2022年浙江省湖州市中考数学试题(解析版).docx

2022年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题〔本大题有10小题，每题3分，共30分〕下面每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多项选择、错选均不给分
1．计算〔﹣20〕+16的结果是〔　　〕
A．﹣4 B．4 C．﹣2022 D．2022
2．为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20〞图标的活动，以下列图形中及时轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A．B．C．D．
3．由六个相同的立方体搭成的几何体如下列图，那么它的主视图是〔　　〕
A． B．C．D．
4．受“乡村旅游第一市〞的品牌效应和2022年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，2022年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约2800000人次，同比增长约56%，将2800000用科学记数法表示应是〔　　〕
A．28×105B．2.8×106C．2.8×105D．0.28×105
5．数据1，2，3，4，4，5的众数是〔　　〕
A．5 B．3 C．3.5 D．4
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．假设AD=8，那么点P到BC的距离是〔　　〕
A．8 B．6 C．4 D．2
7．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，假设任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，那么其结果恰为2的概率是〔　　〕
A．B．C．D．
8．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，那么∠D的度数是〔　　〕
A．25° B．40° C．50° D．65°
9．定义：假设点P〔a，b〕在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数〞．例如：点〔2，〕在函数y=的图象上，那么函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数〞．现给出以下两个命题：
〔1〕存在函数y=的一个“派生函数〞，其图象的对称轴在y轴的右侧
〔2〕函数y=的所有“派生函数〞，的图象都进过同一点，以下判断正确的选项是〔　　〕
A．命题〔1〕与命题〔2〕都是真命题
B．命题〔1〕与命题〔2〕都是假命题
C．命题〔1〕是假命题，命题〔2〕是真命题
D．命题〔1〕是真命题，命题〔2〕是假命题
10．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．那么BE的长是〔　　〕
A．4 B．C．3D．2
二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11．数5的相反数是．
12．方程=1的根是x=．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，那么CD的长是．
14．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，那么∠1与∠2的度数和是度．
15．四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜〞连接起来是．
16．点P在一次函数y=kx+b〔k，b为常数，且k＜0，b＞0〕的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．
〔1〕k的值是；
〔2〕如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点〔点C在第二象限内〕，过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，假设=，那么b的值是．
三、解答题〔此题有8小题，共66分〕
17．计算：tan45°﹣sin30°+〔2﹣〕0．
18．当a=3，b=﹣1时，求以下代数式的值．
〔1〕〔a+b〕〔a﹣b〕；
〔2〕a2+2ab+b2．
19．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
〔1〕求鱼塘的长y〔米〕关于宽x〔米〕的函数表达式；
〔2〕由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米
20．如图，四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
〔1〕求证：BD=CD；
〔2〕假设圆O的半径为3，求的长．
21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会〞海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩〔成绩x取整数，总分100分〕作为样本进行整理，得到以下统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别
海选成绩x
A组
50≤x＜60
B组
60≤x＜70
C组
70≤x＜80
D组
80≤x＜90
E组
90≤x＜100
请根据所给信息，解答以下问题：
〔1〕请把图1中的条形统计图补充完整；〔温馨提示：请画在答题卷相对应的图上〕
〔2〕在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，那么a的值为，表示C组扇形的圆心角θ的度数为度；
〔3〕规定海选成绩在90分以上〔包括90分〕记为“优等〞，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有多少人
22．随着某市养老机构〔养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等〕建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
〔1〕该市的养老床位数从2022年底的2万个增长到2022年底的2.88万个，求该市这两年〔从2022年度到2022年底〕拥有的养老床位数的平均年增长率；
〔2〕假设该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间〔1个养老床位〕，双人间〔2个养老床位〕，三人间〔3个养老床位〕，因实际需要，单人间房间数在10至30之间〔包括10和30〕，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①假设该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个最少提供养老床位多少个
23．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c〔b，c为常数〕的图象经过点A〔3，1〕，点C〔0，4〕，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
〔1〕求该二次函数的解析式及点M的坐标；
〔2〕假设将该二次函数图象向下平移m〔m＞0〕个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部〔不包括△ABC的边界〕，求m的取值范围；
〔3〕点P是直线AC上的动点，假设点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标〔直接写出结果，不必写解答过程〕．
24．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD〔∠BAD=120°〕进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F〔不包括线段的端点〕．
〔1〕初步尝试
如图1，假设AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
〔2〕类比发现
如图2，假设AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；
〔3〕深入探究
如图3，假设AD=3AB，探究得：的值为常数t，那么t=．
2022年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题有10小题，每题3分，共30分〕下面每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多项选择、错选均不给分
