2023版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积及应用举例练习苏教版.doc
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1、5.3 平面向量的数量积及应用举例考点一平面向量的数量积的基本概念及运算1.(2018全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.2.(2019泰州模拟)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,则(a+2b)a=_.【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos 45=1+.答案:1+【一题多解】坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,可设a=
2、,b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)a=+=1+.答案:1+3.(2019宜昌模拟)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.B.C.-D.-【解析】选A.=(2,1),=(5,5),由定义知在方向上的投影为|cos =.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二平
3、面向量的数量积在几何中的应用【典例】1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为_.2.已知O,N,P在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,且=,则点O,N,P依次是ABC的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)【解题导思】序号联想解题1看到“=-4”,想到和分别用,来表示2看到三个题设条件,想到ABC的“三心”【解析】1.=32cos 60=3,=+,则=(-)=3+4-9-3=-4=.答案:2.选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;由+=0知,N为ABC的重心;因
4、为=,所以(-)=0,所以=0,所以,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P为ABC的垂心.1.平面向量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:(1)+=0,则点O为三角形的重心.(2)|=|=|,则点O为三角形的外心.(3)=,则点O为三角形的垂心.(4)|+|+|=0,则点O为三角形的内心.1.(2020济宁模
5、拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=(1-)+(1-)+(1+2),R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,因为=(1-)+(1-)+(1+2),所以=2(1-)+(1+2)=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过AB
6、C的重心.考点三 平面向量数量积的综合应用命题精解读考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|=的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.平面向量的模【典例】1.(2019全国
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