2017年天津市南开区中考数学一模试卷.doc

2017年天津市南开区中考数学一模试卷

一、选择题：
1．（3分）计算（﹣3）×（﹣5）的结果是（　　）
A．15 B．﹣15 C．8 D．﹣8
2．（3分）3tan45°的值等于（　　）
A． B．3 C．1 D．3
3．（3分）下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）2016年上半年，天津市生产总值8500.91亿元，按可比价格计算，同步增长9.2%，将“8500.91”用科学记数法可表示为（　　）
A．8.50091×103 B．8.50091×1011 C．8.50091×105 D．8.50091×1013
5．（3分）如图中几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）已知a，b为两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则这两个整数是（　　）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
8．（3分）化简：÷（1﹣）的结果是（　　）
A．x﹣4 B．x+3 C． D．
9．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（　　）

A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
10．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
12．（3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

二、填空题：
13．（3分）分解因式：ab3﹣4ab=　　．
14．（3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　　度．

15．（3分）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=　　．

16．（3分）已知函数满足下列两个条件：
①x＞0时，y随x的增大而增大；
②它的图象经过点（1，2）．
请写出一个符合上述条件的函数的表达式　　．
17．（3分）随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2.88万个，则该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为　　．
18．（3分）（1）如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β=　　；
（2）如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ﹣β．此时ɑ﹣β=　　度．

三、解答题：
19．解不等式组：．请结合题意填空，完成本体的解法．

（1）解不等式（1），得　　；
（2）解不等式（2），得　　；
（3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示出来．
（4）原不等式的解集为　　．
20．植树节期间，某校倡议学生利用双休日“植树”劳动，为了解同学们劳动情况．学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回顾下列：
（1）通过计算，将条形图补充完整；
（2）扇形图形中“1.5小时”部分圆心角是　　．

21．从⊙O外一点A引⊙O的切线AB，切点为B，连接AO并延长交⊙O于点C，点D．连接BC．
（1）如图1，若∠A=26°，求∠C的度数；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交BC于点E．求∠AEB的度数．

22．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）

23．某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元．现将这50吨原料全部加工完．设其中粗加工x吨，获利y元．
（1）请完成表格并求出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；
表一
粗加工数量/吨
3
7
x
精加工数量/吨
47

表二
粗加工数量/吨
3
7
x
粗加工获利/元

2800

精加工获利/元

25800

（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润，最大利润是多少？
24．如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．

25．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；
（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年天津市南开区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：
1．（3分）（2017•南开区一模）计算（﹣3）×（﹣5）的结果是（　　）
A．15 B．﹣15 C．8 D．﹣8
【分析】根据有理数乘法法则，求出计算（﹣3）×（﹣5）的结果是多少即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣5）=15，
∴计算（﹣3）×（﹣5）的结果是15．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

2．（3分）（2017•南开区一模）3tan45°的值等于（　　）
A． B．3 C．1 D．3
【分析】直接利用特殊角的三角函数数值，代入求出即可．
【解答】解：3tan45°=3×1=3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数数值，正确记忆相关三角函数值是解题关键．

3．（3分）（2017•南开区一模）下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（3分）（2017•南开区一模）2016年上半年，天津市生产总值8500.91亿元，按可比价格计算，同步增长9.2%，将“8500.91”用科学记数法可表示为（　　）
A．8.50091×103 B．8.50091×1011 C．8.50091×105 D．8.50091×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8500.91用科学记数法表示为：8.50091×103．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

6．（3分）（2017•南开区一模）已知a，b为两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则这两个整数是（　　）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【分析】先利用夹逼法求得的范围，然后再利用不等式的性质求解即可．
【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5．
∴4﹣1＜﹣1＜5﹣1，即3＜﹣1＜4．
故答案为：C．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．

7．（3分）（2016•呼和浩特）下列说法正确的是（　　）
A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可投中6次
C．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取
D．检测某城市的空气质量，采用抽样调查法
【分析】根据概率是事件发生的可能性，可得答案．
【解答】解：A、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故A错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投十次可能投中6次，故B错误；
C、抽样调查选取样本时，所选样本要具有广泛性、代表性，故C错误；
D、检测某城市的空气质量，采用抽样调查法，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．

8．（3分）（2017•南开区一模）化简：÷（1﹣）的结果是（　　）
A．x﹣4 B．x+3 C． D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：÷（1﹣），
=÷，
=，
=，
故选D．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和因式分解是解本题的关键．

9．（3分）（2017•南开区一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为（　　）

A．1.5 B．2.5 C．2.25 D．3
【分析】由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C=90°，BC=CD=3，由根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，然后设DF=x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2=EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C=90°，BC=CD=3，
根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF，
设DF=x，
则EF=EG+GF=1+x，FC=DC﹣DF=3﹣x，EC=BC﹣BE=3﹣1=2，
∵在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即（x+1）2=22+（3﹣x）2，解得：x=1.5，
∴DF=1.5，EF=1+1.5=2.5．
故选B．
【点评】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

