2022年山东省烟台市中考数学试题解析.docx

数 学 试 题
第一卷
本卷须知：
请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净，再选涂其它答案．
一、选择题〔此题共12个小题，每题4分，共48分〕每题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1.〔2022山东烟台，1，4分〕(－2)0的相反数等于〔 〕
A.1 B.－1 C.2 D.－2
【答案】B
【思路分析】〔－2〕0=1，1的相反数是－1，应选B.
【方法规律】此题考查实数的根底知识. 任何非零数的零次幂为1；互为相反数两数符号相反，绝对值相同.
【易错点分析】对零次幂的意义把握不牢，可致错.
【关键词】实数：零次幂，相反数
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
2.〔2022山东烟台，2，4分〕从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是〔 〕
A
B
C
D

【答案】A
【思路分析】俯视图是从上面看到的平面图形，也是在水平投影面上的正投影. 易判断选A.
【方法规律】此题考查三视图的判断. 试题选材生活，给试卷平添亮点，具有一定的
吸引力.解此类题需具有将立体图形与平面图形相互转化的能力.画物体的三视图时，应遵循这样的画图规那么：“主、俯两图长对正，主、左两图高平齐，左、俯两图宽相等〞. 另外要注意看得见局部的轮廓线画成实线，看不见局部的轮廓线画成虚线.
【易错点分析】易忽略应有的轮廓线.
【关键词】三视图
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题，新题
3.〔2022山东烟台，3，4分〕以下计算正确的选项是〔 〕
A.a2＋a3＝a5 B. a6÷a3＝a2
C. 4x2－3x2＝1 D.(－2x2y)3＝－8 x6y3
【答案】D
【思路分析】A不能合并；B结果应为a3；C 结果应为x2；D正确. 应选D
【方法规律】此题考查整式运算的根底知识，需全面掌握合并同类项、幂的运算等整式运算的根底知识.
【易错点分析】A、B、C三个选项都有可能误选.
【关键词】整式运算：合并同类项，幂的运算性质.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
4.〔2022山东烟台，4，4分〕不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有〔 〕
A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【思路分析】解不等式得x≤2，其非负整数解为0，1，2，应选C.
【方法规律】此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断. 需会解一元一次不等式，会判断其特殊解.
【易错点分析】易忽略0，误选B.
【关键词】一元一次不等式解法，特殊解
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
5.〔2022山东烟台，5，4分〕如果，那么〔 〕
A．a＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥
【答案】B
【思路分析】因为二次根式具有非负性，所以1－2a≥0，解得a≤，应选B.
【方法规律】此题考查二次根式性质及其应用，同时考查不等式的解法. 当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝－a．此题可直接利用非负性列不等式求解. 具有非负思想是解此类题的关键.
【易错点分析】对知识掌握不灵活，错列不等式，误选B.
【关键词】二次根式的非负性
【难度】★★☆☆☆
【题型】常规题，易错题
6.〔2022山东烟台，6，4分〕如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.两底差是6，两腰和是12，那么△EFG的周长是〔 〕
A.8 B.9 C.10 D.12
A
B
C
D
E
F
G
〔第6题图〕

【答案】B
【思路分析】连BF与DC相交，易证EF等于两底差的一半；由三角形中位线定理，可得EG+FG等于两腰和的一半. 这样可得△EFG的周长是9，应选B.
【方法规律】此题考查三角形中位线定理，及梯形知识. 灵活添加辅助线，得到“两对角线中点的连线是两底差的一半〞是解此题关键，另外具有整体思想，也是解此类题所必不可少的思想方法.
【易错点分析】因不会解致错.
【关键词】三角形中位线，梯形
【难度】★★☆☆☆
【题型】常规题
7.〔2022山东烟台，7，4分〕如图是油路管道的一局部，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，那么O到三条支路的管道总长〔计算时视管道为线，中心O为点〕是〔 〕
A2m B.3m
C.6m D.9m
O
〔第7题图〕

