2023版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.10.1圆锥曲线中的定值与定点问题练习理北师大版.doc

10.10.1 圆锥曲线中的定值与定点问题
核心考点·精准研析
考点一　直线过定点问题 
【典例】(2020·郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-.
(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.
(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)
(2)
根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.
【解析】(1)由题意,知k1·k2=-,
得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,
故C的方程为+(y-1)2=1(x≠0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).
(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,
联立解得x=,y=,
设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,
将x=,y=
代入得++C=0
整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,
由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,
故直线AB过定点.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
(2020·鹰潭模拟)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,下顶点D(0,-1),且离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)经过点M(1,0)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得∠MPA=∠MPB恒成立?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1,=,
又a2=b2+c2,
所以a2=3,b2=1,
即椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可知,k≠0,设直线l方程为y=k(x-1),
由
消去y整理得,(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
x1+x2=,x1x2=,
由∠MPA=∠MPB得,kPA+kPB=0,所以+=0,
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
+=+
=
=
==0,
所以k[2(3k2-3)-(m+1)·6k2+2m(3k2+1)]=0,
所以k(6k2-6-6mk2-6k2+6mk2+2m)=0,
所以k(-6+2m)=0,
即m=3,所以P(3,0),
所以定点P坐标为(3,0).
考点二　圆过定点问题 
【典例】(2020·咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-.
(1)求动点C的轨迹方程.
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.
(2)
直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理
【解析】(1)设C(x,y).由题意得kAC·kBC=·=-(y≠0).整理,得+=1(y≠0).
故动点C的轨迹方程为+=1(y≠0).
(2)方法一:易知直线l的斜率存在,
设直线l:y=kx+m.
联立得方程组 消去y并整理,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即3+4k2=m2.
设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,
所以x1=x2=.
所以P,即P.
又Q(4,4k+m),
设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,
则由·=0,
得·(4-t,4k+m)=0.
整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.
由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.
令x=4,得Q.
设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,
则由·=0,
得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,
即x0(1-t)+t2-4t+3=0.
由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.
(2020·西安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,A是椭圆的左顶点,F是椭圆的左焦点,=1,直线m:x=-4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)直线l过点F与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线m交于M,N两点,试问:以MN为直径的圆是否过定点,如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
【解析】(1)得,
椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l斜率存在时,设直线l:y=k,P、Q,
直线PA:y=,
令x=-4,得M,
同理N,
以MN为直径的圆:+=0,
整理得:+y2+2ky+4k2=0,①

得x2+8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,②
将②代入①整理得:x2+y2+8x-y+7=0,
令y=0,得x=-1或x=-7.
当直线l斜率不存在时,令P、Q、
M、N,
以MN为直径的圆+y2=9也过、两点,
综上:以MN为直径的圆过两定点、.
考点三　定值问题 
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.
(2)考查数学运算、逻辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.
2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.
3.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.
学
霸
好
方
法
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②变量法:其解题流程为

与长度、角度相关的定值
【典例】(2020·济宁模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点P. (1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:∠AFB的大小为定值.
【解析】(1)因为椭圆C过点,
所以+=1,　①
因为离心率为,所以=,　②
又因为a2=b2+c2,　③
由①②③得a2=3,b2=2,c2=1.
所以椭圆C的方程为:+=1.
(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.
由消去y得
(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,
由Δ=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.
所以xA=-=-=-,
所以yA=kxA+m=-+m==.
所以切点A的坐标为,
又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),
所以·=×2+×(3k+m)=0,
所以∠AFB=90°,即∠AFB的大小为定值.
证明角度为定值的一般方法是什么?
提示:证明角度为定值,即借助向量将角转化为两个向量的夹角,进而转化为平面向量数量积的相关问题求解.
代数式的定值
【典例】已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.
(1)求抛物线C的方程.
(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,
则a=4t,由点P在抛物线上,得at=,
所以a×=,则a2=1,由a>0,得a=1,
所以抛物线C的方程为y2=x.
(2)因为点A在抛物线C上,且yA=1,
所以xA=1.所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,
代入y2=x得y2-my-m-3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=m,y1y2=-m-3,
所以k1k2=·
==-.
所以k1k2为定值.
证明代数式的定值问题时关键点是什么?
提示:代数式的定值问题,只需将代数式坐标化,代入点的坐标关系进行直接运算即可.
1.(2019·青岛模拟)已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
则k1==,k2==,
k1k2==,
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,
可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.
因此k1k2为定值,且该定值为-1.
2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,
解得b2=3,b2=-(舍去).
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线AE的方程为:
y=k(x-1)+,代入+=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.
设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A在椭圆上,
所以xE=,yE=kxE+-k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得xF=,
yF=-kxF++k.
所以直线EF的斜率
kEF===.
即直线EF的斜率为定值,其值为.
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点
(1)求椭圆方程.
(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q两点,求证:直线PQ的斜率是定值.
【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),
则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,
把点A代入椭圆方程得:+=1,
解得: 所以椭圆C方程为+=1.
(2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+,
则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,
把直线AP的方程与椭圆C方程联立得:
(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,
2·x1=,故x1=,
同理可得x2=,
所以
kPQ==
==k·
=k·
=,所以直线PQ的斜率是定值.
2.(2020·宝鸡模拟)已知椭圆C:y2=2px(p>0),点F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1,焦点F到抛物线C的准线的距离为d2,且=.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)若在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点,且+为定值,求点M的坐标.
【解析】(1)由题意知,焦点F的坐标为,则d1==,d2=p,
又=,解得:p=2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)设点M坐标为,点P,Q的坐标分别为,,
显然直线l的斜率不为0.设直线l的方程为x=my+t.
联立方程消去x,并整理得y2-4my-4t=0,
则Δ=16>0且y1+y2=4m,y1y2=-4t.
由==,==.
有+=+=
==,
若+为定值,必有t=2.
所以当+为定值时,点M的坐标为.