2017年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷.doc

2017年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，下列能判断BC∥ED的条件是（　　）

A．= B．= C．= D．=
4．（4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（　　）
A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10
5．（4分）已知非零向量与，那么下列说法正确的是（　　）
A．如果||=||，那么= B．如果||=|﹣|，那么∥
C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||
6．（4分）已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果3x=4y，那么=　　．
8．（4分）已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是　　．
9．（4分）已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c=　　．
10．（4分）已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m=　　．
11．（4分）设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=　　．
12．（4分）在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是　　．
13．（4分）已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是　　．
14．（4分）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=　　．

15．（4分）如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为　　米．

16．（4分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为　　．

17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE=　　．

18．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=　　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．
20．（10分）如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．
（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．
（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=，=，请用向量、表示和（直接写出结果）

21．（10分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．
求（1）⊙D的半径；
（2）CE的长．

22．（10分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．
（1）求背水坡AD的坡度；
（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．

23．（12分）如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．
（1）求证：GF=BF．
（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）
（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；
（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；
（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

25．（14分）已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

2017年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）（2017•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【解答】解：
∵y=﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故选B．

2．（4分）（2017•金山区一模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA==，
故选D．

3．（4分）（2017•金山区一模）如图，下列能判断BC∥ED的条件是（　　）

A．= B．= C．= D．=
【解答】解：∵=，
∴BC∥ED；
故选C．

4．（4分）（2017•金山区一模）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（　　）
A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10
【解答】解：两圆半径差为4，半径和为8，
两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，
所以，4＜O1O2＜8．
故选C．

5．（4分）（2017•金山区一模）已知非零向量与，那么下列说法正确的是（　　）
A．如果||=||，那么= B．如果||=|﹣|，那么∥
C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||
【解答】解：A、如果||=||，与的大小相等，与的方向不一向相同，故A错误；
B、如果||=||，与的大小相等，与不一定平行，故B错误；
C、如果∥，与的大小不应定相等，故C错误；
D、如果=﹣，那么||=||，故D正确；
故选：D．

6．（4分）（2017•阳谷县一模）已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【解答】解：如图所示：
在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，
则BD=CD=BC=2，
∴AD===4＞5，
即d＞r，
∴该圆与底边的位置关系是相离；
故选：A．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（2017•金山区一模）如果3x=4y，那么=　　．
【解答】解：由3x=4y，得x：y=4：3，
故答案为：．

8．（4分）（2017•金山区一模）已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是　x=1　．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
对称轴是：x=1．
故本题答案为：x=1．

9．（4分）（2017•金山区一模）已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c=　﹣3　．
【解答】解：当x=0时，y=c，
∵抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
∴c=﹣3，
故答案为﹣3．

10．（4分）（2017•金山区一模）已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m=　4　．
【解答】解：∵y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），
∴m=﹣×22﹣3×（﹣2）=4，
故答案为4．

11．（4分）（2017•金山区一模）设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=　　．
【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，
故答案为：．

12．（4分）（2017•金山区一模）在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是　y=2（x﹣1）2+1　．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移1个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，1），
所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1．
故答案为y=2（x﹣1）2+1．

13．（4分）（2017•金山区一模）已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是　AB＞2　．
【解答】解：∵⊙A的半径是2，B是⊙A外一点，
∴线段AB长度的取值范围是AB＞2．
故答案为：AB＞2．

14．（4分）（2017•金山区一模）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE=　2　．

【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴DG：AG=1：2，
∴DG：DA=1：3，
∵GE∥AB，
∴=，即=，
∴EG=2，
故答案为：2．

15．（4分）（2017•金山区一模）如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为　6+1.5　米．

【解答】解：在Rt△CDE中，tan∠CDE=，
∴CE=DE•tan∠CDE=6，
∴BC=CE+BE=6+1.5（米），
故答案为：6+1.5．

16．（4分）（2017•金山区一模）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为　　．

【解答】解：连接O1A，O2A，如图所示
设AC=x，O1C=y，则AB=2AC=2x，
∵O1O2=2，
∴O2C=2﹣y，
∵AB⊥O1O2，
∴AC2+O1C2=O1A2，O2C2+AC2=O2A2，
∴，
解得：，
∴AC=，
∴AB=2AC=；
故答案为：．

17．（4分）（2017•金山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE=　2：1　．

【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵DO：BO=1：2，
∴S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，
∵S△AOD：S△ABE=1：3，
∴S△ABC：S△ABE=6：3=2：1，
∴BC：BE=2：1．