【答案】C
【思路分析】此题可转化为求三角形内切圆的半径. 由勾股定理可得斜边为10，设内切圆半径为r，那么利用面积法可得：r(6+8+10)=×6×8，解得r=2. 从而管道为2×3=6〔m〕，应选C.
【方法规律】命题者独具匠心，试题设计新颖别致，为试卷又一亮点. 解此题需具有一定的数学功底，能够进行数学建模，并巧用面积法解题，或利用切线长定理解决.
【易错点分析】因不会致错.
【关键词】三角形内切圆，勾股定理
【难度】★★☆☆☆
【题型】新题
8.〔2022山东烟台，8，4分〕体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩〔单位：米〕分别是：1.0，1.3，2.2，2.0，1.8，1.6，,那么这组数据的中位数和极差分别是〔 〕
，0.6 B. 1.6，1.2 C.1.8，，1.2
【答案】D
【思路分析】将数据按顺序排列：1.0，1.3，1.6，1.8，2.0，2.2，易判断中位数为=1.7； 极差为2.2－1.0=1.2. 应选D.
【方法规律】此题考查统计量的计算. 掌握中位数、极差的概念即可获解.
【易错点分析】易忽略将数据按大小顺序排列，误选A.
【关键词】统计量：中位数，极差
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
9.〔2022山东烟台，9，4分〕如果△ABC中，sinA=cosB=，那么以下最确切的结论是〔 〕
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
【答案】C
【思路分析】因为sinA=cosB=，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 应选C.
【方法规律】此题考查特殊角的三角函数，及三角形的分类. 掌握特殊角的三角函数值即可获解.
【易错点分析】易判断不全面，可能误选A或B.
【关键词】特殊角的三角函数，三角形分类.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
10.〔2022山东烟台，10，4分〕如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，那么以下关系正确的选项是〔 〕
A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h
C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
〔第10题图〕

【答案】A
【思路分析】由两抛物线的解析式可判断其顶点坐标，再根据坐标意义即可判断答案选A
【方法规律】此题主要考查二次函数的根底知识，会根据顶点式判断出顶点坐标便易获解.
【易错点分析】有可能混淆横、纵坐标，误选D.
【关键词】二次函数
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
11.〔2022山东烟台，11，4分〕在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y〔千米〕随时间〔时〕变化的图象〔全程〕如下列图.有以下说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有〔 〕
A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个
〔第11题图〕
20

【答案】C
【思路分析】利用图象可判断①②④正确，③错误，应选C.

【易错点分析】误判①错误，从而错选B.
【关键词】函数图象
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
12.〔2022山东烟台，12，4分〕如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线〞，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2022等于〔 〕
A. B. C.D.
〔第12题图〕
A
B
C
D
E
F
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7

【答案】B
【思路分析】可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，的半径为n，所以l2 011
==.
【方法规律】此题考查弧长计算，正六边形知识，以及规律探索的能力，为本卷亮点试题. 从简单的特殊情形中探索得到变化规律是解此类题的关键.
【易错点分析】规律归纳错误
【关键词】弧长计算，规律探索
【难度】★☆☆☆☆
【题型】新题，规律探索题
第二卷
二、填空题〔此题共6个小题，每题4分，总分值24分〕．
13.〔2022山东烟台，13，4分〕微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.0000007平方毫米，用科学记数法表示为平方毫米.
【答案】7×10－7
【思路分析】0.000 000 7=7×10－7，故填7×10－7.
【方法规律】此题考查科学记数法. 此类试题一般背景新颖，与时俱进，解题需掌握科学记数法的形式，及a的取值范围，n确实定方法.
【易错点分析】可能忽略指数中的负号，误写成7×107
【关键词】实数：科学记数法
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
14.〔2022山东烟台，14，4分〕等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.
【答案】4或6
【思路分析】此题应分两种情况讨论，4可能为底边，也可能为腰长，且两种情况都成立.
【方法规律】此题考查等腰三角形的概念，三角形三边关系，及分类讨论思想. 解题关键明确此类题需分类讨论，且注意检验各情况是否成立.
【易错点分析】忽略4是底边的情况，只填6.
【关键词】等腰三角形，三角形三边关系.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
15.〔2022山东烟台，15，4分〕如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，假设往圆面投掷飞镖，那么飞镖落在黑色区域的概率是.

O
x
y
B
C
A
〔第16题图〕

〔第15题图〕

【答案】
【思路分析】易判断黑色局部的面积为大圆的一半，故填.
【方法规律】此题考查概率的简单计算. 对于此类几何概型问题，按照公式：计算即可.
【易错点分析】一般不会出错.
【关键词】概率
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
16.〔2022山东烟台，16，4分〕如图，△ABC的外心坐标是__________.
【答案】〔－2，－1〕
【思路分析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形，画出AB、BC的垂直平分线，即可获解.
【方法规律】此题综合考查三角形外心、平面直角坐标系等的知识. 解题关键是掌握三角形的外心为三边〔任选两边〕垂直平分线的交点，能利用网格特点，画出两边的垂直平分线.
【易错点分析】对外心概念不掌握致错.
【关键词】三角形的外心
【难度】★☆☆☆☆
【题型】操作题
17.〔2022山东烟台，17，4分〕如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，那么阴影局部的面积是.
〔第17题图〕

