高优指导2021版高考数学一轮复习第六章数列单元质检B文北师大版.doc

单元质检六　数列(B)
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第12页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2015太原二模)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(　　)

A.2 B.4 C. D.2
答案:B
解析:由已知得:a1q2=1,a1q+a1q3=,
∴,q2-q+1=0,
∴q=(q=2舍去),∴a1=4.
2.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10=(　　)
A.45 B.50 C.75 D.60
答案:B
解析:∵a1+a2+a3=3a2=32,a11+a12+a13=3a12=118,
∴3(a2+a12)=150,即a2+a12=50,
∴a4+a10=a2+a12=50.
3.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2〚导学号32470612〛
答案:C
解析:设等差数列为{an},公差为d,
则
∴5d=15,∴d=3.
4.(2015石家庄二模)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=(　　)
A. B.- C.2 D.-2〚导学号32470613〛
答案:A
解析:由条件得
∴
∴a5=a1q4=×42=.
5.若{an}是等差数列,首项a1>0,a1 007+a1 008>0,a1 007·a1 008<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015〚导学号32470614〛
答案:C
解析:∵a1 007+a1 008>0,∴a1+a2 014>0,
∴S2 014=>0.
∵a1 007·a1 008<0,a1>0,
∴a1 007>0,a1 008<0,
∴2a1 008=a1+a2 015<0,
∴S2 015=<0,故选C.
6.数列{an}中,已知对任意n∈N+,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+…+等于(　　)
A.(3n-1)2 B.(9n-1)
C.9n-1 D.(3n-1)〚导学号32470615〛
答案:B
解析:∵a1+a2+a3+…+an=3n-1,
∴a1+a2+a3+…+an-1=3n-1-1(n≥2),
两式相减得an=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2),
又a1=2满足上式,∴an=2·3n-1.
∴=4·32n-2=4·9n-1,
∴+…+=4(1+9+92+…+9n-1)
=(9n-1).
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.若等差数列{an}前9项的和等于前4项的和,且ak+a4=0,则k=　　　　　. 
答案:10
解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,
即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故a7=0.
而ak+a4=0=2a7,故k=10.
8.已知a>0,且a≠1,则(a+1)+(a2+2)+…+(an+n)=　　　　　　　　　　　　. 
答案:
解析:当a>0,且a≠1时,原式=(a+a2+…+an)+(1+2+…+n)=.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)(2015东北三校二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,a2=S1+2=4=2a1,
∵an+1=Sn+2,∴当n≥2时,an=Sn-1+2,
两式相减得an+1=2an(n≥2),
综上可知,数列{an}满足an+1=2an(n∈N+),且a1=2,
∴an=2n.
(2)∵bn=n·an=n·2n,
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,
∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1.
两式相减,得-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,
Tn=2+(n-1)·2n+1.
10.(15分)已知数列{an}是首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列,其前n项和为Sn,且有,设bn=2q+Sn.
(1)求q的值.
(2)数列{bn}能否为等比数列?若能,请求出a1的值;若不能,请说明理由.
解:(1)因为q≠1,所以=1+q5=.
所以q5=,则q=.
(2)由(1)可知,bn=2q+Sn=1+=(2a1+1)-.
若{bn}为等比数列,则=b1b3,
即=(1+a1),
解得a1=-(a1=0舍去),则bn=.
因为bn≠0,且当n≥2时,,
故当a1=-时,数列{bn}为等比数列.
11.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求数列{bn}的通项公式bn;
(3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2).
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).
当n=1时,2×31-1=2≠a1=S1=3,
∴an=
(2)∵bn+1=bn+(2n-1),
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.
∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
(3)由题意得cn=
当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,①
∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n.②
∴①-②得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.
∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)
=(n-2)×3n-.
∴Tn=
又当n=1时,=-3,
∴Tn=.〚导学号32470616〛

3