2022版新高考数学二轮复习:第二部分-专题六-第5讲-导数与方程-Word版含解析.doc
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1、第5讲导数与方程判断、证明或讨论函数零点个数两类零点问题的不同处理方法:利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0.(1)直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)f(b)0;(2)分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0,【关键1:正确求出导函数,研究函数的单调性】所以f(x)在(0,1),(1,)单调递增.因为f(e)10,所以f(x)在(1,)有唯一零点x1(ex1e2),即f(x1)0.【关键2:利用零点存在性定理判断在(1,)内存
2、在一个零点】又01,fln x1f(x1)0,故f(x)在(0,1)有唯一零点.【关键3:利用零点存在性定理判断在(0,1)内存在一个零点】综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)略【分类讨论法】(2019高考全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x),f(x)为f(x)的导数,证明:(1)f(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.证明:(1)设g(x)f(x),则g(x)cos x,g(x)sin x.当x时,g(x)单调递减,而g(0)0,g0,可得g(x)在有唯一零点,设为.【关键1:利用零点的存在性定理确定g(x)在内有唯一零点】则当x(1,)时,g(x)0;当
3、x时,g(x)0.所以g(x)在(1,)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f(x)在存在唯一极大值点.【关键2:根据函数的单调性与极大值点的定义判断极大值点的存在性】(2)f(x)的定义域为(1,).当x(1,0时,由(1)知,f(x)在(1,0)单调递增,而f(0)0,所以当x(1,0)时,f(x)0,故f(x)在(1,0)单调递减又f(0)0,从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点.当x时,由(1)知,f(x)在(0,)单调递增,在单调递减,而f(0)0,f0,所以存在,使得f()0,且当x(0,)时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在(0,)单调递增,在单调
4、递减.又f(0)0,f1ln0,所以当x时,f(x)0.从而,f(x)在没有零点.当x时,f(x)0,所以f(x)在单调递减而f0,f()0,所以f(x)在有唯一零点.当x时,ln(x1)1,所以f(x)0,从而f(x)在(,)没有零点【关键3:在定义域内的不同区间,利用函数的单调性、最值、零点存在性定理判断零点的个数】综上,f(x)有且仅有2个零点.典型例题 (2019广东省七校联考)已知函数f(x)ln xax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a0,f(x)在(0,)上单调递增;当a0,f(x)单调递增,在上,f(x)0,f(x)单调递减综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增
5、;当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)由(1)可知,当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减故f(x)maxfln1.当ln 1,即a时,f 1,即a0,令0b1且b,则ln b0,f(b)ln babln b0,故f(b)fe,则在(e,)上,g(t)10,故g(t)在(e,)上单调递减,故在(e,)上,g(t)g(e)2e0,则f0,故ff0,f(x)在上有一个零点故f(x)在(0,)上有两个零点综上,当a时,函数f(x)没有零点;当a时,函数f(x)有一个零点;当a0,所以f(x)0时,令g(x)mx22xm,(i)m1时,44m20,此时f(x)0,f(x)在(0,)
6、上单调递增;(ii)0m0,令f(x)0,则x1,x2,所以x时,f(x)0,x时,f(x)0,所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减综上,m0时,f(x)在(0,)上单调递减;m1时,f(x)在(0,)上单调递增;0m1时,f(x)在上单调递减,在和上单调递增(2)证明:因为m,所以f(x)2ln x,由(1)可知f(x)在(0,2)和(2,)上单调递增,在(2,2)上单调递减,又f(1)0,且1(2,2),所以f(x)在(2,2)上有唯一零点x1.又0e32,f(e3)(e3e3)6672,f(e3)f(e3)0,所以f(x)在(2,)上有唯一零点综上,当m时,f(x)有且只有三个零点根
7、据零点个数确定参数范围已知函数有零点求参数范围常用的方法:(1)分离参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法:一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围高考真题思维方法【由导数特点分类讨论】(2018高考全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1,证明:当x
8、0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.(1)略(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点【关键1:构造函数h(x),将f(x)的零点情况转化为h(x)的零点情况】()当a0时,h(x)0,h(x)没有零点;【关键2:对参数a分类讨论,结合函数值判断函数零点情况】()当a0时,h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时,h(x)0;当x(2,)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增.故h(2)1是h(x)在(0,)的最小值.【关键3:分类讨论,利用导数研究函数单调性,求函数最值】若
9、h(2)0,即a,h(x)在(0,)没有零点;若h(2)0,即a,h(x)在(0,)只有一个零点;若h(2)0,即a,由于h(0)1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)有一个零点因此h(x)在(0,)有两个零点.【关键4:对函数最小值的符号分类讨论,结合函数单调性判断零点情况,求出参数值】综上,f(x)在(0,)只有一个零点时,a.续表高考真题思维方法【直接分类讨论】(2017高考全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.(1)略(2
10、)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.【关键1:针对f(x)解析式的特点,可对参数a直接分类讨论】()若a0,由(1)知,当xln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)1ln a【关键2:结合函数单调性求函数最小值,进而根据最小值直接判断零点的情况】当a1时,由于f(ln a)0,故f(x)只有一个零点;当a(1,)时,由于1ln a0,即f(ln a)0,故f(x)没有零点;当a(0,1)时,1ln a0,即f(ln a)2e220,故f(x)在(,ln a)有一个零点.设正整数n0满足n0ln,则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnl
11、n a,因此f(x)在(ln a,)有一个零点.【关键3:对参数a分类讨论,结合函数单调性与最小值判断函数零点情况,求参数取值范围】综上,a的取值范围为(0,1).典型例题 (2019唐山模拟)已知函数f(x)xexa(x1)2.(1)若ae,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围【解】(1)由题意知,当ae时,f(x)xexe(x1)2,函数f(x)的定义域为(,),f(x)(x1)exe(x1)(x1)(exe)令f(x)0,解得x1或x1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值
12、e所以当x1时,f(x)取得极大值;当x1时,f(x)取得极小值e.(2)令f(x)0,即xexa(x1)20,得xexa(x1)2.当x1时,方程为e1a0,显然不成立,所以x1不是方程的解,即1不是函数f(x)的零点当x1时,分离参数得a.记g(x)(x1),则g(x).当x1时,g(x)1时,g(x)0,函数g(x)单调递增当x0时,g(x)0;当x时,g(x)0;当x1时,g(x);当x时,g(x).故函数g(x)的图象如图所示作出直线ya,由图可知,当a0)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)f(x)m,当a2时,g(x)在e1,e上有两个不同的零点,求m的取值范围解:(
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