1．计算〔﹣20〕+16的结果是〔　　〕
A．﹣4 B．4 C．﹣2022 D．2022
【考点】有理数的加法．
【分析】根据有理数的加法运算法那么进行计算即可得解．
【解答】解：〔﹣20〕+16，
=﹣〔20﹣16〕，
=﹣4．
应选A．
2．为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20〞图标的活动，以下列图形中及时轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两局部能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两局部能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两局部能够重合；即不满足轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
应选：D．
3．由六个相同的立方体搭成的几何体如下列图，那么它的主视图是〔　　〕
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视方向确定看到的平面图形即可．
【解答】解：结合几何体发现：从主视方向看到上面有一个正方形，下面有3个正方形，
应选A．
4．受“乡村旅游第一市〞的品牌效应和2022年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，2022年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约2800000人次，同比增长约56%，将2800000用科学记数法表示应是〔　　〕
A．28×105B．2.8×106C．2.8×105D．0.28×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：2800000=2.8×106，
应选：B．
5．数据1，2，3，4，4，5的众数是〔　　〕
A．5 B．3 C．3.5 D．4
【考点】众数．
【分析】直接利用众数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵数据1，2，3，4，4，5中，4出现的次数最多，
∴这组数据的众数是：4．
应选：D．
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．假设AD=8，那么点P到BC的距离是〔　　〕
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
应选C．
7．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，假设任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，那么其结果恰为2的概率是〔　　〕
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法；绝对值；概率的意义．
【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|=2的解，即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣4|=2，
∴x=2或6．
∴其结果恰为2的概率==．
应选C．
8．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，那么∠D的度数是〔　　〕
A．25° B．40° C．50° D．65°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
应选B．
9．定义：假设点P〔a，b〕在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数〞．例如：点〔2，〕在函数y=的图象上，那么函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数〞．现给出以下两个命题：
〔1〕存在函数y=的一个“派生函数〞，其图象的对称轴在y轴的右侧
〔2〕函数y=的所有“派生函数〞，的图象都进过同一点，以下判断正确的选项是〔　　〕
A．命题〔1〕与命题〔2〕都是真命题
B．命题〔1〕与命题〔2〕都是假命题
C．命题〔1〕是假命题，命题〔2〕是真命题
D．命题〔1〕是真命题，命题〔2〕是假命题
【考点】命题与定理．
【分析】〔1〕根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．
〔2〕根据“派生函数〞y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．
【解答】解：〔1〕∵P〔a，b〕在y=上，
∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
∴存在函数y=的一个“派生函数〞，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
〔2〕∵函数y=的所有“派生函数〞为y=ax2+bx，
∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数〞为y=ax2+bx经过原点，
∴函数y=的所有“派生函数〞，的图象都进过同一点，是真命题．
应选C．
10．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．那么BE的长是〔　　〕
A．4 B．C．3D．2
【考点】翻折变换〔折叠问题〕；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴CD=，BD=BC﹣CD=，
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，
∴△ADM∽△BDA，
∴=，即=，
∴DM=，MB=BD﹣DM=，
∵∠ABM=∠C=∠MED，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，
∴△ABD∽△MBE，
∴=，
∴BE===．
应选B．
二、填空题〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11．数5的相反数是　﹣5　．
【考点】相反数．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：数5的相反数是：﹣5．
故答案为：﹣5．
12．方程=1的根是x=　﹣2　．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3，
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，
故方程的解为x=﹣2，
故答案为：﹣2．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，那么CD的长是　5　．
【考点】作图—根本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB===10，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD=AB=5．
故答案为5．
14．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，那么∠1与∠2的度数和是　90　度．
【考点】平行线的性质．
【分析】如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，那么根据平行线的性质得∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEC=90°
【解答】解：如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，
作EF∥AB，那么EF∥CD，
所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，
所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°．
故答案为90．
15．四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜〞连接起来是　y＜a＜b＜x　．
【考点】有理数大小比较．
【分析】由x+y=a+b得出y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，求出b＜x，y＜a，即可得出答案．
【解答】解：∵x+y=a+b，
