弯曲应力平面弯曲的概念.pptx
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1、材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13 3、工程实例、工程实例材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34、平面弯曲:杆发生弯曲变形后,轴线仍然和外力、平面弯曲:杆发生弯曲变形后,轴线仍然和外力 在同一平面内。在同一平面内。平面弯曲亦称为对称弯曲平面弯曲亦称为对称弯曲纵向对称面纵向对称面MF1F2q材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 对称弯曲对称弯曲(平面弯曲平面弯曲)时时梁变形后轴线所在平面梁变形后轴线所在平面与外力所在平
2、面相重合与外力所在平面相重合材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5 特定条件下,发生非对称弯曲的梁变形后其轴特定条件下,发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合,因而也属线所在平面也会跟外力所在平面相重合,因而也属于于平面弯曲平面弯曲。梁不具有纵对称面;梁不具有纵对称面;梁有纵对称面,但外力没有作用梁有纵对称面,但外力没有作用在纵对称面内,从而变形后轴线所在纵对称面内,从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。在平面与梁的纵对称面不一致。5 5、非对称弯曲、非对称弯曲yzFzyFqxq材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院6二、梁的
3、计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂,为了便于分析计算,应进行必要的简化,抽象出为了便于分析计算,应进行必要的简化,抽象出计算简图。计算简图。1、构件本身的简化、构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2、载荷简化、载荷简化 作用于梁上的载荷(包括支座约束力)可简化作用于梁上的载荷(包括支座约束力)可简化为三种类型:集中力、集中力偶和分布载荷。为三种类型:集中力、集中力偶和分布载荷。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院7梁载荷的简化梁载荷的简化均匀分布载荷均匀分布载荷线性(非均匀)线性(
4、非均匀)分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶 M分布载荷分布载荷载荷集度载荷集度 q(N/m)qq(x)F集中力集中力MM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院8固定铰支座固定铰支座 2个约束,个约束,1个自由个自由度。如:桥梁下的固定度。如:桥梁下的固定支座,止推滚珠轴承等。支座,止推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束,个约束,2个自由度。个自由度。如:桥梁下的辊轴支座,如:桥梁下的辊轴支座,滚珠轴承等。滚珠轴承等。FAxFAyFA3、支座简化、支座简化材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9固定端固定端 3个约束,个约束,0个自由个自由度。如:游泳池
5、的跳水度。如:游泳池的跳水板支座,木桩下端的支板支座,木桩下端的支座等。座等。FAxFAyMA4、梁的三种基本形式、梁的三种基本形式q(x)分布力分布力悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁M集中力偶集中力偶材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院105、静定梁与静不定梁、静定梁与静不定梁静定梁:由静力学方程可求出全部约束力,如上述静定梁:由静力学方程可求出全部约束力,如上述 三种基本形式的静定梁。三种基本形式的静定梁。静不定梁:由静力学方程不可求出全部约束力。静不定梁:由静力学方程不可求出全部约束力。外伸梁外伸梁q 均布力均布力 集中力集中力F材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土
6、木建筑学院11一、弯曲内力一、弯曲内力已知:如图,已知:如图,F,a,l。求:距求:距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FFAyFAxFBAB解:解:求外力求外力4.2 4.2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩FalAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12ABmmx求内力求内力截面法截面法AFAyFSMM 弯曲构件弯曲构件 内力内力剪力剪力 FS弯矩弯矩 M1、弯矩:、弯矩:M 构件受弯时,作用面垂直于构件受弯时,作用面垂直于横截面的内力偶矩。横截面的内力偶矩。CCFAyFAxFBFSFBFFB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院132、剪力:、剪力:
7、FS 构件受弯时,作用线平行于横截面的内力。构件受弯时,作用线平行于横截面的内力。3、内力的正负规定内力的正负规定剪力剪力FS:绕研究对象顺时针转为正;反之为负。绕研究对象顺时针转为正;反之为负。弯矩弯矩M:使梁变成凹形的为正弯矩;使梁变成凸形的为负弯矩。:使梁变成凹形的为正弯矩;使梁变成凸形的为负弯矩。FS(+)M(+)M(+)M()M()FS(+)FS()FS()材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院144、内力大小的求法:(按内力大小的求法:(按“设正法设正法”画画图)图)某截面剪力的大小等于该截面一侧(左或右)某截面剪力的大小等于该截面一侧(左或右)梁上所有外力的代数
8、和。即梁上所有外力的代数和。即 对截面左侧梁而言,向上的外力对截面左侧梁而言,向上的外力引起正的剪力,向下的外力引起引起正的剪力,向下的外力引起负的剪力。右侧则相反负的剪力。右侧则相反q1FAMCq2 F1FSMCFSFB F2q3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对 此截面形心之矩的代数和。此截面形心之矩的代数和。向上的外力引起正的弯矩,向上的外力引起正的弯矩,向下的外力引起负的弯矩。向下的外力引起负的弯矩。q1FAMCq2 F1FSM1MCFSFB F2q3M2截面左侧梁上顺时针转向的力
9、偶引起截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起正的弯矩,逆正的弯矩,逆时针转向的力偶引起时针转向的力偶引起负的弯矩。右侧则相反负的弯矩。右侧则相反材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16计算一个截面的内力,可直接根据方程由计算一个截面的内力,可直接根据方程由外力写出结果,而不必逐个作截面画受力外力写出结果,而不必逐个作截面画受力图再列方程求解。图再列方程求解。求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧,求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧,都是向上的外力引起正的弯矩,向下的外都是向上的外力引起正的弯矩,向下的外力引起负的弯矩,与求剪力不同。力引起负的弯矩,与求剪力不同。注意注意材料力学材
