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2022年浙江省杭州市中考数学试卷
一．选择题
1．〔3分〕﹣22=〔　　〕
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
2．〔3分〕太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109 D．15×107
3．〔3分〕如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，假设BD=2AD，那么〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔3分〕|1+|+|1﹣|=〔　　〕
A．1 B． C．2 D．2
5．〔3分〕设x，y，c是实数，〔　　〕
A．假设x=y，那么x+c=y﹣c B．假设x=y，那么xc=yc
C．假设x=y，那么 D．假设，那么2x=3y
6．〔3分〕假设x+5＞0，那么〔　　〕
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
7．〔3分〕某景点的参观人数逐年增加，据统计，2022年为10.8万人次，2022年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，那么〔　　〕
A．10.8〔1+x〕=16.8 B．16.8〔1﹣x〕=10.8
C．10.8〔1+x〕2=16.8 D．10.8[〔1+x〕+〔1+x〕2]=16.8
8．〔3分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，那么〔　　〕
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
9．〔3分〕设直线x=1是函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是实数，且a＜0〕的图象的对称轴，〔　　〕
A．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＞0 B．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＜0
C．假设m＜1，那么〔m+1〕a+b＞0 D．假设m＜1，那么〔m+1〕a+b＜0
10．〔3分〕如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，那么〔　　〕
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
二．填空题
11．〔4分〕数据2，2，3，4，5的中位数是．
12．〔4分〕如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．假设∠ABT=40°，那么∠ATB=．
13．〔4分〕一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球〔只有颜色不同〕，其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，那么两次摸出都是红球的概率是．
14．〔4分〕假设•|m|=，那么m=．
15．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，那么△ABE的面积等于．
16．〔4分〕某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．假设该店第二天销售香蕉t千克，那么第三天销售香蕉千克．〔用含t的代数式表示．〕
三．解答题
17．〔6分〕为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如下列图的频数表和未完成的频数直方图〔每组含前一个边界值，不含后一个边界值〕．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别〔m〕
频数
1.09～1.19
8
1.19～1.29
12
1.29～1.39
A
1.39～1.49
10
〔1〕求a的值，并把频数直方图补充完整；
〔2〕该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m〔含1.29m〕以上的人数．
18．〔8分〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b〔k，b都是常数，且k≠0〕的图象经过点〔1，0〕和〔0，2〕．
〔1〕当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
〔2〕点P〔m，n〕在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
19．〔8分〕如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
〔1〕求证：△ADE∽△ABC；
〔2〕假设AD=3，AB=5，求的值．
20．〔10分〕在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
〔1〕设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
〔2〕圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗为什么
21．〔10分〕如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上〔不与点B，D重合〕，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
〔1〕写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
〔2〕假设正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
22．〔12分〕在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔x+a〕〔x﹣a﹣1〕，其中a≠0．
〔1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；
〔2〕假设一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
〔3〕点P〔x0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求x0的取值范围．
23．〔12分〕如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上〔不与点A，B重合〕，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
〔1〕点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

2022年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．〔3分〕〔2022•杭州〕﹣22=〔　　〕
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】根据幂的乘方的运算法那么求解．
【解答】解：﹣22=﹣4，
应选B．
【点评】此题考查了幂的乘方，解答此题的关键是掌握幂的乘方的运算法那么．
2．〔3分〕〔2022•杭州〕太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为〔　　〕
A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109 D．15×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．
应选A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．〔3分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，假设BD=2AD，那么〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用得出对应边的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
那么=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
应选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．
4．〔3分〕〔2022•杭州〕|1+|+|1﹣|=〔　　〕
A．1 B． C．2 D．2
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：原式1++﹣1=2，
应选：D．
【点评】此题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．
5．〔3分〕〔2022•杭州〕设x，y，c是实数，〔　　〕
A．假设x=y，那么x+c=y﹣c B．假设x=y，那么xc=yc
C．假设x=y，那么 D．假设，那么2x=3y
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
应选：B．
【点评】此题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