10．（3分）（2017•南开区一模）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，

∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，

∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如图3，

∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是×1××=，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．

11．（3分）（2017•南开区一模）已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物线开口向下即可得出y3＞y0，再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出y0＞y1＞y2，进而即可得出y2＜y1＜y3，此题得解．
【解答】解：设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，
∵抛物线的开口向下，
∴点P0（﹣1，y0）为抛物线的最高点．
∵直线l上y值随x值的增大而减小，且x3＜﹣1，直线l在抛物线上方，
∴y3＞y0．
∵在x＞﹣1上时，抛物线y值随x值的增大而减小，﹣1＜x1＜x2，
∴y0＞y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设点P0（﹣1，y0）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y2＜y1＜y0＜y3是解题的关键．

12．（3分）（2016•荆州）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．
【解答】解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO=2，
∴=2，
∵S△ABO=•AO•BO=4，
∴AO=2，BO=4，
∵△ABO≌△A'O'B，
∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，
∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，
∴k=x•y=3•2=6．
故选C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．

二、填空题：
13．（3分）（2016•天水校级自主招生）分解因式：ab3﹣4ab=　ab（b+2）（b﹣2）　．
【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ab3﹣4ab，
=ab（b2﹣4），
=ab（b+2）（b﹣2）．
故答案为：ab（b+2）（b﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．（3分）（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．

【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．
【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

15．（3分）（2012•衢州）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=　　．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率P=．
故答案为：．

【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，注意概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3分）（2017•南开区一模）已知函数满足下列两个条件：
①x＞0时，y随x的增大而增大；
②它的图象经过点（1，2）．
请写出一个符合上述条件的函数的表达式　y=2x（答案不唯一）　．
【分析】根据y随着x的增大而增大推断出k与0的关系，再利用过点（1，2）来确定函数的解析式．
【解答】解：∵y随着x的增大而，增大
∴k＞0．
又∵直线过点（1，2），
∴解析式为y=2x或y=x+1等．
故答案为：y=2x（答案不唯一）．
【点评】此题考查了一次函数的性质及正比例函数的性质，在y=kx+b中，k的正负决定直线的升降；b的正负决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正方向上还是负方向上．

17．（3分）（2017•南开区一模）随着某市养老机构建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加，养老床位数从2014年底的2万个增长到2016年底的2.88万个，则该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为　20%　．
【分析】设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2016年的床位数=2014年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
【解答】解：设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
故答案为：20%；
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据数量关系列出关于x的一元二次方程；

18．（3分）（2017•南开区一模）（1）如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β=　45°　；
（2）如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ﹣β．此时ɑ﹣β=　45　度．

【分析】（1）如图1中，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，由OB=，MB=2，OM=3，推出OB2=MB2+OM2，推出∠BMO=90°，推出tan∠MOB=，推出∠MOB=β，由∠OBN=α，即可推出∠MON=α﹣β=45°．
【解答】解：（1）如图1中，

∵AC=，BC=，AB=，
∴AC=BC，AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴α+β=45°．
故答案为45°；

（2）如图2中，

∵OB=，MB=2，OM=3，
∴OB2=MB2+OM2，
∴∠BMO=90°，
∴tan∠MOB=，
∴∠MOB=β，
∵∠OBN=α，
∴∠MON=α﹣β=45°．
故答案为45．
【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理的逆定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题：
19．（2017•南开区一模）解不等式组：．请结合题意填空，完成本体的解法．

（1）解不等式（1），得　x＜5　；
（2）解不等式（2），得　x≥2　；
（3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示出来．
（4）原不等式的解集为　2≤x＜5　．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
（2）先移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；
（3）把两个不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（4）写出两个不等式的公共解集即可．
【解答】解：（1）去括号得，5＞3x﹣12+2，
移项得，5+12﹣2＞3x，
合并同类项得，15＞3x，
把x的系数化为1得，x＜5．
故答案为：x＜5；

（2）移项得，2x≥1+3，
合并同类项得，2x≥4，
x的系数化为1得，x≥2．
故答案为：x≥2；

（3）把不等式 （1）和 （2）的解集在数轴上表示为：
；

（4）由（3）得，原不等式的解集为：2≤x＜5．
故答案为：2≤x＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20．（2017•南开区一模）植树节期间，某校倡议学生利用双休日“植树”劳动，为了解同学们劳动情况．学校随机调查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回顾下列：
（1）通过计算，将条形图补充完整；
（2）扇形图形中“1.5小时”部分圆心角是　144°　．

【分析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，
（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），
∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），
补全统计图，如图所示：

