专题6-面积问题-教师版-03.doc

专题6-面积问题-教师版-0320. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BCx轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC与ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）点A（2，2）在双曲线上，k=4。双曲线的解析式为。BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，设B点坐标为（m，4m）（m0）代入双曲线解析式得m=1。抛物线y=ax2+bx+c（a0）过点A（2，2）、B（1，4）、O（0，0）。，解得：。抛物线的解析式为。（2）抛物线的解析式为，顶点E（），对称轴为x=。B（1，4），x23x=4，解得：x1=1，x2=4。C（4，4）。SABC=56=15，由A、B两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线AB的解析式为：y=2x2。设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）。EF=。SABE=SAEF+SBEF=3=。（3）SABE=，8SABE=15。当点D与点C重合时，显然满足条件，当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其直线解析式为y=2x12。令2x12=x23x，解得x1=3，x2=4（舍去）。当x=3时，y=18，故存在另一点D（3，18）满足条件。综上所述，可得点D的坐标为（3，18）或（4，4）。22. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D运动时间为t秒（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设BCD的面积为S，当t为何值时，?（3）连接MB，当MBOA时，如果抛物线的顶点在ABM内部（不包括边），求a的取值范围【答案】解：（1），。RtCAORtABE。，即，解得。（2）由RtCAORtABE可知：，。当08时，解得。当8时，解得，（为负数，舍去）。当或时，。（3）过M作MNx轴于N，则。当MBOA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。，抛物线的顶点坐标为（5，）。它的顶点在直线上移动。直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），12。23. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围 【答案】解：（1）抛物线经过点A（3，0），D（1，0），设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）。将E（0，3）代入上式，解得：a=1。抛物线的解析式为y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3。又y=x2+2x+3=（x1）2+4，点B（1，4）。（2）证明：如图1，过点B作BMy于点M，则M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45，。在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，。BEA=1801MEB=90。AB是ABE外接圆的直径。在RtABE中，BAE=CBE。在RtABE中，BAE+3=90，CBE+3=90。CBA=90，即CBAB。CB是ABE外接圆的切线。（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，）。（4）设直线AB的解析式为y=kx+b将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。直线AB的解析式为y=2x+6。过点E作射线EFx轴交AB于点F，当y=3时，得x=，F（，3）。情况一：如图2，当0t时，设AOE平移到DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。则ON=AD=t，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHDFHM，得，即，解得HK=2t。=33（3t）2t2t=t2+3t。情况二：如图3，当t3时，设AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）。=（3t）2（3t）（3t）2=（3t）2=t23t+。综上所述：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。 （2）过B作BMy轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出BME、AOE都为等腰直角三角形，易证得BEA=90，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可BE、AE长易得，能求出tanBAE的值，结合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此证得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90，从而得证。（3）在RtABE中，AEB=90，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP必为直角三角形。DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE，满足DEOBAE的条件。因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。DE为短直角边时，P2在x轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似DEP2=AEB=90sinDP2E=sinBAE=。而DE=，则DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9。即P2（9，0）。DE为长直角边时，点P3在y轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则EDP3=AEB=90cosDEP3=cosBAE=。则EP3=DEcosDEP3=，OP3=EP3OE=。即P3（0，）。综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）。 （4）过E作EFx轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，AOE与ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，AOE与ABE重叠部分是个三角形按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。24. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= 例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x12y2=0，再由上述距离公式求得d= 解答下列问题：如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）（1）求点M到直线AB的距离（2）抛物线上是否存在点P，使得PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）将化为4x3y12=0，由上述距离公式得：d= 。 点M到直线AB的距离为6。（2）存在。设P（x，），则点P到直线AB的距离为：d= 。由图象，知点P到直线AB的距离最小时x0，0，d= 。当时，d最小，为。当时，P（，）。又在中，令x=0，则y=4。B（0，4）。令y=0，则x=3。A（3，0）。AB=5。PAB面积的最小值为 。25. （2012湖南怀化10分）如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作G，试判断直线CM与G的位置关系，并说明理由. 【答案】解：（1）抛物线m的顶点为，m的解析式为=。抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，D的坐标为。抛物线n的解析式为：，即。（2）点E与点A关于点B中心对称，E。设直线ED的解析式为，则，解得。直线ED的解析式为。又点P的坐标为，S=。当时，S有最大值。但，PEF的面积S没有最大值 。（3）直线CM与G相切。理由如下：抛物线m的解析式为，令得。抛物线m的对称轴与轴的交点为G，OC=4，OG=3，。由勾股定理得CG=5。又AB=10，G的半径为5，点C在G上。 过M点作y轴的垂线，垂足为N，则。又，。根据勾股定理逆定理，得GCM=900。直线CM与G相切。26. （2012湖南娄底10分）如图，在ABC中，AB=AC，B=30，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N（1）求证：BMDCNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值 【答案】解：（1）证明：AB=AC，B=30，B=C=30。DEF是等边三角形，FDE=FED=60。科网MDB=NEC=120。BMD=B=C=CNE=30。BMDCNE。（2）过点M作MHBC，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，MH=MF。设BD=x，DEF是等边三角形，FDE=60。B=30，BMD=FDEB=6030=30=B。DM=BD=x。MH=MF=DFMD=4x。在RtDMH中，sinMDH=sin60=，.Com解得：x=168。当BD=168时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。（3）过点M作MHBC于H，过点A作AKBC于K，AB=AC，BK=BC=8=4。B=30，AK=BKtanB=4。SABC=BCAK=8。由（2）得：MD=BD=xMH=MDsinMDH=x，SBDM=xx=x2。DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，EC=BCBDDE=8x4=4x。BMDCNE，SBDM：SCEN=。SCEN=（4x）2。y=SABCSCENSBDM=x2（4x）2=x2+2x+=（x2）2+（0x4）。当x=2时，y有最大值，最大值为。27. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标 【答案】解：（1）B（4，0）在抛物线的图象上，即：。抛物线的解析式为：。（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）。OA=1，OC=2，OB=4。又OCAB，OACOCB。OCA=OBC。ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90。ABC为直角三角形，AB为ABC外接圆的直径。该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。来源:学科网ZXXK（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直线BC的解析式为：y=x2。设直线lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=，即： x24x42b=0，且=0。164（42b）=0，解得b=4。直线l：y=x4。，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，ABC的面积最大。点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：。 M（2，3）。28. （2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作OET=45，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；（2） 求证：BEF=AOE；（3） 当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得EPF的面积是EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答. 【答案】解：（1）A （2， 0）， B （0， 2），OA=OB=2 。AB2=OA2+OB2=22+22=8。AB=2。OC=AB，OC=2， 即C （0， 2）。抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得，解得：。抛物线的表达式为y=x2x+2。（2）证明：OA=OB，AOB=90 ，BAO=ABO=45。又BEO=BAO+AOE=45+AOE，BEO=OEF+BEF=45+BEF ，BEF=AOE。（3）当EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论：当OE=OF时， OFE=OEF=45，在EOF中， EOF=180OEFOFE=1804545=90。