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2022年江西省高考数学试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的
1．〔5分〕假设复数z满足z〔1+i〕=2i〔i为虚数单位〕，那么|z|=〔　　〕
A．1 B．2 C． D．
2．〔5分〕设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，那么A∩〔∁RB〕=〔　　〕
A．〔﹣3，0〕 B．〔﹣3，﹣1〕 C．〔﹣3，﹣1] D．〔﹣3，3〕
3．〔5分〕掷两颗均匀的骰子，那么点数之和为5的概率等于〔　　〕
A． B． C． D．
4．〔5分〕函数f〔x〕=〔a∈R〕，假设f[f〔﹣1〕]=1，那么a=〔　　〕
A． B． C．1 D．2
5．〔5分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设3a=2b，那么的值为〔　　〕
A．﹣ B． C．1 D．
6．〔5分〕以下表达中正确的选项是〔　　〕
A．假设a，b，c∈R，那么“ax2+bx+c≥0〞的充分条件是“b2﹣4ac≤0〞
B．假设a，b，c∈R，那么“ab2＞cb2〞的充要条件是“a＞c〞
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0〞的否认是“存在x∈R，有x2≥0〞
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l⊥α，l⊥β，那么α∥β
7．〔5分〕某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，那么与性别有关联的可能性最大的变量是〔　　〕
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
8．〔5分〕阅读如图程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为〔　　〕
A．7 B．9 C．10 D．11
9．〔5分〕过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，假设以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点〔O为坐标原点〕，那么双曲线C的方程为〔　　〕
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
10．〔5分〕在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a〔a∈R〕的图象不可能的是〔　　〕
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分
11．〔5分〕假设曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，那么点P的坐标是．
12．〔5分〕单位向量与的夹角为α，且cosα=，假设向量=3﹣2，那么||=．
13．〔5分〕在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，那么d的取值范围为．
14．〔5分〕设椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，假设AD⊥F1B，那么椭圆C的离心率等于．
15．〔5分〕x，y∈R，假设|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，那么x+y的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．〔12分〕函数f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕为奇函数，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．
〔1〕求a，θ的值；
〔2〕假设f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．
17．〔12分〕数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
18．〔12分〕函数f〔x〕=〔4x2+4ax+a2〕，其中a＜0．
〔1〕当a=﹣4时，求f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕假设f〔x〕在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
19．〔12分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
〔1〕求证：A1C⊥CC1；
〔2〕假设AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．
20．〔13分〕如图，抛物线C：x2=4y，过点M〔0，2〕任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D〔O为坐标原点〕．
〔1〕证明：动点D在定直线上；
〔2〕作C的任意一条切线l〔不含x轴〕，与直线y=2相交于点N1，与〔1〕中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．
21．〔14分〕将连续正整数1，2，…，n〔n∈N*〕从小到大排列构成一个数
〔1〕求p〔100〕；
〔2〕当n≤2022时，求F〔n〕的表达式；
〔3〕令g〔n〕为这个数中数字0的个数，f〔n〕为这个数中数字9的个数，h〔n〕=f〔n〕﹣g〔n〕，S={n|h〔n〕=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p〔n〕的最大值．
2022年江西省高考数学试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的
1．〔5分〕假设复数z满足z〔1+i〕=2i〔i为虚数单位〕，那么|z|=〔　　〕
A．1 B．2 C． D．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法那么、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．
【解答】解：∵复数z满足z〔1+i〕=2i〔i为虚数单位〕，∴z===1+i，
∴|z|==，
应选：C．
【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于根底题．
2．〔5分〕设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，那么A∩〔∁RB〕=〔　　〕
A．〔﹣3，0〕 B．〔﹣3，﹣1〕 C．〔﹣3，﹣1] D．〔﹣3，3〕
【分析】根据补集的定义求得∁RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩〔∁RB〕．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤﹣1，或 x＞5}，
那么A∩〔∁RB〕={x|﹣3＜x≤﹣1}，
应选：C．
【点评】此题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于根底题．
3．〔5分〕掷两颗均匀的骰子，那么点数之和为5的概率等于〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】此题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞这是一个古典概率模型，求出所有的根本领件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞包含的根本领件数n，再由公式求出概率得到答案
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞所包含的根本领件有〔1，4〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔4，1〕共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞的概率是=，
应选：B．
【点评】此题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞，由列举法计算出事件所包含的根本领件数，判断出概率模型，理解求解公式是此题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5〞所包含的根本领件数是此题的难点．
4．〔5分〕函数f〔x〕=〔a∈R〕，假设f[f〔﹣1〕]=1，那么a=〔　　〕
A． B． C．1 D．2
【分析】根据条件代入计算即可．
【解答】解：∵f[f〔﹣1〕]=1，
∴f[f〔﹣1〕]=f〔2﹣〔﹣1〕〕=f〔2〕=a•22=4a=1
∴．
应选：A．
【点评】此题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于根底题．
5．〔5分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设3a=2b，那么的值为〔　　〕
A．﹣ B． C．1 D．
【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．
【解答】解：∵3a=2b，∴b=，
根据正弦定理可得===，
应选：D．
【点评】此题主要考查正弦定理的应用，比较根底．
6．〔5分〕以下表达中正确的选项是〔　　〕
A．假设a，b，c∈R，那么“ax2+bx+c≥0〞的充分条件是“b2﹣4ac≤0〞
B．假设a，b，c∈R，那么“ab2＞cb2〞的充要条件是“a＞c〞
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0〞的否认是“存在x∈R，有x2≥0〞
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l⊥α，l⊥β，那么α∥β
【分析】此题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否认加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否认命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知此题的正确答案．
【解答】解：A、假设a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0〞对于任意的x恒成立时，那么有：
①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；
