古典概率模型和几何概率模型.pptx
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1、11.4 1.4 古典概率模型古典概率模型和几何概率模型和几何概率模型 如何确定事件的概率是如何确定事件的概率是概率论中的基本问题概率论中的基本问题 古典概率模型和几何概古典概率模型和几何概率模型是概率论中两种最基率模型是概率论中两种最基本的概率模型,在这两种概本的概率模型,在这两种概率模型下计算事件的概率是率模型下计算事件的概率是本节的主要任务本节的主要任务2一、古典概率模型一、古典概率模型 1 1 只有有限多个基本事件,并记它们为只有有限多个基本事件,并记它们为1,2,,n ;一类最简单的随机试验具有下述特征一类最简单的随机试验具有下述特征:2 2 每个基本事件发生的概率相等,即每个基本事
2、件发生的概率相等,即 这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的这种可等能的概率模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象,谓之为主要研究对象,谓之为古典概率模型古典概率模型,简称为,简称为古古典概型典概型3 古典概型在概率论中有很重要的地位,一方古典概型在概率论中有很重要的地位,一方面是因为它比较简单,许多概念既直观又容易理面是因为它比较简单,许多概念既直观又容易理解,另一方面是因为它概括了许多实际问题,有解,另一方面是因为它概括了许多实际问题,有广泛的应用广泛的应用 对于古典概型下的任何事件对于古典概型下的任何事件A A,若,若A A中所包含中所包含4求概率问题转化为求概率问题转化为计数问题计
3、数问题.排列组合排列组合是计算古典概率的重要工具是计算古典概率的重要工具.基本计数原理基本计数原理1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m类方式,类方式,第一类方式有第一类方式有n1种方法,种方法,第二类方式有第二类方式有n2种方法种方法,第第m类方式有类方式有nm种方法种方法.则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.特点特点:一步完成一步完成5 例如,某人要从甲地到乙地去例如,某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地 可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船,共有几种方法乘坐不同班次的
4、火车和轮船,共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是6基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤,个步骤,第一个步骤有第一个步骤有n1种方法,种方法,第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法.特点:多步完成特点:多步完成 例如例如,A地到地到B地有两种走法地有两种走法,B地到地到C地有三种地有三种走法走法,C地地 到到 D地有四种走法地有四种走法,则则 A地到地到 D 地共有地共有种走法种走法.7特别特别,k=n时称时称全排列全排列排列、组合的定义及计算
5、公式排列、组合的定义及计算公式1.排列排列:从从n个元素中取个元素中取 k个个不同不同元素的排列数为:元素的排列数为:阶乘阶乘 若允许重复若允许重复,则从则从n个元素中取个元素中取 k个元素的个元素的排列数为:排列数为:注意注意82.组合组合:从从n个元素中取个元素中取 k个元素的组合数为:个元素的组合数为:推广推广:n个元素分为个元素分为s组,各组元素数目分别为组,各组元素数目分别为r1,r2,rs的分法总数为的分法总数为9例例7 7 在盒子里有在盒子里有1010个相同的球,分别标上号码个相同的球,分别标上号码1 1,2 2,10 10。从中任取一球,求此球的号码为偶数。从中任取一球,求此球
6、的号码为偶数的概率。的概率。解解 设设m表示所取的球的号码为表示所取的球的号码为m(m=1,2,=1,2,10),10),则则试验的样本空间为试验的样本空间为S=1,2,10,因此基本事件总因此基本事件总数数n=10。又设又设A表示表示“所取的球号码为偶数所取的球号码为偶数”这一事件,则这一事件,则A=2,4,6,8,10,所以所以A中含有中含有k=5 5个样本点,故个样本点,故 10古典概型的基本类型举例古典概型的基本类型举例古典概率的计算关键在于计算基本事件总古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法
7、,由于样本空间的设计可由各种不同的方法,因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。多样。但可归纳为如下几种基本类型。111、抽球问题、抽球问题 例例8 8 设盒中有设盒中有3个白球,个白球,2个红球,现从盒中任抽个红球,现从盒中任抽2个球,求取到一红球一白球的概率。个球,求取到一红球一白球的概率。解解 设设A取到一红球一白球取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。12 一般地,设盒中有一般地,设盒中有N个球,其中有个球,其中有M个白个白球,现从中任抽球,现从中任抽n个球,则这个球,则这n个球中恰有个球中恰有k个个白球的
8、概率是白球的概率是13例例9 9 某箱中装有某箱中装有m+n个球,其中个球,其中m个白球,个白球,n个黑球。个黑球。(1)(1)从中任意抽取从中任意抽取r+s个球,试求所取的球中恰好有个球,试求所取的球中恰好有r个白球和个白球和s个黑球的概率;个黑球的概率;解解 试验试验E:从从m+n球中取出球中取出r+s个,每个,每r+s个球构成个球构成E的一个基本事件,不同的基本事件总数为的一个基本事件,不同的基本事件总数为设事件设事件A:“所取的球中恰好有所取的球中恰好有r个白球和个白球和s个黑球个黑球”,总共有多少个基本事件呢?总共有多少个基本事件呢?所以,事件所以,事件A发生的概率为发生的概率为14
9、(2)(2)从中任意接连取出从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球,如果每一个球,如果每一个球取出后不还原,试求最后取出的球是白球的概率。个球取出后不还原,试求最后取出的球是白球的概率。解解 试验试验E:从从m+n球中接连地不放回地取出球中接连地不放回地取出k+1个个球每球每k+1个排好的球构成个排好的球构成E的一个基本事件,不同的一个基本事件,不同的基本事件总数为的基本事件总数为 设事件设事件B:“第第k+1个个取出的球是白球取出的球是白球”,由于第由于第k+1个球是白球,可先从个球是白球,可先从m个白球中取一个留个白球中取一个留下来作为第下来作为第k+1个球,一共有个球,一共有 其余其
10、余k个球可以是余下的个球可以是余下的m+n-1-1个球中任意个球中任意k个球的排个球的排列,总数为列,总数为种保留下来的取法,种保留下来的取法,事件事件B所包含的基本事件总数为所包含的基本事件总数为15所以最后所取的球是白球的概率为所以最后所取的球是白球的概率为注:注:P(B)与与k无关,即不论是第几次抽取,抽到白球的无关,即不论是第几次抽取,抽到白球的概率均为概率均为 16 在实际中,有许多问题的结构形式与抽球在实际中,有许多问题的结构形式与抽球问题相同,把一堆事物分成两类,从中随机地问题相同,把一堆事物分成两类,从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次,每次抽一个,抽取若干个或不放回地抽若干
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