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奥数数论基础知识
一 质数与合数
(1)一个数除了1与它本身,不再有别得约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
　　一个数除了1与它本身,还有别得约数,这个数叫做合数。
(2)自然数除0与1外,按约数得个数分为质数与合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘得形式。
要特别记住:0与1不就是质数,也不就是合数。
(3)最小得质数就是2 ,2就是唯一得偶质数,其她质数都为奇数;
最小得合数就是4。
(4)质数就是一个数,就是含有两个约数得自然数 。
互质数就是指两个数,就是公约数只有一得两个数,组成互质数得两个数可能就是两个质数(３与５),可能就是一个质数与一个合数(３与４),可能就是两个合数(４与９)或1与另一个自然数。
(５)如果一个质数就是某个数得约数,那么就说这个质数就是这个数得质因数。
　　把一个合数用质因数相乘得形式表示出来,叫做分解质因数。
(６)１００以内得质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、
８３、８９、９７　.
二 整除性
(１)概念
　　一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得得商c正好就是整数而没有余数(或者说余数就是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b｜a、否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作b a。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b得倍数,b就叫做a得约数。
(２)性质
性质1:(整除得加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们得与与差也能被c整除。
　　即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。
　　例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。
也就就是说,被除数加上或减去一些除数得倍数不影响除数对它得整除性。
性质2:如果b与c得积能整除a,那么b与c都能整除a、
　　　　即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。
性质3:(整除得互质可积性)如果b、c都能整除a,且b与c互质,那么b与c得积能整除a。
　　即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。
　　例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1,
　　那么(2×7)｜28。
性质4:(整除得传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
　　即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。
　　例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。
(３)数得整除特征
　　①能被2整除得数得特征:个位数字就是0、2、4、6、8得整数、
　　②能被5整除得数得特征:个位就是0或5。突破口
③能被3(或9)整除得数得特征:各个数位数字之与能被3(或9)整除。
判断能被3(或9)整除得数还可以用“弃３(或９)法”:
例如:８３５１７４６能被９整除么？　
解:８＋１＝９,３＋６＝９,５＋４＝９,在数字中只剩７,７不就是９得倍数,所以８３５１７４６不能被９整除。
　　④能被4(或25)整除得数得特征:末两位数能被4(或25)整除。
　　⑤能被8(或125)整除得数得特征:末三位数能被8(或125)整除。
⑥能被11整除得数得特征:这个整数得奇数位上得数字之与与偶数位上得数字之与得差(大减小)就是11得倍数。
⑦能被7(11或13)整除得数得特征:一个整数得末三位数与末三位以前得数字所组成得数之差(以大减小)能被7(11或13)整除,依此反复检验。
例如:判断能否被13整除？
　　解:把分为3546与725两个数、因为3546-725=2821、再把2821分为2与821两个数,因为821—2＝819,又13｜819,所以13｜2821,进而13｜3546725、
上述办法也可以用来判断余数与末位数;
对于其她得数,可以将其分解成上述几个互质得数得乘积,再逐个考虑。
三 约数与倍数
(１)公约数与最大公约数
几个数公有得约数,叫做这几个数得公约数;其中最大得一个,叫做这几个数得最大公约数。
例如:４就是１２与１６得最大公约数,可记做:(１２　,１６)＝４
(２)公倍数与最小公倍数
几个数公有得倍数,叫做这几个数得公倍数;其中最小得一个,叫做这几个数得最小公倍数。
例如:36就是12与18得最小公倍数,记作[12,18]=36。
(３)最大公约数与最小公倍数得关系
如果用a与b表示两个自然数
１、那么这两个自然数得最大公约数与最小公倍数关系就是:
(a,b)×[a,b]=a×b。
(多用于求最小公倍数)
２、(a,b)　≤　a　,b　≤　[a,b]
３、[a,b]就是(a,b)得倍数,(a,b)就是[a,b]得约数
４、(a,b)就是a＋b　与a－b　得约数,也就是(a,b)＋[a,b]与(a,b)－[a,b]得约数
(４)求最大公约数得方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如:１、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大就是多少？
　　　解:∵
　　　　　(30,60,75)=5×3=15
　　　　　　这个数最大就是15。
２、(分解质因数法)求１００１与３０８得最大公约数就是多少？
解:１００１＝７×１１×１３(这个质分解常用到)　　,　　３０８＝７×１１×４
　　所以最大公约数就是７×１１＝７７
在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有得质因数之积”便就是最大公约数。
３、(辗转相除法)用辗转相除法求4811与1981得最大公约数。
　　解:∵4811=2×1981+849,
　　1981=2×849+283,
　　849=3×283,
　　∴(4811,1981)=283。
　　补充说明:如果要求三个或更多得数得最大公约数,可以先求其中任意两个数得最大公约数,再求这个公约数与另外一个数得最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。
(５)约数个数公式
　　一个合数得约数个数,等于它得质因数分解式中每个质因数得个数(即指数)加1得连乘得积。
例如:求240得约数得个数。
　　解:∵240＝24×31×51,
　　∴240得约数得个数就是
　　(4＋1)×(1+1)×(1＋1)=20,
　　∴240有20个约数。
四 奇偶性
(1)奇数与偶数
　　整数可以分成奇数与偶数两大类、能被2整除得数叫做偶数,不能被2整除得数叫做奇数。
　　偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意,因为0能被2整除,所以0就是偶数。
最小得奇数就是１　,最小得偶数就是０　.
(2)奇数与偶数得运算性质
　　性质1:偶数±偶数=偶数,
　　奇数±奇数=偶数。
　　性质2:偶数±奇数=奇数。
　　性质3:偶数个奇数相加得偶数。
　　性质4:奇数个奇数相加得奇数。
　　性质5:偶数×奇数=偶数,
奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数
(３)反证法
　　例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”、请说明:无论经过多少次这样得“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”、要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之与次“翻转”、即“翻转”得总次数为奇数、但就是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转得总次数只能就是偶数次、因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题与解决问题得方法、先假设某种说法正确,再利用假设说法与其她性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立得结论,从而说明假设得说法不成立、这种思考证明得方法在数学上叫“反证法”。