②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．
∴假设a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0〞是“b2﹣4ac≤0〞充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0〞是“ax2+bx+c≥0〞的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；
B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，
∴“ab2＞cb2〞是“a＞c〞的充分条件．
反之，当a＞c时，假设b=0，那么ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．
∴“a＞c〞是“ab2＞cb2〞的必要不充分条件．故B错误；
C、结论要否认，注意考虑到全称量词“任意〞，
命题“对任意x∈R，有x2≥0〞的否认应该是“存在x∈R，有x2＜0〞．故C错误；
D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l⊥α，l⊥β，那么α∥β．〞是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．
应选：D．
【点评】此题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于根底题．
7．〔5分〕某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，那么与性别有关联的可能性最大的变量是〔　　〕
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．
【解答】解：表1：X2=≈0.009；
表2：X2=≈1.769；
表3：X2=≈1.3；
表4：X2=≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
应选：D．
【点评】此题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
8．〔5分〕阅读如图程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为〔　　〕
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=1，S=0
S=lg3，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，
满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．
应选：B．
【点评】此题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于根底题．
9．〔5分〕过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，假设以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点〔O为坐标原点〕，那么双曲线C的方程为〔　　〕
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F〔4，0〕，|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，
令x=a，那么y=b，即A〔a，b〕，
∵右焦点F〔4，0〕，|FA|=4，
∴〔a﹣4〕2+b2=16，
∵a2+b2=16，
∴a=2，b=2，
∴双曲线C的方程为﹣=1．
应选：A．
【点评】此题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于根底题．
10．〔5分〕在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a〔a∈R〕的图象不可能的是〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，求出函数ax2﹣x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．
【解答】解：当a=0时，函数y=ax2﹣x+的图象是第二，四象限的角平分线，
而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；
当a≠0时，函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=，
由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得：y′=3a2x2﹣4ax+1，
令y′=0，那么x1=，x2=，
即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的两个极值点，
对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，
故A、C符合要求，B不符合，
应选：B．
【点评】此题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分
11．〔5分〕假设曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，那么点P的坐标是　〔e，e〕　．
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为〔0，+∞〕，
函数的导数为f′〔x〕=lnx+x=1+lnx，
直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，
∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，
∴f′〔x〕=1+lnx=2，
即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，
故点P的坐标是〔e，e〕，
故答案为：〔e，e〕．
【点评】此题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．
12．〔5分〕单位向量与的夹角为α，且cosα=，假设向量=3﹣2，那么||=　3　．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．
【解答】解：=9=9，
∴||=3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于根底题．
13．〔5分〕在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，那么d的取值范围为　〔﹣1，﹣〕　．
【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．
【解答】解：∵Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为〔﹣1，﹣〕．
【点评】此题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
14．〔5分〕设椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，假设AD⊥F1B，那么椭圆C的离心率等于．
【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．
∴|AF1|=2|AF2|．
设|AF2|=n，那么|AF1|=2n，|F1F2|=n，
∴e=====．
【点评】此题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决此题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．
15．〔5分〕x，y∈R，假设|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，那么x+y的取值范围为[0，2]．
【分析】根据绝对值的意义，|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，从而求得x+y的范围．
【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．
再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得 只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，
此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】此题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．〔12分〕函数f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕为奇函数，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．
〔1〕求a，θ的值；
〔2〕假设f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．
【分析】〔1〕把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f〔0〕=0，进而求得cosθ，那么θ的值可得．
〔2〕利用f〔〕=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【解答】解：〔1〕f〔〕=﹣〔a+1〕sinθ=0，
∵θ∈〔0，π〕．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=﹣1
∵f〔x〕为奇函数，
∴f〔0〕=〔a+2〕cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=．
〔2〕由〔1〕知f〔x〕=〔﹣1+2cos2x〕cos〔2x+〕=cos2x•〔﹣sin2x〕=﹣，
∴f〔〕=﹣sinα=﹣，
∴sinα=，
∵α∈〔，π〕，
∴cosα==﹣，
∴sin〔α+〕=sinαcos+cosαsin=．
【点评】此题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．
17．〔12分〕数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
【分析】〔1〕利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1〞即可得出；
〔2〕对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即〔3n﹣2〕2=1×〔3m﹣2〕，解出m为正整数即可．
