2022届中考数学总复习(20)三角形-精练精析(2)及答案解析.docx

图形的性质——三角形2
一．选择题〔共9小题〕
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，那么∠ABD=〔　　〕
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，那么∠C的度数为〔　　〕
A．30° B．40° C．45° D．60°
3．△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有〔　　〕
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，那么∠B的度数为〔　　〕
A．30° B．36° C．40° D．45°
5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，那么AB边的取值范围是〔　　〕
A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm
6．等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+〔2a+3b﹣13〕2=0，那么此等腰三角形的周长为〔　　〕
A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10
7．等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，那么这个三角形的周长为〔　　〕
A．21 B．20 C．19 D．18
8．如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，假设MN=2，那么OM=〔　　〕
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，那么以下说法错误的选项是〔　　〕
A．∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED
二．填空题〔共7小题〕
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=　_________　．
11如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，假设AB=m，BC=n，那么△DBC的周长为　_________　．
12．等腰三角形的两边长分别为1和2，其周长为　_________　．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为　_________　．
14．假设等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，那么它的周长为　_________　cm．
15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，那么∠CBD=　_________　．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，那么∠DCE的大小为　_________　〔度〕．
三．解答题〔共8小题〕
17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
〔1〕求证：△ABM≌△BCN；
〔2〕求∠APN的度数．
18．如图，：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
19．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
21．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．
22．〔1〕如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
〔2〕如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，假设BM=1，CN=3，求MN的长．
23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：
〔1〕BH=DE．
〔2〕BH⊥DE．
24．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
图形的性质——三角形2
参考答案与试题解析
一．选择题〔共9小题〕
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，那么∠ABD=〔　　〕
A． 30° B．45° C．60° D． 90°
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣30°〕=75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC=BD，
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
应选：B．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，那么∠C的度数为〔　　〕
A． 30° B．40° C．45° D． 60°
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
应选：B．
点评： 此题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
3．△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有〔　　〕
A． 5个 B．4个 C．3个 D． 2个
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 由条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．
解答： 解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个．
应选：C．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解答此题时要进行屡次的尝试验证．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，那么∠B的度数为〔　　〕
A． 30° B．36° C．40° D． 45°
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，
解答： 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
应选：B．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．
5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，那么AB边的取值范围是〔　　〕
A． 1cm＜AB＜4cmB．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D． 4cm＜AB＜10cm
考点： 等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．
分析： 设AB=AC=x，那么BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
解答： 解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=x cm，那么BC=〔20﹣2x〕cm，
∴，
解得5cm＜x＜10cm．
应选：B．
点评： 此题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
6．等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+〔2a+3b﹣13〕2=0，那么此等腰三角形的周长为〔　　〕
A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D． 7或10
考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．
分析： 先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．
解答： 解：∵|2a﹣3b+5|+〔2a+3b﹣13〕2=0，
∴，
解得，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，那么周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，那么周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．
应选：A．
点评： 此题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是根底知识要熟练掌握．
7．等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，那么这个三角形的周长为〔　　〕
A． 21 B．20 C．19 D． 18
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解．
解答： 解：8+8+5
=16+5
=21．
故这个三角形的周长为21．
应选：A．
点评： 考查了等腰三角形两腰相等的性质，以及三角形周长的定义．
8．如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，假设MN=2，那么OM=〔　　〕
A． 3 B．4 C．5 D． 6
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
应选：C．
点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，那么以下说法错误的选项是〔　　〕
A． ∠CAD=30° B．AD=BD C．BD=2CD D． CD=ED
考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．
解答： 解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根据不能推出CD=DE，
即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；
应选：D．
点评： 此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二．填空题〔共7小题〕
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=　3　．
考点： 角平分线的性质；勾股定理．
分析： 过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC•CD+AB•DE=AC•BC，
即×6•CD+×10•CD=×6×8，
解得CD=3．
故答案为：3．
点评： 此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
11．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，假设AB=m，BC=n，那么△DBC的周长为　m+n　．
考点： 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
分析： 根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，推出∠A=∠ABD=40°，求出∠ABC=∠C，推出AC=AB=m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC，代入求出即可．
解答： 解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°，
∴∠ABC=∠C，
∴AC=AB=m，
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，
故答案为：m+n．
点评： 此题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
12．等腰三角形的两边长分别为1和2，其周长为　5　．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 根据题意，要分情况讨论：①1是腰；②1是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解答： 解：①假设1是腰，那么另一腰也是1，底是2，但是1+1=2，故不能构成三角形，舍去．
②假设1是底，那么腰是2，2．
1，2，2能够组成三角形，符合条件．成立．
故周长为：1+2+2=5．
故答案为：5．
点评： 此题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为　63°或27°　．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
解答： 解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．
①假设是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，
底角=〔180°﹣54°〕÷2=63°；
②假设三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，
此时底角=〔180°﹣126°〕÷2=27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
14．假设等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，那么它的周长为35　cm．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，那么两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，那么∠CBD=　18°　．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD⊥AC于点D，
∴∠CBD=90°﹣72°=18°．
故答案为：18°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，解答此题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
16．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，那么∠DCE的大小为　45　〔度〕．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设∠DCE=x，∠ACD=y，那么∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+〔90°﹣y〕+〔x+y〕=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
解答： 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，那么∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+〔90°﹣y〕+〔x+y〕=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
三．解答题〔共8小题〕
17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
〔1〕求证：△ABM≌△BCN；
〔2〕求∠APN的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．
专题： 几何综合题．
分析： 〔1〕利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
〔2〕利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
解答： 〔1〕证明：∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN〔SAS〕；
〔2〕解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
18．如图，：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
解答： 证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM〔SAS〕，
∴MD=ME．
点评： 此题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
19．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
解答： 证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF〔ASA〕，
∴AE=BF．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，那么AB=BF．
解答： 证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，
，
∴△FBD≌△ABC〔AAS〕，
∴AB=BF．
点评： 此题考查了全等三角形的判定和性质，是根底知识要熟练掌握．
21．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，那么对应角相等：∠A=∠E．
解答： 证明：如图，∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
∴△ABC≌△EDB〔SAS〕，
∴∠A=∠E．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．〔1〕如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
〔2〕如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，假设BM=1，CN=3，求MN的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 〔1〕证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；
〔2〕过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE〔SAS〕推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN〔SAS〕，故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．
解答： 〔1〕证明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF〔SAS〕，
∴EF=FG；
〔2〕解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
∴△ABM≌△ACE〔SAS〕．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN〔SAS〕．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
点评： 此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．
23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：
〔1〕BH=DE．
〔2〕BH⊥DE．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 〔1〕根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边〞证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
〔2〕根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
解答： 证明：〔1〕在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE〔SAS〕，
∴BH=DE；
〔2〕∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
又∵∠CGB=∠MGD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是此题的难点．
24．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，再利用“边角边〞证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．
解答： 证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP〔SAS〕，
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．