6．〔3分〕〔2022•杭州〕假设x+5＞0，那么〔　　〕
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；
应选D．
【点评】此题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．〔3分〕〔2022•杭州〕某景点的参观人数逐年增加，据统计，2022年为10.8万人次，2022年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，那么〔　　〕
A．10.8〔1+x〕=16.8 B．16.8〔1﹣x〕=10.8
C．10.8〔1+x〕2=16.8 D．10.8[〔1+x〕+〔1+x〕2]=16.8
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×〔1+增长率〕2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8〔1+x〕2=16.8，
应选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a〔1±x〕2=b．
8．〔3分〕〔2022•杭州〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，那么〔　　〕
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．
【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l1：l2=1：2，
∵S1=×2π×=π，
S2=×4π×=2π，
∴S1：S2=1：2，
应选A．
【点评】此题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=lr求解是解题的关键．
9．〔3分〕〔2022•杭州〕设直线x=1是函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是实数，且a＜0〕的图象的对称轴，〔　　〕
A．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＞0 B．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＜0
C．假设m＜1，那么〔m+1〕a+b＞0 D．假设m＜1，那么〔m+1〕a+b＜0
【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解：由对称轴，得
b=﹣2a．
〔m+1〕a+b=ma+a﹣2a=〔m﹣1〕a，
当m＞1时，〔m﹣1〕a＜0，〔m﹣1〕a+b与0无法判断．
当m＜1时，〔m﹣1〕a＞0，〔m﹣1〕a+b〔m﹣1〕a﹣2a=〔m﹣1〕a＞0．
应选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．
10．〔3分〕〔2022•杭州〕如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，那么〔　　〕
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴==y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=〔3y〕2+〔9﹣x〕2，
即2x﹣y2=9，
应选B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
二．填空题
11．〔4分〕〔2022•杭州〕数据2，2，3，4，5的中位数是　3　．
【分析】根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数〔或两个数的平均数〕为中位数，即可求出答案．
【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，
位于最中间的数是3，
那么这组数的中位数是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求，如果是偶数个那么找中间两位数的平均数．
12．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．假设∠ABT=40°，那么∠ATB=　50°　．
【分析】根据切线的性质即可求出答案．
【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=50°，
故答案为：50°
【点评】此题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，此题属于根底题型．
13．〔4分〕〔2022•杭州〕一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球〔只有颜色不同〕，其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，那么两次摸出都是红球的概率是．
【分析】根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．
【解答】解：根据题意画出相应的树状图，
所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，
∴两次摸出都是红球的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解此题的关键．
14．〔4分〕〔2022•杭州〕假设•|m|=，那么m=　3或﹣1　．
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．
【解答】解：由题意得，
m﹣1≠0，
那么m≠1，
〔m﹣3〕•|m|=m﹣3，
∴〔m﹣3〕•〔|m|﹣1〕=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键．
15．〔4分〕〔2022•杭州〕如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，那么△ABE的面积等于　78　．
【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC﹣AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
解得：CE=12，
∴BE=BC﹣CE=13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面积=×150=78；
故答案为：78．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键
16．〔4分〕〔2022•杭州〕某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．假设该店第二天销售香蕉t千克，那么第三天销售香蕉　30﹣千克．〔用含t的代数式表示．〕
【分析】设第三天销售香蕉x千克，那么第一天销售香蕉〔50﹣t﹣x〕千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．
【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，那么第一天销售香蕉〔50﹣t﹣x〕千克，
根据题意，得：9〔50﹣t﹣x〕+6t+3x=270，
那么x==30﹣，
故答案为：30﹣．
【点评】此题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．
三．解答题
17．〔6分〕〔2022•杭州〕为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如下列图的频数表和未完成的频数直方图〔每组含前一个边界值，不含后一个边界值〕．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
组别〔m〕
频数
1.09～1.19
8
1.19～1.29
12
1.29～1.39
A
1.39～1.49
10
〔1〕求a的值，并把频数直方图补充完整；
〔2〕该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m〔含1.29m〕以上的人数．
【分析】〔1〕利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；
〔2〕利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：〔1〕a=50﹣8﹣12﹣10=20，
；
〔2〕该年级学生跳高成绩在1.29m〔含1.29m〕以上的人数是：500×=300〔人〕．
【点评】此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．
18．〔8分〕〔2022•杭州〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b〔k，b都是常数，且k≠0〕的图象经过点〔1，0〕和〔0，2〕．
〔1〕当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
〔2〕点P〔m，n〕在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
〔1〕利用一次函数增减性得出即可．
