴＞0，即f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0
∴f〔x1〕＞f〔x2〕
∴函数f〔x〕=〔x＞0〕是减函数．
点评：
此题考查的是反比例函数综合题，根据题中所给出的材料假设出x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再比较出其大小即可．
25．〔10分〕〔2022•郴州〕如图，抛物线经过点A〔4，0〕，B〔0，4〕，C〔6，6〕．
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
〔3〕在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG〔顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合〕假设能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；假设不能，请说明理由．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
〔1〕根据抛物线经过点A〔4，0〕，B〔0，4〕，C〔6，6〕，利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；
〔2〕利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，那么OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
〔3〕如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D〔t，0〕，根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，那么可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，那么DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=〔4﹣t〕，所以矩形DEFG的面积=DE•DG=t•〔4﹣t〕=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．
解答：
解：〔1〕设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4；

〔2〕如图1，连结AB、OC，
∵A〔4，0〕，B〔0，4〕，C〔6，6〕，
∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，
∴OA=OB，CA=CB，
∴OC垂直平分AB，
即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

〔3〕能．
如图2，AB==4，OC==6，设D〔t，0〕，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG，
∵OC垂直平分AB，
∴△OBC与△OAC关于OC对称，
∴EF和DG为对应线段，
∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴=，即=，解得DE=t，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴=，即=，解得DG=〔4﹣t〕，
∴矩形DEFG的面积=DE•DG=t•〔4﹣t〕=﹣3t2+12t=﹣3〔t﹣2〕2+12，
当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为〔2，0〕．

点评：
考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质；会利用相似比计算线段的长．
26．〔12分〕〔2022•郴州〕如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答以下问题：
〔1〕当t为何值时，P，Q两点同时停止运动
〔2〕设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
〔3〕当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
考点：
四边形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；
〔2〕由条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；
〔3〕通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来，根据线段相等列出等式求解，即可求的结论．
解答：
解：〔1〕作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AFVE是矩形，
∴AE=DE=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=，
∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，
∴t=〔秒〕，
即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．

〔2〕由题意知，AQ=BP=t，
∴QB=8﹣t，
作PF⊥QB于F，那么△BPF～△BCE，
∴，即，
∴BF=，
∴S=QB•PF=×〔8﹣t〕==﹣〔t﹣4〕2+〔0＜t≤5〕，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；

〔3〕∵cos∠B=，
∴BF=t•cos∠B=，
∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，
∴QP===4
①当PQ=PB时，即QP═4，解得t=〔舍去负值〕
∵t=＞5，不合题意，
②当PQ=BQ时，即4=8﹣t，
解得：t1=0〔舍去〕，t2=，
③当QB=BP，即8﹣t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．
点评：
此题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．

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2022年7月22日