【答案】2
【思路分析】正方形为旋转对称图形，绕中心旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影局部的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.
【方法规律】此题考查正方形的旋转对称性. 解题关键是掌握正n边形旋转与自身重合.
【易错点分析】不掌握其中规律，不会做.
【关键词】正方形
【难度】★★★☆☆
【题型】运动变换题
18.〔2022山东烟台，18，4分〕通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
【答案】
【思路分析】观察图形，可发现规律：每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中奇数位置上下对称，偶数位置为左右对称.
【方法规律】此题同12题，都是典型题变式而来，都属规律探索题. 考查规律探索能力，及轴对称的知识. 发现其中变化规律是解题关键.
【易错点分析】因发现不了其中规律，或归纳规律不全面而致错.
【关键词】探索规律 轴对称
【难度】★★★★☆
【题型】探索规律
三、解答题〔本大题共8各小题，总分值78分〕．
19.〔2022山东烟台，19，6分〕先化简再计算：
，其中x是一元二次方程的正数根.
【解】原式===.
解方程得得，
，.
所以原式==〔或〕.
【思路分析】应先进行分式的化简运算，再解一元二次方程，求出其正解，最后代值计算.
【方法规律】此题综合考查分式计算，一元二次方程的解法，代数式的求值. 掌握相关计算方法即可获解.
【易错点分析】“－〞号处理错误，导致分式化简，解方程错误. 最易出错是
的化简.
【关键词】分式计算，解一元二次方程，代数式求值
【难度】★★☆☆☆
【题型】计算题
20.〔2022山东烟台，20，8分〕
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米 ，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远
【解】设平路有x米，坡路有y米
解这个方程组，得
所以x＋y＝700.
所以小华家离学校700米.
【思路分析】由题目中的两个等量关系“从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟〞可列二元一次方程组求解.
【方法规律】此题考查利用列方程解决实际问题. 找到等量关系，并明确根底数量关系：时间=路程/速度，便可列出方程组解决.
【易错点分析】不会列方程组
【关键词】二元一次方程组的应用
【难度】★★☆☆☆
【题型】实际应用题
21.〔2022山东烟台，21，8分〕
综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如下列图是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR〔结果保存两位有效数字〕.
〔参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08〕
A
B
C
D
E
F
M
N
R
α
β

【解】过点F作FG∥EM交CD于G.
那么MG＝EF＝20米.
∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30〔米〕.
在Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29〔米〕.
【思路分析】观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决.
【方法规律】此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线，构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算.
【易错点分析】不会灵活添加辅助线，解不出
【关键词】解直角三角形 三角函数
【难度】★★☆☆☆
【题型】实际应用题
22.〔2022山东烟台，22，8分〕
如图，反比例函数〔k1＞0〕与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.假设△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
〔1〕求出反比例函数与一次函数的解析式；
〔2〕请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值
【解】〔1〕在Rt△OAC中，设OC＝m.
∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m.
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1. ∴m＝1〔负值舍去〕.
∴A点的坐标为〔1，2〕.
把A点的坐标代入中，得k1＝2.
∴反比例函数的表达式为.
把A点的坐标代入中，得k2＋1＝2，∴k2＝1.
∴一次函数的表达式.
〔2〕B点的坐标为〔－2，－1〕.
当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.
【思路分析】〔1〕由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2”可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式. 〔2〕联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标；反比例函数y1的值大于一次函数y2的值时的x值，即y1在y2的上方是时，所对应图象上点的横坐标的取值范围. 注意分象限讨论.
【方法规律】此题主要考查一次函数与反比例函数，及其与方程、不等式的关系. 解答此题需全面掌握相关知识. 尤其是能够数形结合地观察图象，能从纵、横两个角度观察两函数图象的关系，知道上、下对应y值的大、小；左，右对应x值的小、大.
【易错点分析】不会数形结合地观察图象，或忽略分类讨论，从而错找或找不全〔2〕
题中x的取值范围.
【关键词】一次函数，反比例函数
【难度】★★★☆☆
【题型】常规题
23.〔2022山东烟台，23，12分〕
“五·一〞假期，某公司组织局部员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购置了前往各地的车票.以下列图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图答复以下问题：
〔1〕假设去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；
〔2〕假设公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张〔所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀〕，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少
〔3〕假设有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规那么是：“每人各抛掷一次，假设小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否那么给小李〞.试用“列表法或画树状图〞的方法分析，这个规那么对双方是否公平
【解】〔1〕设D地车票有x张，那么x＝〔x+20+40+30〕×10%
解得x＝10.
即D地车票有10张.
补全统计图如下列图.
〔2〕小胡抽到去A地的概率为＝.
〔3〕以列表法说明
小李掷得数字
小王掷
得数字
1
2
3
4
1
〔1，1〕
〔1，2〕
〔1，3〕
〔1，4〕
2
〔2，1〕
〔2，2〕
〔2，3〕
〔2，4〕
3
〔3，1〕
〔3，2〕
〔3，3〕
〔3，4〕
4
〔4，1〕
〔4，2〕
〔4，3〕
〔4，4〕
或者画树状图法说明〔如图〕
由此可知，共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，4〕.
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝.
那么小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为＝.
所以这个规那么对双方不公平.
【思路分析】〔1〕由统计图，可得其A、B、C三地的具体车票数量，根据“去D地的车票占全部车票的10%〞列方程即可求解；〔2〕去A地的概率=A地车票数/车票总数；〔3〕先列表或画树状图列举出所有等可能结果，再进行判断.
【方法规律】此题综合考查统计与概率的根底知识. 掌握并灵活运用相关知识即可获解.
【易错点分析】较简单，一般不会出错.
【关键词】统计 概率
【难度】★★☆☆☆
【题型】综合题，常规题
24.〔2022山东烟台，24，10分〕
：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
〔1〕求证：AB＝BC；
〔2〕当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
A
B
C
D
E

