初中数学等腰三角形及直角三角形有关定理的证明与运用概要.pptx
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1、初中数学初中数学一一.定理及其证明定理及其证明二二.定理的运用定理的运用.三三.思考题思考题.一一.定理及其证明定理及其证明(一一)关于等腰三角形关于等腰三角形1.1.定义定义:有两边相等的三角形叫等腰三角形有两边相等的三角形叫等腰三角形.2.2.判定判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形.ABC即:在ABC中,若B=C,则AB=AC.在同一个三角形中,等角对等边等角对等边.D3.3.性质性质:(1).(1).等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等(等边对等角等边对等角)(2).(2).等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底边上的底边上的高高,底
2、边的中线底边的中线,三线合一三线合一.(3)(3)有一个角是有一个角是6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形(二二)关于直角三角形关于直角三角形.1.1.勾股定理勾股定理:在直角三角形中在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平和斜边的平方等于两直角边的平和.如图;在RtABC中,C=90.则证明(法一):(古希腊数学家毕达哥拉斯证法)以三角形两直角边的和a+b为边作正方形DEFH.在四条边上分别截取:EQ=FR=HM=DP=a连结PQ,QR,RM,MP,可证所得四个三角形全等,所以四边形PQRM为正方形.S大正=4S+S小正证法证法(二二):():(中国古代数学家赵爽中国古
3、代数学家赵爽的证法的证法)以直角三角形的斜边为以直角三角形的斜边为边作正方形边作正方形,向里作四个与原直向里作四个与原直角三角形全等的三角形角三角形全等的三角形(略略)证法证法(三三):():(美国第美国第2020任任总统伽菲尔德的证法总统伽菲尔德的证法)2.(2.(角的关系角的关系)直角三角形两锐角余直角三角形两锐角余.如图如图:以以c c为直角边作等腰直为直角边作等腰直角三角形角三角形DEF,DEF,分别以分别以DF,DEDF,DE为为斜边作两个与原三角形全等斜边作两个与原三角形全等的直角三角形的直角三角形NDFNDF和和MED,MED,首先可证首先可证N,D,MN,D,M三点共线三点共线
4、.再利用面积可证勾股定理再利用面积可证勾股定理.3.(3.(边角关系边角关系),),直角三角形中直角三角形中,30,30角角所对的直角边是斜边的一半所对的直角边是斜边的一半.ABC在RtABC中,C=90,若B=30,则AC=ABD3030证明:(讲解略写)4.4.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.证明:(两种证法:讲解略写)EF二二.运用运用:例例1.如图如图,在在ABC中中,C=90D,E是是AB边上两点边上两点,且且AE=AC,BD=BC,则则DCE等于等于(A).30 (B).45 (C).60 (D).与A,B的度数有关解:AE=AC12同理:注注
5、:通过此题熟练等腰三通过此题熟练等腰三角形三个角之间的关系角形三个角之间的关系.例例2:已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC中中,AB=AC=1,将三角形沿斜将三角形沿斜边上的高边上的高AD对折对折,得三角形得三角形ADC,再沿斜边上的高再沿斜边上的高DE对折对折,.依次进行依次进行,则对折四次后的三角形直角边长等于则对折四次后的三角形直角边长等于解:对折后的三角形与原三角形都是等腰直角三角形,它们都是相似三角形,对折后的三角形的面积总是前一次面积的一半,对折四次后三角形的面积是原面积的 相似三角形的面积比等于相似比的平方,第四次后的等腰直角三角形的直角边为注注:相似三角形的面积比等于相
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