浙大概率论与数理统计随机变量及其分布.pptx
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1、 在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表示事件,并视之为样本空间表示事件,并视之为样本空间S S的子的子集;针对等可能概型,主要研究了用排集;针对等可能概型,主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。列组合手段计算事件的概率。本章,将引入随机变量表示随机事件,本章,将引入随机变量表示随机事件,以便采用高等数学的方法描述、研究随以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。机现象。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布Random Variable and Distribution第一节第一节 随机变量随机变量第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随
2、机变量及其分布律第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布小结小结主要内容第一节第一节 随机变量的概念随机变量的概念随机变量概念的引入随机变量概念的引入引入随机变量的意义引入随机变量的意义随机变量的分类随机变量的分类 (1)、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数)个数).例如,掷一颗骰子面上出现的点数;例如,掷一颗骰子面上出现的点数;9月份南宁的最高温度;月份南宁的最高温度;每天进入四号教学楼的人数;每天进入四号教学楼的人
3、数;一、随机变量概念的引入一、随机变量概念的引入(2)(2)、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也也就是说,就是说,把试验结果数值化把试验结果数值化.例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况考察其正面和反面朝上的情况可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 示示“反面朝上反面朝上”结论结论:不管试验结果是否与数值有关,我们都可以通过引不管试验结果是否与数值有关,我们都可以通过引入某个变量,使试验结果与数建立了对应关系入某个变量,使试验
4、结果与数建立了对应关系这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数单值函数.定义域为样本空间定义域为样本空间S,取值为实数,取值为实数.e.X(e)R这即为所谓的这即为所谓的随机变量随机变量(1 1)它是一个变量)它是一个变量,它的取值随试验结果而改变它的取值随试验结果而改变(2)由于试验结果的出现具有一定的概率,故随)由于试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率的概率.定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=S=e e.X=X(e)是是定义在样本空
5、间定义在样本空间S上的上的实值单值实值单值函数函数.称称X=X(e)为为随机变量随机变量.简记为简记为 r.v.说明说明(3)(3)随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N X,Y,Z,W,N 等表等表示示,而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写一般采用小写字母字母 x,y,z,w,nx,y,z,w,n等等.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后,引入随机变量后,随机试验中的各种事随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的关系式表达出来件,就可以通过随机变量的关系式表达出来.对对随机
6、现象统计规律的研究,就由对事件及事件概随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究率的研究转化为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示,它是一个随机变量表示,它是一个随机变量.事件事件A收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫B没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 而有而有 PA=PX=1PA=PX=1PB=PX=0PB=PX=0我们将研究两类随机变量:我们将研究两
7、类随机变量:三、随机变量的分类三、随机变量的分类 这两种类型的随机变量因为都是随机变量,这两种类型的随机变量因为都是随机变量,自然有很多相同或相似之处;但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处;但因其取值方式不同,又有其各自的特点同,又有其各自的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量定义离散型随机变量定义离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律几种常见分布几种常见分布定义定义1:若随机变量:若随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是有限多个有限多个或或可列无限多个可列无限多个
8、,则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量.一、离散型随机变量定义一、离散型随机变量定义例如:例如:1、设、设X表示抛三次硬币的试验中出现正表示抛三次硬币的试验中出现正 面朝上的次数面朝上的次数.X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3.2、设、设Y表示表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数急救电话台一昼夜收到的呼次数则则Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,X和和Y都是离散型随机变量都是离散型随机变量其中其中 (k=1,2,)满足:满足:k=1,2,(1)(2)定定义义2:设设 xk(k=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取的一切可能值,称取的一切可能值,称为为离散型
9、随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律二、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律也可以用列表法表示也可以用列表法表示X离散型随机变量可完全由其分布律来刻划离散型随机变量可完全由其分布律来刻划即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定些值的概率唯一确定解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,a0,从中解得从中解得即即例例1设随机变量设随机变量X的分布律为:的分布律为:k=0,1,2,试确定常
10、数试确定常数a.例例2 2 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(00 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作 X().分布律的验证 由于可知对任意的自然数 k,有 又由幂级数的展开式,可知所以是分布律返回主目录服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X;交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒
11、的数目泊松分布的应用泊松分布的应用:体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布,都体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布,都可以看作泊松分布可以看作泊松分布,其参数其参数 可以由观测值的平均值求可以由观测值的平均值求出。出。对于离散型随机变量,如果知道了它的分布律对于离散型随机变量,如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意在这个意义上,我们说义上,我们说 这一节,我们介绍了离散型随机变量及其分布这一节,我们介绍了离散型随机变量及其分布律,并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重律,并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变
12、量要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、四、小结小结第三节 随机变量的分布函数随机变量分布函数的定义随机变量分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质离散型随机变量分布函数的求法离散型随机变量分布函数的求法 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的概率概率.设设 X 是一个是一个 随机变量随机变量,称称为为 X 的分布函数的分布函数,记作记作 F(x).定义定义2.2:1、分布函数的定义、分布函数的定义(1)分布函数是一个普通的函数
13、,正是通过它,我们可以用分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们可以用高等数学的工具来研究随机变量高等数学的工具来研究随机变量.(2)只要知道了随机变量只要知道了随机变量X的分布函数,的分布函数,它的统计特性就可以它的统计特性就可以得到全面的描述得到全面的描述.如如:对任意实数对任意实数a、b、x1x2P x1X x2 =P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)请注意请注意请注意请注意 :2、分布函数的性质、分布函数的性质(1)(2)不可能事件不可能事件必然事件必然事件性质性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某 个随机变量个随机变量 的的分布函数的充分必要
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