10、料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-1与与2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解:解:1、求约束力、求约束力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 内力图内力图1、内力方程:内力与截面位置坐标、内力方程:内力与截面位置坐标(x)间的函数关系式。间的函数关系式。剪力方程剪力方程FS=FS
11、(x)弯矩方程弯矩方程M=M(x)用方程表达内力沿轴线的变化规律,其优缺点是用方程表达内力沿轴线的变化规律,其优缺点是 用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程;用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程;方程依赖于坐标系,即同一段梁用不同坐标系写出的方程依赖于坐标系,即同一段梁用不同坐标系写出的 方程不同。且内力变化规律不直观,不方便。方程不同。且内力变化规律不直观,不方便。2、剪力图和弯矩图:、剪力图和弯矩图:剪力图剪力图FS=FS(x)的图线表示的图线表示弯矩图弯矩图M=M(x)的图线表示的图线表示将内力方程画成图像,观察内力变化规律既唯一又直观。将内力方程画成图像,观察内力变化规律既唯一又直观。材料
12、力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19解:解:1 1、求约束力、求约束力2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程x 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。BlAqFAM(x)FS(x)xAqFBFA材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20BlAq3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图ql28l/2M图图 ql 2FS图图材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21解:解:1 1、求约束力、求约束力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分
13、两段列出需分两段列出图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。作用。试作梁的剪力图和弯矩图。xBlAF abCFBFA材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22xBlAF abCFBFAAC段段M(x)FAxAFS(x)CB段段FBBFS(x)M(x)材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23FS 图图FblFalM图图FablF 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlAabC材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院24FSM 由剪力、弯矩图知:由剪力、弯矩图知:在集中力作用点,弯矩图在集中力作用点,弯矩
14、图发生转折,剪力图发生突发生转折,剪力图发生突变,其突变值等于集中力变,其突变值等于集中力的大小,从左向右作图,的大小,从左向右作图,突变方向沿集中力作用的突变方向沿集中力作用的方向。方向。FabClAB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25M 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为M 的集中力偶作用。的集中力偶作用。作梁的剪力图和弯矩图。作梁的剪力图和弯矩图。BlACab2 2、列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程解解:1:1、求约束力、求约束力FA FB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26剪力方程无需分段:剪力方程无需分段:弯矩方程弯矩
15、方程两段:两段:AC段段:M(x)xAFAFS(x)FA FBBlACabxMCB段段:BFS(x)M(x)FB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27FS图图lMlM图图MalMb3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BlACabM材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院28abClABMFSM 由剪力、弯矩图知:由剪力、弯矩图知:在集中力偶作用点,弯矩在集中力偶作用点,弯矩图发生突变,其突变值为图发生突变,其突变值为集中力偶的大小。集中力偶的大小。结构对称、外力对称时,结构对称、外力对称时,剪力图为反对称,弯矩图为正对称。剪力图为反对称,弯矩图为正对称。
16、结构对称、外力反对称时,结构对称、外力反对称时,剪力图为正对称,弯矩图为反对称。剪力图为正对称,弯矩图为反对称。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29 3、FS,M 图图(剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图)的要求的要求 与梁轴对齐画,并注明内力性质;与梁轴对齐画,并注明内力性质;正的剪力画在梁的上方,负的剪力正的剪力画在梁的上方,负的剪力 画在梁的下方;画在梁的下方;弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧;弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧;标明特殊截面内力数值;标明特殊截面内力数值;标明内力的正负号;标明内力的正负号;注明内力单位。注明内力单位。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南
17、大学土木建筑学院30三、三、剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx 微段分析,由微段分析,由 Fy=0=0:dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA剪力图上某点切线的斜率等剪力图上某点切线的斜率等于该点处载荷集度的大小于该点处载荷集度的大小q(x)向上为正向上为正y材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院31弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。FS(x)+dFS(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dxA弯矩与载荷集度的关系是:弯矩与载荷集度的关