∴y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，
把y=a=b﹣x代入y﹣x＜a﹣b得：a+b﹣x﹣x＜a﹣b，
2b＜2x，
b＜x①，
把x=a+b﹣y代入y﹣x＜a﹣b得：y﹣〔a+b﹣y〕＜a﹣b，
2y＜2a，

∵b＞a③，
∴由①②③得：y＜a＜b＜x，
故答案为：y＜a＜b＜x．
16．点P在一次函数y=kx+b〔k，b为常数，且k＜0，b＞0〕的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．
〔1〕k的值是　﹣2　；
〔2〕如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点〔点C在第二象限内〕，过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，假设=，那么b的值是　3．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义．
【分析】〔1〕设出点P的坐标，根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在一次函数y=kx+b〔k，b为常数，且k＜0，b＞0〕的图象上，即可得出关于k、m、n、b的四元一次方程组，两式做差即可得出k值；
〔2〕根据BO⊥x轴，CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC，再根据给定图形的面积比即可得出，根据一次函数的解析式可以用含b的代数式表示出来线段AO、BO，由此即可得出线段CE、AE的长度，利用OE=AE﹣AO求出OE的长度，再借助于反比例函数系数k的几何意义即可得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：〔1〕设点P的坐标为〔m，n〕，那么点Q的坐标为〔m﹣1，n+2〕，
依题意得：，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
〔2〕∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BO∥CE，
∴△AOB∽△AEC．
又∵=，
∴==．
令一次函数y=﹣2x+b中x=0，那么y=b，
∴BO=b；
令一次函数y=﹣2x+b中y=0，那么0=﹣2x+b，
解得：x=，即AO=．
∵△AOB∽△AEC，且=，
∴．
∴AE=AO=b，CE=BO=b，OE=AE﹣AO=b．
∵OE•CE=|﹣4|=4，即b2=4，
解得：b=3，或b=﹣3〔舍去〕．
故答案为：3．
三、解答题〔此题有8小题，共66分〕
17．计算：tan45°﹣sin30°+〔2﹣〕0．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：原式=1﹣+1
=．
18．当a=3，b=﹣1时，求以下代数式的值．
〔1〕〔a+b〕〔a﹣b〕；
〔2〕a2+2ab+b2．
【考点】代数式求值．
【分析】〔1〕把a与b的值代入计算即可求出值；
〔2〕原式利用完全平方公式变形，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：〔1〕当a=3，b=﹣1时，原式=2×4=8；
〔2〕当a=3，b=﹣1时，原式=〔a+b〕2=22=4．
19．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
〔1〕求鱼塘的长y〔米〕关于宽x〔米〕的函数表达式；
〔2〕由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米
【考点】反比例函数的应用．
【分析】〔1〕根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
〔2〕把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果．
【解答】解：〔1〕由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
〔2〕当x=20〔米〕时，y==100〔米〕，
那么当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
20．如图，四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
〔1〕求证：BD=CD；
〔2〕假设圆O的半径为3，求的长．
【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．
【分析】〔1〕直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
〔2〕首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
〔2〕解：∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故===π，
答：的长为π．
21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会〞海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩〔成绩x取整数，总分100分〕作为样本进行整理，得到以下统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别
海选成绩x
A组
50≤x＜60
B组
60≤x＜70
C组
70≤x＜80
D组
80≤x＜90
E组
90≤x＜100
请根据所给信息，解答以下问题：
〔1〕请把图1中的条形统计图补充完整；〔温馨提示：请画在答题卷相对应的图上〕
〔2〕在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，那么a的值为　15　，表示C组扇形的圆心角θ的度数为　72　度；
〔3〕规定海选成绩在90分以上〔包括90分〕记为“优等〞，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有多少人
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】〔1〕用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；
〔2〕用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数；
〔3〕用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上〔包括90分〕所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：〔1〕D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50〔人〕，
补图如下：
〔2〕B组人数所占的百分比是×100%=15%，
那么a的值是15；
C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°；
故答案为：15，72；
〔3〕根据题意得：
2000×=700〔人〕，
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等〞的有700人．
22．随着某市养老机构〔养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等〕建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
〔1〕该市的养老床位数从2022年底的2万个增长到2022年底的2.88万个，求该市这两年〔从2022年度到2022年底〕拥有的养老床位数的平均年增长率；
〔2〕假设该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间〔1个养老床位〕，双人间〔2个养老床位〕，三人间〔3个养老床位〕，因实际需要，单人间房间数在10至30之间〔包括10和30〕，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①假设该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个最少提供养老床位多少个
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元二次方程的应用．
【分析】〔1〕设该市这两年〔从2022年度到2022年底〕拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2022年的床位数=2022年的床位数×〔1+增长率〕的平方〞可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