（2）根据题意得：40%×360°=144°，
则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（2017•南开区一模）从⊙O外一点A引⊙O的切线AB，切点为B，连接AO并延长交⊙O于点C，点D．连接BC．
（1）如图1，若∠A=26°，求∠C的度数；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交BC于点E．求∠AEB的度数．

【分析】（1）连接OB，根据切线性质求出∠ABO=90°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，求出∠C=∠OBC，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出2∠C+2∠CAE=90°，求出∠C+∠CAE=45°，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：（1）连接OB，如图1，

∵AB切⊙O于B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=26°，
∴∠AOB=90°﹣26°=64°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∵∠AOB=∠C+∠CBO，
∴∠C==32°；

（2）连接OB，如图2，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠CAB，
∵由（1）知：∠OBE=90°，∠C=∠CBO，
又∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，
∴2∠C+2∠CAE=90°，
∴∠CAE+∠C=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠C=45°．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理和三角形外角性质等知识点，能根据切线的性质得出∠ABO=90°是解此题的关键．

22．（2016•宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）

【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．
【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=，
则CF====x，
在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），
在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．
∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．
解得：x=，
则AB=+4=（米）．
答：树高AB是米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．

23．（2017•南开区一模）某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元．现将这50吨原料全部加工完．设其中粗加工x吨，获利y元．
（1）请完成表格并求出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；
表一
粗加工数量/吨
3
7
x
精加工数量/吨
47
　43　
　50﹣x　
表二
粗加工数量/吨
3
7
x
粗加工获利/元
　1200　
2800
　400x　
精加工获利/元
　28200　
25800
　600（50﹣x）　
（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整，并求出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的答案和题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】（1）由题意可得，
当x=7时，50﹣x=43，
当x=3时，粗加工获利为：（4000﹣600﹣3000）×3=1200，精加工获利为：（4500﹣3000﹣900）×47=28200，
故答案为：43、50﹣x；1200、28200，400x、600（50﹣x）；
y与x的函数关系式是：y=400x+600（50﹣x）=﹣200x+30000，
即y与x的函数关系式是y=﹣200x+30000；
（2）设应把x吨进行粗加工，其余进行精加工，由题意可得
，
解得，x≥30，
∵y=﹣200x+30000，
∴当x=30时，y取得最大值，此时y=24000，
即应把30吨进行粗加工，另外20吨进行精加工，这样才能获得最大利润，最大利润为24000元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答问题．

24．（2017•南开区一模）如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．

【分析】（1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；
（2）作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；
（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD==5，
设AG的长度为x，
∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2，
在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，
x2+4=（4﹣x）2，
解得：x=1.5，
即AG的长度为1.5；

（2）如图所示：作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于M点，
∵点B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3），
AM+CM=A'C==，
即AM+CM的最小值为；

（3）∵点A（1，1），
∴G（2.5，1），
过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴=，=，
即=，=，
解得：EH=，HF=，
则点H（，），
设GH所在直线的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
则解析式为：y=x﹣．

【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数解析式等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握数形结合的思想．

25．（2017•南开区一模）已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；
（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B的值，根据顶点式，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，可得M点的坐标，要分类讨论，以防遗漏．
【解答】解：（1）∵直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴A（，0），B（0，﹣5）．
当点M与点A重合时，∴M（，0），
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2，即y=﹣x2+5x﹣；

（2）N在直线y=2x﹣5上，设N（a，2a﹣5），又N在抛物线上，
∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣，解得a1=，a2=（舍去），
∴N（，﹣4）．
过点N作NC⊥x轴，垂足为C，如图1
，
∵N（，﹣4），
∴C（，0），
∴NC=4．MC=OM﹣OC=﹣=2，
∴MN===2．

（3）设M（m，2m﹣5），N（n，2n﹣5）．
∵A（，0），B（0﹣，5），
∴OA=，OB=5，则OB=2OA，AB==，
如图2，
当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，
∴△OMN与△AOB不相似，不满足题意；
当∠OMN=90°时，=，即=，解得OM=，
则m2+（2m﹣5）2=（）2，解得m=2，∴M（2，﹣1）；
当∠ONM=90°时，=，即=，解得ON=，则n2+（2n﹣5）2=（）2，解得n=2，
∵OM2=ON2+MN2，即m2+（2m﹣5）2=5+（2）2，解得m=4，则M点的坐标为（4，3），
综上所述：M点的坐标为（2，﹣1）或（4，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是顶点是函数解析式；解（2）的关键是利用函数图象上的点满足函数解析式得出N点坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；gbl210；星期八；caicl；梁宝华；2300680618；tcm123；CJX；sd2011；曹先生；zcx；sjzx；弯弯的小河；三界无我；zjx111；zhjh；zgm666（排名不分先后）
菁优网
2017年4月30日
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