18、系是:材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32 剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系由微分关系积分得由微分关系积分得条件:条件:x1到到x2间无集中力偶作用。间无集中力偶作用。条件:条件:x1到到x2间无集中力作用。间无集中力作用。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外外力力FS图图特特征征M图图特特征征无外力段无外力段q=0水平直线水平直线xFSFS 0FSFS 0q0材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34剪力图和弯矩图的定性分析剪力图和弯矩图
19、的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35解解:特殊点特殊点端点;端点;分区点(外力变化点),分区点(外力变化点),即集中力(力偶)作用点,即集中力(力偶)作用点,分布力开始和结束点等;分布力开始和结束点等;驻点驻点(剪力为零,弯矩取剪力为零,弯矩取极值极值)。aaqaqA四、作内力图的简捷法四、作内力图的简捷法利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。用简捷作图法画图示梁的内力图。用简捷作图法画图示梁的内力图。材料力学材料力学中南大学土木建筑
20、学院中南大学土木建筑学院36左端点:左端点:线形:根据线形:根据;及集中载荷点的规律确定及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A:右端点:右端点:FSqa2MaaqaqAqa2qa材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院37 用简捷法画简支梁的内力图用简捷法画简支梁的内力图(AB=BC=CD=a)。解:求约束力解:求约束力A点右:点右:B点左:点左:B点右:点右:C点左:点左:M 的驻点的驻点:C点右:点右:D点左:点左:FSqa/2qa/2qa/23qa2/8qa2/2Mqa2/2qa2/2Dqqaqa2ABCFAFD材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院38
21、外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示,作该梁内力图承受荷载如图所示,作该梁内力图解:解:1、求约束力、求约束力DABCFS+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院39B3aACMe=3qa2aq作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图解:解:1 1、支座约束力为:、支座约束力为:FAFBFS图图5qa/3qa/38a/34qa2/3M图图qa2/185qa2/3材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院401m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=
22、50kN绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图MA FAyFBy813129FS图图(kN)1.45 m 96.515.53155345M图图(kNm)材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41适用条件:所求参数(内力、应力、位移)必须与荷载满适用条件:所求参数(内力、应力、位移)必须与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。五、按叠加原理作弯矩图五、按叠加原理作弯矩图1、叠加原理:、叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用
23、于结构而引起内力的代数和。作用于结构而引起内力的代数和。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院422、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤:步骤:分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;将其相应的纵坐标叠加即可(注意:不是图形将其相应的纵坐标叠加即可(注意:不是图形的简单拼凑)。的简单拼凑)。3、对称性与反对称性的应用、对称性与反对称性的应用 对称结构在对称载荷作用下,对称结构在对称载荷作用下,FS图反对称,图反对称,M图对称;图对称;对称结构在反对称载荷作用下,对称结
24、构在反对称载荷作用下,FS图对称,图对称,M图反对称。图反对称。材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院43 M1+=+M2+按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a,力,力P作用在梁作用在梁AB的中点处)。的中点处)。qFABFB=AAB+qM+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44FLL0.5F0.5F0.5FFLLL0.5FFFFLLL00.5FLM20.5FL+M1+0.5FLFLM+材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院452FCl/2ABFl/2l/2M(1)选定外力的不连续点)选定外力的不连续点(如如集中力、集中力偶
25、的作用点,集中力、集中力偶的作用点,分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控为控制截面,求出控制截面的弯矩制截面,求出控制截面的弯矩值。值。(2)分段画弯矩图。当控)分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时,该段弯制截面之间无荷载时,该段弯矩图是直线图形。当控制截面矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时,用叠加法作该之间有荷载时,用叠加法作该段的弯矩图。段的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法,将梁弯矩图的一般叠加法,将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下:材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图 设简支梁同
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