〔2〕①设规划建造单人间的房间数为t〔10≤t≤30〕，那么建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数〞即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数〞即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：〔1〕设该市这两年〔从2022年度到2022年底〕拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2〔1+x〕2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2〔不合题意，舍去〕．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
〔2〕①设规划建造单人间的房间数为t〔10≤t≤30〕，那么建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3=﹣4t+300〔10≤t≤30〕，
∵k=﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260〔个〕，
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180〔个〕．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
23．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c〔b，c为常数〕的图象经过点A〔3，1〕，点C〔0，4〕，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
〔1〕求该二次函数的解析式及点M的坐标；
〔2〕假设将该二次函数图象向下平移m〔m＞0〕个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部〔不包括△ABC的边界〕，求m的取值范围；
〔3〕点P是直线AC上的动点，假设点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标〔直接写出结果，不必写解答过程〕．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
〔2〕点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；
〔3〕由题意分析可得∠MCP=90°，那么假设△PCM与△BCD相似，那么要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：〔1〕把点A〔3，1〕，点C〔0，4〕代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣〔x﹣1〕2+5，
∴点M的坐标为〔1，5〕；
〔2〕设直线AC解析式为y=kx+b，把点A〔3，1〕，C〔0，4〕代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如下列图，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，那么点E坐标为〔1，3〕，点F坐标为〔1，1〕
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
〔3〕连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，那么点G坐标为〔0，5〕
∵MG=1，GC=5﹣4=1
∴MC==，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，那么点N坐标为〔﹣1，5〕，
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，假设点P在AC上，那么∠MCP=90°，那么点D与点C必为相似三角形对应点
①假设有△PCM∽△BDC，那么有
∵BD=1，CD=3，
∴CP===，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
假设点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=
∴PH==
把x=代入y=﹣x+4，解得y=，
∴P1〔〕；
同理可得，假设点P在y轴左侧，那么把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=
∴P2〔〕；
②假设有△PCM∽△CDB，那么有
∴CP==3
∴PH=3÷=3，
假设点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
假设点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3〔3，1〕；P4〔﹣3，7〕．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1〔〕，P2〔〕，P3〔3，1〕，P4〔﹣3，7〕．
24．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD〔∠BAD=120°〕进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F〔不包括线段的端点〕．
〔1〕初步尝试
如图1，假设AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
〔2〕类比发现
如图2，假设AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；
〔3〕深入探究
如图3，假设AD=3AB，探究得：的值为常数t，那么t=．
【考点】几何变换综合题．
【分析】〔1〕①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．
〔2〕设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得=由此即可证明．
〔3〕如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得=，由AB•CM=AD•CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，设CN=a，FN=b，那么CM=3a，EM=3b，想方法求出AC，AE+3AF即可解决问题．
【解答】解；〔1〕①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
∴△BCE≌△ACF．
②∵△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．
〔2〕设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，
∴AD=2AB=4x，
∴AH=AD﹣DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC==2x，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACH=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠HCF=∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴==2，
∴AE=2FH．
〔3〕如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．
∵∠ECF+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AFC+∠CFN=180°，
∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴=，
∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，
∴CM=3CN，
∴==，设CN=a，FN=b，那么CM=3a，EM=3b，
∵∠MAH=60°，∠M=90°，
∴∠AHM=∠CHN=30°，
∴HC=2a，HM=a，HN=a，
∴AM=a，AH=a，
∴AC==a，
AE+3AF=〔EM﹣AM〕+3〔AH+HN﹣FN〕=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，
∴==．
故答案为．