高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练44圆与圆的方程理含解析北师大版.doc

考点规范练44　圆与圆的方程
　考点规范练B册第29页　 
基础巩固组
1.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是(　　)

A.30 B.18 C.10 D.5
答案:C
解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为+3=8,最小距离为-3=2,故最大距离与最小距离的和为10.
2.实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案:B
解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,
又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.
3.(2015全国Ⅱ,理7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(　　)
A.2 B.8 C.4 D.10
答案:C
解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,
得解得
则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0得y2+4y-20=0,
设M(0,y1),N(0,y2),
则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,
由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,
故|MN|=|y1-y2|==4.
4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
答案:A
解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),
则解得
因为点Q在圆x2+y2=4上,所以=4,
即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
5.已知圆C的圆心在曲线y=上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8〚导学号92950853〛
答案:C
解析:设圆心的坐标是.
∵圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+,
∴圆C的方程为(x-t)2+=t2+.
令x=0,得y1=0,y2=,∴B点的坐标为;
令y=0,得x1=0,x2=2t,∴A点的坐标为(2t,0),
∴S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|=4,
即△OAB的面积为4.
6.

如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　　　; 
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　　　　. 
答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2　(2)-1-
解析:

(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则△BPC为直角三角形,得|BC|=r==b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),
则kBC=-1.
圆C在点B处的切线方程为y=x++1,
令y=0,得x=--1,即切线在x轴上的截距为-1-.
7.(2015河北衡水中学高三一调)若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是　. 
答案:4-
解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,即∠PMQ=90°,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-.
8.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的方程为　. 
答案:(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)
解析:设C的坐标为(x,y),由题意可知=0,
即(x+1,y)·(x-3,y)=0,
整理得(x-1)2+y2=4.
又C与A,B构成三角形,
所以x≠3,且x≠-1,
故C的方程为(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).
9.根据下列条件,求圆的方程:
(1)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).
解:(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.①
又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0,②
1+9-D+3E+F=0,③
解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
(2)(方法一)如图,设圆心(x0,-4x0),
依题意得=1,则x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(方法二)设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.〚导学号92950854〛
10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2,
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0),由已知得.
又P在双曲线y2-x2=1上,从而得
由
此时,圆P的半径r=.
由此时,圆P的半径r=.
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
能力提升组
11.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为(　　)
A.3x+4y+15=0 B.x=-3或y=-
C.x=-3 D.x=-3或3x+4y+15=0〚导学号92950855〛
答案:D
解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线方程为3x+4y+15=0.
12.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.5-4 B.-1
C.6-2 D.〚导学号92950856〛
答案:A
解析:圆C1,C2的图像如图所示.

设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1'(2,-3),连接C1'C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1'C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4,故选A.
13.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标;
(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.
解:(1)设=(x,y),
由|AB|=2|OA|,=0,得
解得
若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.
∴舍去,即=(6,8).
(2)圆x2-6x+y2+2y=0,
即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C(3,-1),半径r=,∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),
∴直线OB的方程为y=x.
设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),
则解得
∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.〚导学号92950857〛

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