又AOB90，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。如图， 当FE=FO时，EOF=OEF=45。在EOF中，EFO=180-OEF-EOF=180-45-45=90，AOF+EFO=90+90=180。EFAO。 BEF=BAO=45 。又 由 (2) 可知 ，ABO=45，BEF=ABO。BF=EF。EF=BF=OF=OB=21 。 E(1， 1)。如图， 当EO=EF时， 过点E作EHy轴于点H ，在AOE和BEF中，EAO=FBE， EO=EF， AOE=BEF， AOEBEF（AAS）。BE=AO=2。EHOB ，EHB=90。AOB=EHB。EHAO。 BEH=BAO=45。在RtBEH中， BEH=ABO=45 ，EH=BH=BEcos45=2=。OH=OBBH=22。 E(， 2)。综上所述， 当EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(1， 1)或E(， 2)。（4） P(0， 2)或P （1， 2）。【分析】（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(， 2)。如图所示，过点E作EHy轴于点H，则OH=FH=2。由OE=EF，易知点E为RtDOF斜边上的中点，即DE=EF。过点F作FNx轴，交PG于点N。易证EDGEFN，因此SEFN=SEDG。依题意，可得SEPF=（）SEDG=（）SEFN，PE：NE=。过点P作PMx轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2。FNEH，PT：ST=PE：NE=。PT=（）ST=（）（2）=32。PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。2=x2x+2，解得x1=0，x2=1。P点坐标为(0， 2)或（1， 2）。综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得EPF的面积是EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（1， 2）。29.如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足PQO60(1)点B的坐标是 ，CAO ，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；(2)设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围 【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）当0x3时，如图1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3x5时，如图2，当5x9时，如图3，当x9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为： 。30. （2012四川眉山11分） 已知：如图，直线与x轴交于C点， 与y轴交于A点，B点在x轴上，OAB是等腰直角三角形（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若直线CDAB交抛物线于D点，求D点的坐标； （3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和PAB的最大面积；若没有，请说明理由 【答案】解：（1）直线与x轴交于C点， 与y轴交于A点， 令y=0，得x=1；令x=0，得y=3。A（0，3），C（1，0）。OAB是等腰直角三角形，OB=OA=3。B（3，0）。设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，把A（0，3）代入，得，解得。过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。（2）设AB所在直线的解析式为， 则，解得。直线CDAB，设直线CD的解析式为。将C（1，0）代入得，解得。直线CD的解析式为。联立，解得。D点的坐标为（4，5）。（3）有。过点P作PHx轴于点H，设P，则当时，。 当P时，PAB的最大面积为。31. （2012西藏区8分）如图，在O中，弦BC 垂直于半径OA，垂足为E ，D 是优弧BDC 上一点，连接BD、AD、OC ，ADB300 。（1）求AOC 的度数；( 2 分）（2）若弦BC = 6cm，求图中阴影部分的面积。( 6 分） 【答案】解：（1）BCOA，BE=CE，。又ADB=30，AOC=AOB=2ADB。AOC=60。（2）BC=6，CE=BC=3。在RtOCE中，。连接OB，BOC=2AOC=120。 。33.（2012广西梧州10分）如图，抛物线的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B.在x轴上方的抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CBDB。（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得DEP的面积等于DEC的面积，若存在，请你直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由。【提示：抛物线的对称轴为，顶点坐标为】 【答案】解：（1）此抛物线的对称轴为x=6，顶点A的坐标（6，6）。（2）过C作CGx轴于G，CD交AB于点J。C、D关于AB对称，BC=BD，CDx轴。又CBDB，BCD是等腰直角三角形。DCB=CBO=45。BCG为等腰直角三角形。GB=GC。设C的横坐标为a，则GC=GB=6a。将C（a，6a）代入得6a= a2+12a30，解得，a=4，a=9（不符合题意，舍去）。C（4，2）。设Q（6，m）则AQ=6m，CQ=。AQ=CQ，=6m，解得m=。Q（6，）。（3）存在。P1（7，5）；P2（）；P3（）。34.（2012四川遂宁10分）已知：如图，AB是O的直径，D是弧的中点，弦AC与BD相交于点E，AD=,DE=2.(1)求直径AB的长(2)在图2中，连接DO，DC，BC. 求证：四边形BCDO是菱形(3)求图2中阴影部分的面积。 【答案】解：（1）D是弧的中点，DAC=B。 ADE=BDA，ADEBDA。AB是O的直径，ADB=90。在RtABD中，由勾股定理，得。（2）在RtABD中，AB=2 AD，ABD=30, DAB=60。ABD=DAC=CAB=30。CD=BC。在RtABC中, CAB=30，AB=2 BC。OB=OD=BC=CD。四边形BCDO是菱形。（3）菱形BCDO的面积：S=，扇形BCD的面积: ，