18．（4分）（2017•金山区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=　或7　．

【解答】解：分两种情况：
①如图1，过D作DG⊥BC与G，交A′E与F，过B作BH⊥A′E与H，
∵D为AB的中点，
∴BD=AB=AD，
∵∠C=90，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BD=AD=5，
sin∠ABC=，
∴，
∴DG=4，
由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，
∴sin∠DA′E=sin∠A=，
∴，
∴DF=3，
∴FG=4﹣3=1，
∵A′E⊥AC，BC⊥AC，
∴A′E∥BC，
∴∠HFG+∠DGB=180°，
∵∠DGB=90°，
∴∠HFG=90°，
∵∠EHB=90°，
∴四边形HFGB是矩形，
∴BH=FG=1，
同理得：A′E=AE=8﹣1=7，
∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B==；
②如图2，过D作MN∥AC，交BC与于N，过A′作A′F∥AC，交BC的延长线于F，延长A′E交直线DN于M，
∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，
∴∠M=∠MA′F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=∠ACB=90°，
∴四边形MA′FN是矩形，
∴MN=A′F，FN=A′M，
由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，
∴FN=A′M=4，
Rt△BDN中，∵BD=5，
∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，
BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B==7；
综上所述，A′B的长为或7．
故答案为：或7．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）（2017•金山区一模）计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．
【解答】解：原式=×﹣××+=﹣+2=2．

20．（10分）（2017•金山区一模）如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．
（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．
（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=，=，请用向量、表示和（直接写出结果）

【解答】解：（1）∵D是AB中点，
∴AD=AB=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2=AB•AD=10×5=50，
∴AC==5；
（2）如图所示：∵DE∥BC，D是AB的中点，
∴AD=DB，AE=EC，
∵=，=，
∴==，
∴，
∵==，
∴．

21．（10分）（2017•金山区一模）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．
求（1）⊙D的半径；
（2）CE的长．

【解答】解：（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，
在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，
在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，
∴⊙D的半径为3；
（2）过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，
∴BH=EH，
在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，
在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，
∵BH=EH，
∴BE=2BH=，
∴CE=BC﹣BE=5﹣=．

22．（10分）（2017•金山区一模）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．
（1）求背水坡AD的坡度；
（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．

【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥AB于点P，

则四边形CDGP是矩形，
∴CP=DG=2，CD=GP=6，
∵∠B=30°，
∴BP===2，
∴AG=AB﹣GP﹣BP=8+2﹣6﹣2=2=DG，
∴背水坡AD的坡度DG：AG=1：1；

（2）由题意知EF=MN=4，ME=CD=6，∠B=30°，
则BF===4，HN===4，NF=ME=6，
∴HB=HN+NF+BF=4+6+4=10+4，
答：加高后坝底HB的宽度为（10+4）米．

23．（12分）（2017•金山区一模）如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．
（1）求证：GF=BF．
（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∵AD=CD，
∴GF=BF；

（2）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴，
∴，
∵BM=BE，
∴GF=FH，
∵GF∥AD，
∴，
∴，
∴，
∴FO•ED=OD•EF．

24．（12分）（2017•金山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）
（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；
（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；
（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．

【解答】解：（1）把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，，
∴b=﹣1．c=8，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；
（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，
﹣4+4b+c=0①，
∵抛物线的顶点为P，
∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，
∴P（b，b2+c），
∴PH=b2+c，AH=2﹣b，
在Rt△PHA中，tan∠OAP=，
∴=3②，
联立①②得，，
∴（不符合题意，舍）或，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；
（3）∵如图2，抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，
∴C（0，c）（c＞0），
∴OC=c，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AC=，
∵⊙A与⊙C外切，
∴AC=c+2=，
∴c=0（舍）或c=，
把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，
∴b=，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+．

25．（14分）（2017•金山区一模）已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠B+∠BED，
∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，
∵∠EDO=∠B，
∴∠BED=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．

（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．

∵△BDE∽△CFD，
∴=，∵BC=8，BD=3，BE=x，
∴=，
∴FC=，
∵DM∥AB，
∴=，即=，
∴DM=，
∵DM∥AB，
∴∠B=∠MDC，
∴∠MDC=∠C，
∴CM=DM=，FM=﹣，
∵DM∥AB，
∴=，即=，
∴y=（0＜x＜3）．

（3）①当AO=AF时，
由（2）可知AO=y=，AF=FC﹣AC=﹣5，
∴=﹣5，解得x=．
∴BE=
②当FO=FA时，易知DO=AM=，作DH⊥AB于H（如图2中），

BH=BD•cos∠B=3×=，
DH=BD•sin∠B=3×=，
∴HO==，
∴OA=AB﹣BH﹣HO=，
由（2）可知y=，即=，解得x=，
∴BE=．
③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，
由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，
由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，
作EG⊥BC于G，则BG=x，EG=x，
∴GD=，
∴BG+GD=x+=3，
∴x=＞3（舍弃），
综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE=或．

参与本试卷答题和审题的老师有：Ldt；张其铎；lantin；sjzx；2300680618；家有儿女；wd1899；733599；gsls；放飞梦想；szl；知足长乐；tcm123；sks；三界无我；王学峰；星月相随；弯弯的小河（排名不分先后）
菁优网
2017年4月8日
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