2022版江苏高考数学一轮复习课后限时集训:9-函数性质的综合问题-Word版含解析.doc
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函数性质的综合问题 建议用时:45分钟 一、选择题 1.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=ex+e-x B.y=ln(|x|+1) C.y= D.y=x- D [选项A、B显然是偶函数,排除;选项C是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数,不符合题意; 选项D中,y=x-是奇函数,且y=x和y=-在(0,+∞)上均为增函数,故y=x-在(0,+∞)上为增函数,所以选项D正确.] 2.设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-x,则f=( ) A.- B.- C. D. C [因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,所以f=-f=-f.又当0≤x≤1时,f(x)=x2-x,所以f=2-=-,则f=.] 3.已知定义在R上的奇函数f(x)有f+f(x)=0,当-≤x≤0时,f(x)=2x+a,则f(16)的值为( ) A. B.- C. D.- A [由f+f(x)=0,得f(x)=-f=f(x+5), ∴f(x)是以5为周期的周期函数, ∴f(16)=f(1+3×5)=f(1). ∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(0)=1+a=0,∴a=-1. ∴当-≤x≤0时,f(x)=2x-1, ∴f(-1)=2-1-1=-, ∴f(1)=,∴f(16)=.] 4.定义在R上的奇函数f(x)满足f=f(x),当x∈时,f(x)=log(1-x),则f(x)在区间内是( ) A.减函数且f(x)>0 B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0 D.增函数且f(x)<0 D [当x∈时,由f(x)=log(1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)在区间上也单调递增,且f(x)<0.由f=f(x)知,函数的周期为,所以在区间上,函数f(x)单调递增且f(x)<0.] 5.(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( ) A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f C [因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4,作出f(x)的草图,如图,由图可知f<f<f. ] 二、填空题 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________. 6 [∵f(x+4)=f(x-2), ∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6, ∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1). 又f(x)为偶函数,∴f(919)=f(1)=f(-1)=6.] 7.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题: ①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. ①②③ [∵f(x)+f(x+2)=0,∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为4,故①正确;又f(4-x)=f(x),所以f(2+x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,故②正确;由f(x)=f(4-x)得f(-x)=f(4+x)=f(x),故③正确.] 8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f=0,则f(x)>0的解集为________. [由奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f=0,可知函数y=f(x)在(-∞,0)内单调递增,且f=0.由f(x)>0,可得x>或-<x<0.] 三、解答题 9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立. (1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值; (3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值. [解](1)由f=-f, 且f(-x)=-f(x), 所以f(x+3)=f=-f=-f(-x)=f(x), 所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0, 且f(-1)=-f(1)=-2, 又T=3是y=f(x)的一个周期, 所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2. (3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数. 故g(x)=x2+ax+3为偶函数, 所以a=0. 10.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积. [解](1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4. 1.(2019·惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( ) A.(2,+∞) B.∪(2,+∞) C.∪(,+∞) D.(,+∞) B [f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,因为f(1)=2,所以f(-1)=2,所以f(log2x)>2⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<-1⇔x>2或0<x<.故选B.] 2.已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件: ①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有>0恒成立; ②f(x+4)=-f(x); ③y=f(x+4)是偶函数. 若a=f(7),b=f(11),c=f(2 018),则a,b,c的大小关系正确的是( ) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a B [由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数;由②知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2 018)=f(252×8+2)=f(2),b=f(11)=f(3);由③可知函数f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(2)=f(6).因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数,所以f(5)<f(6)<f(7),即b<c<a,故选B.] 3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于x=1对称; ③f(x)在[1,2]上是减函数; ④f(2)=f(0), 其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来). ①②③④ [因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立. 令x=y=0, 所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=-x, 所以f(0)=f(x)+f(-x). 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 因为f(x)在x∈[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数, 所以f(x)在[0,1]上为增函数. 由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2) ⇒f(x+4)=f(x), 所以周期T=4, 即f(x)为周期函数. f(x+2)=-f(x)⇒f(-x+2)=-f(-x). 又因为f(x)为奇函数. 所以f(2-x)=f(x), 所以函数关于x=1对称. 由f(x)在[0,1]上为增函数, 又关于x=1对称, 所以f(x)在[1,2]上为减函数. 由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0).] 4.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数. (1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0; (2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. [解](1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立. 若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1, 因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数, 所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0. 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立. 若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1, 同理可证f(x1)+f(x2)<0. 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立. 综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立. (2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得 即 解得0≤a<1. 故所求实数a的取值范围是[0,1). 1.定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R有f(x+4)=f(x);②f(x)在[0,2]上是增函数;③f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( ) A.f(7)<f(6.5)<f(4.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(4.5)<f(6.5)<f(7) D.f(4.5)<f(7)<f(6.5) D [由①知函数f(x)的周期为4,由③知f(x+2)是偶函数,则有f(-x+2)=f(x+2),即函数f(x)图象的一条对称轴是x=2,由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增,则在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数值越大,又f(7)=f(3),f(6.5)=f(2.5),f(4.5)=f(0.5),由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5),即f(4.5)<f(7)<f(6.5).故选D.] 2.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2). (1)设f(1)=2,求f,f; (2)证明:f(x)是周期函数. [解](1)由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈,知f(x)=f· f≥0,x∈[0,1]. ∵f(1)=f=f·f=2,f(1)=2, ∴f=2. ∵f=f=f·f=,f=2,∴f=2. (2)证明:依题设,y=f(x)关于直线x=1对称, ∴f(x)=f(2-x). 又∵f(-x)=f(x), ∴f(-x)=f(2-x), ∴f(x)=f(2+x), ∴f(x)是定义在R上的周期函数,且2是它的一个周期.- 配套讲稿:
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