【解答】〔1〕解：∵Sn=，n∈N*．
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，〔*〕
当n=1时，a1=S1==1．
因此当n=1时，〔*〕也成立．
∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2．
〔2〕证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
那么，
∴〔3n﹣2〕2=1×〔3m﹣2〕，
化为m=3n2﹣4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n2﹣4n+2=＞1，
因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
【点评】此题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等根底知识与根本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
18．〔12分〕函数f〔x〕=〔4x2+4ax+a2〕，其中a＜0．
〔1〕当a=﹣4时，求f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕假设f〔x〕在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
【分析】〔1〕当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．
【解答】解；〔1〕当a=﹣4时，f〔x〕=〔4x2+4ax+a2〕，
∴f〔x〕=〔4x2﹣16x+16〕，
∴f′〔x〕=〔8x﹣16〕+〔4x2﹣16x+16〕=2〔〕=，
∵f′〔x〕＞0，x≥0，
∴5x2﹣12x+4＞0，
解得，0≤x＜，或x＞2，
∴当a=﹣4时，f〔x〕的单调递增区间为[0，〕和〔2，+∞〕；
〔2〕∵f〔x〕=〔4x2+4ax+a2〕，
∴；
令f′〔x〕=0．解得，
当f′〔x〕＞0时，x∈〔0，〕或，此时f〔x〕单调递增，
当f′〔x〕＜0时，x∈〔〕，此时f〔x〕单调递减，
①当≥4，即a≤﹣40，f〔x〕在区间[1，4]为增函数，由f〔1〕=8，解得a=﹣2，不符合舍去
②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f〔x〕在区间[1，4]为增函数，由f〔1〕=8，解得a=﹣2，不符合舍去
③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f〔x〕在区间[1，4]为减函数，由f〔4〕=8，解得a=﹣10，
④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f〔1〕=8或f〔4〕=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，
⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f〔〕=8，无解．
综上所述，a=﹣10．
【点评】此题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题
19．〔12分〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
〔1〕求证：A1C⊥CC1；
〔2〕假设AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．
【分析】〔1〕通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1C⊥CC1；
〔2〕作AO⊥BC 于O，连结A1O，说明∠AA1O=90°，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．
【解答】解：〔1〕∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1=B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
〔2〕作AO⊥BC于O，连结A1O，由〔1〕可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，
∴AO=，
设A1A=h，A1O==，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，
当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，
最大值为：．
【点评】此题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．
20．〔13分〕如图，抛物线C：x2=4y，过点M〔0，2〕任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D〔O为坐标原点〕．
〔1〕证明：动点D在定直线上；
〔2〕作C的任意一条切线l〔不含x轴〕，与直线y=2相交于点N1，与〔1〕中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．
【分析】〔1〕设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx﹣8=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有：x1x2=﹣8，由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D的坐标为，利用x1x2=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2〔x≠0〕上；
〔2〕依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b〔a≠0〕，代入x2=4y，由△=0化简整理得b=﹣a2，故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1〔+a，2〕、N2〔﹣+a，﹣2〕，从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．
【解答】〔1〕证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4〔kx+2〕，即x2﹣4kx﹣8=0，
设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有：x1x2=﹣8，
直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2．
解得交点D的坐标为．
注意到x1x2=﹣8及=4y1，那么有y===﹣2，
因此D点在定直线y=﹣2〔x≠0〕上．
〔2〕证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b〔a≠0〕，代入x2=4y得x2=4〔ax+b〕，即x2﹣4ax﹣4b=0，
由△=0得〔4a〕2+16b=0，化简整理得b=﹣a2．
故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．
分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1〔+a，2〕、N2〔﹣+a，﹣2〕，
那么|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8，
即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．
【点评】此题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等根底知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．
21．〔14分〕将连续正整数1，2，…，n〔n∈N*〕从小到大排列构成一个数
〔1〕求p〔100〕；
〔2〕当n≤2022时，求F〔n〕的表达式；
〔3〕令g〔n〕为这个数中数字0的个数，f〔n〕为这个数中数字9的个数，h〔n〕=f〔n〕﹣g〔n〕，S={n|h〔n〕=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p〔n〕的最大值．
【分析】〔1〕根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；
〔2〕分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2022，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F〔n〕；
〔3〕根据题意，分情况求出当n∈S时p〔n〕的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．
【解答】解：〔1〕当n=100时，F〔100〕=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，
其中数字0的个数为11，
那么恰好取到0的概率为P〔100〕=；
〔2〕当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F〔n〕=n，
当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，那么F〔n〕=2n﹣9，
当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F〔n〕=3n﹣108，
当1000≤n≤2022时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F〔n〕=4n﹣1107，
F〔n〕=；
〔3〕当n=b〔1≤b≤9，b∈N*〕时，g〔n〕=0，
当n=10k+b〔1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N*〕时，g〔n〕=k：
当n=100时，g〔n〕=11，
即g〔n〕=，同理有f〔n〕=，
由h〔n〕=f〔n〕﹣g〔n〕=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，
所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；
当n=9时，P〔9〕=0，
当n=90时，P〔90〕==，
当n=10k+9〔1≤k≤8，k∈N*〕时，p〔n〕===，
由y=关于k单调递增，故当n=10k+9〔1≤k≤8，k∈N*〕时，P〔n〕的最大值为P〔89〕=，
又＜，所以当n∈S时，P〔n〕的最大值为．
【点评】此题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．