2022届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(十三)变化率与导.doc

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课时跟踪练(十三)
A组　基础巩固
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．
答案：C
2．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
解析：f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x，故由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：B
3．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)函数y＝x3的图象在原点处的切线方程为(　　)
A．y＝x B．x＝0
C．y＝0 D．不存在
解析：函数y＝x3的导数为y′＝3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0.
答案：C
4.(2019·济南一中调研)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)

A．a<f′(2)<f′(4) B．f′(2)<a<f′(4)
C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a
解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率的大小，在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4，f(4))的切线斜率f′(4)之间，所以f′(2)<a<f′(4)．
答案：B
5．(2019·南阳一模)函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)＝(　　)
A．7 B．4 C．0 D．－4
解析：因为f(x)＝x－g(x)，所以f′(x)＝1－g′(x)，又由题意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，所以g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7.
答案：A
6．曲线y＝在x＝处的切线方程为(　　)
A．y＝0 B．y＝
C．y＝－x＋ D．y＝
解析：因为y′＝，所以y′|x＝＝－，
当x＝时，y＝，
所以切线方程为y－＝－，即y＝－x＋.
答案：C
7．(2019·日照质检)已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为y′＝aex＋1，所以切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，所以ae＋1＝2e，解得a＝.
答案：B
8．(2019·重庆诊断)已知函数f(x)＝＋sin x，其导函数为f′(x)，则f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 019)－f′(－2 019)的值为(　　)
A．0 B．2 C．2 017 D．－2 017
解析：因为f(x)＝＋sin x，
所以f′(x)＝－＋cos x，
f(x)＋f(－x)＝＋sin x＋＋sin(－x)＝2，
f′(x)－f′(－x)＝－＋cos x＋－cos(－x)＝0，
所以f(2 019)＋f(－2 019)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝2.
答案：B
9．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．
解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x，
令4x0＝－8，则x0＝－2，所以f(－2)＝9，
所以点M的坐标是(－2，9)．
答案：(－2，9)
10．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.
又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
答案：1
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋.
所以f′(2)＝－.
答案：－
12．(2019·珠海一中等六校联考)已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．
解析：由题意，知f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，
因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，
所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
B组　素养提升
13．(2019·南阳模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}，a3·a5＝2，若f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，则f′(0)＝(　　)
A．8 B．－8 C．128 D．－128
解析：令f(x)＝x·g(x)，其中g(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a7)，
则f′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，
因为{an}是等比数列，
所以f′(0)＝g(0)＝－a1·a2·a3·…·a7＝－a，
又因为a3·a5＝a＝2及{an}各项均为正数，
所以a4＝，故f′(0)＝－8.
答案：B
14．(2019·广州第一次调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为(　　)
A．ln 2 B．1 C．1－ln 2 D．1＋ln 2
解析：由y＝xln x得y′＝ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝ln x0＋1，因为切点(x0，y0)既在曲线y＝xln x上又在直线y＝kx－2上，所以所以kx0－2＝x0ln x0，所以k＝ln x0＋.
则ln x0＋＝ln x0＋1，所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.
答案：D
15．(2019·西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.
定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x3－x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得x>，故x的取值范围是.
答案：
16．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．
解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝ex－1＋x.
因为当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
所以f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0