〔2〕根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．
【解答】解：设解析式为：y=kx+b，
将〔1，0〕，〔0，2〕代入得：，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；
〔1〕把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，
把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．
〔2〕∵点P〔m，n〕在该函数的图象上，
∴n=﹣2m+2，
∵m﹣n=4，
∴m﹣〔﹣2m+2〕=4，
解得m=2，n=﹣2，
∴点P的坐标为〔2，﹣2〕．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
19．〔8分〕〔2022•杭州〕如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
〔1〕求证：△ADE∽△ABC；
〔2〕假设AD=3，AB=5，求的值．
【分析】〔1〕由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
〔2〕△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．
【解答】解：〔1〕∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
〔2〕由〔1〕可知：△ADE∽△ABC，
∴=
由〔1〕可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
【点评】此题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，此题属于中等题型．
20．〔10分〕〔2022•杭州〕在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．
〔1〕设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
〔2〕圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗为什么
【分析】〔1〕①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；
〔2〕直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【解答】解：〔1〕①由题意可得：xy=3，
那么y=；
②当y≥3时，≥3
解得：x≤1，
故x的取值范围是：0＜x≤1；
〔2〕∵一个矩形的周长为6，
∴x+y=3，
∴x+=3，
整理得：x2﹣3x+3=0，
∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，
∴x+y=5，
∴x+=5，
整理得：x2﹣5x+3=0，
∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，
∴矩形的周长可能是10，
所以方方的说法对．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
21．〔10分〕〔2022•杭州〕如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上〔不与点B，D重合〕，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
〔1〕写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
〔2〕假设正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
【分析】〔1〕结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
〔2〕作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+〔2x+x〕2，
解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题；
【解答】解：〔1〕结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
〔2〕作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+〔2x+x〕2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cos30°=+．
方法二：过点A作AH⊥BG，可以构造两个特殊直角三角形，即可解决问题．
【点评】此题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22．〔12分〕〔2022•杭州〕在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔x+a〕〔x﹣a﹣1〕，其中a≠0．
〔1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；
〔2〕假设一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
〔3〕点P〔x0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求x0的取值范围．
【分析】〔1〕根据待定系数法，可得函数解析式；
〔2〕根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
〔3〕根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：〔1〕函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，得
〔a+1〕〔﹣a〕=﹣2，
解得a1=﹣2，a2=1，
函数y1的表达式y=〔x﹣2〕〔x+2﹣1〕，化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=〔x+1〕〔x﹣2〕化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
〔2〕当y=0时〔x+a〕〔x﹣a﹣1〕=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是〔﹣a，0〕，〔a+1，0〕，
当y2=ax+b经过〔﹣a，0〕时，﹣a2+b=0，即b=a2；
当y2=ax+b经过〔a+1，0〕时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；
〔3〕当P在对称轴的左侧〔含顶点〕时，y随x的增大而增大，
〔1，n〕与〔0，n〕关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0≤；
当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解〔1〕的关键是利用待定系数法；解〔2〕的关键是把点的坐标代入函数解析式；解〔3〕的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
23．〔12分〕〔2022•杭州〕如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上〔不与点A，B重合〕，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
〔1〕点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

【分析】〔1〕由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；

【解答】解：〔1〕猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°
连接OB，
∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°﹣2α，
∴2β=360°﹣〔180°﹣2α〕，
∴β=α+90°，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四点共圆，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；

∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由〔1〕可知：O、A、E、B四点共圆，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴，
∴，
设CE=3x，AC=x，
由〔1〕可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：〔3x〕2+〔3x〕2=62，
x=，
∴BE=CE=3，AC=，
∴AE=AC+CE=4，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2=〔3〕2+〔4〕2，
∴AB=5，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2=2r2，
∴r=5，
∴⊙O半径的长为5．
【点评】此题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．