【解】〔1〕证明：连接AC.
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，
∴AB＝BC.
〔2〕证明：过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF.
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF.
∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.
【思路分析】〔1〕题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明；〔2〕可采用“截长〞法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.
【方法规律】此题主要考查推理证明能力，涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识. 灵活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在.
【易错点分析】不会添加辅助线，不会证明.
【关键词】勾股定理，全等三角形，矩形
【难度】★★★☆☆
【题型】证明题
25.〔2022山东烟台，25，12分〕
：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点〔不与点A、B、G重合〕，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
〔1〕如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2
〔2〕当点E在AB〔或BA〕的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，〔1〕中的结论是否成立请说明理由.
A
B
C
D
E
F
P
.
O
G
〔图1〕
.
A
B
C
D
E
.
O
G
〔图2〕

【解】〔1〕证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.
∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.
∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.
〔2〕解：〔1〕中的结论成立.
理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.
∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.
∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.
【思路分析】〔1〕要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明.观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形，这样问题便转化为证明△FOE∽△POF了. 而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不惟一；〔2〕同〔1〕类似.
【方法规律】此题综合考查圆的性质及相似的知识，解题关键是辅助线的灵活添加. 值得注意的是〔2〕问是〔1〕知识的变式，能开拓视野，提高思维深度、灵敏性，其证明同〔1〕类似，可不必证明.
【易错点分析】〔1〕不会添加辅助线；〔2〕证不出相似所需一角对应相等的条件.
【关键词】圆，圆周角定理，相似.
【难度】★★★★☆
【题型】证明题.
26.〔2022山东烟台，26，14分〕
如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为〔－4，0〕，〔0，4〕.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t〔秒〕时，△OPQ的面积为s〔不能构成△OPQ的动点除外〕.
〔1〕求出点B、C的坐标；
〔2〕求s随t变化的函数关系式；
〔3〕当t为何值时s有最大值并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q

〔备用图2〕
90
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
〔备用图1〕
90

【解】〔1〕把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.
∴C点的坐标为〔1，4〕.
当y＝0时，－x＋＝0，
∴x＝4.∴点B坐标为〔4，0〕.
〔2〕作CM⊥AB于M，那么CM＝4，BM＝3.
∴BC＝＝＝5.
∴sin∠ABC＝＝.
①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，
那么QN＝BQ·sin∠ABC＝t.
∴S＝OP·QN＝〔4－t〕×t＝－t2＋t〔0＜t＜4〕.
②当4＜t≤5时，〔如备用图1〕，
连接QO，QP，作QN⊥OB于N.
同理可得QN＝t.
∴S＝OP·QN＝×〔t－4〕×t.
＝t2－t〔4＜t≤5〕.
③当5＜t≤6时，〔如备用图2〕，
连接QO，QP.
S＝×OP×OD＝〔t－4〕×4.
＝2t－8〔5＜t≤6〕.
〔3〕①在0＜t＜4时，
当t＝＝2时，
S最大＝＝.
②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－＝2时，
S最小＝×22－×2＝－.
∴抛物线S＝t2－t的顶点为〔2，－〕.
∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.
∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2.
③在5＜t≤6时，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.
∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.
∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.
〔说明：〔3〕中的②也可以省略，但需要说明：在〔2〕中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.〕
【思路分析】〔1〕点B、C的横、纵坐标分别，将其代入直线CB的表达式y=－x+，可求出点B、C的坐标. 〔2〕根据三角形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论. 〔3〕按〔2〕中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论.
【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识，较以往压轴题难度降低，一改往年抛物线上架构几何图形的压轴题特点，令人耳目一新，也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论；能灵活应用一次函数、二次函数的性质，结合自变量取值范围的限制条件求最值.
【易错点分析】考虑问题不全面，只讨论其中一种或二种情况.
【关键词】一次函数，二次函数
【难度】★★★★☆
【题型】压轴题