数列的极限99372.pptx

第第第第2 2 2 2章章章章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续2在微积分中在微积分中,微积分中其他的一些重要概念如微分、积微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的上的.因此因此,有关极限的概念、理论与方法有关极限的概念、理论与方法,自然成为微积分学的理论基石自然成为微积分学的理论基石,本章将讨论本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法计算方法,并在此基础上讨论函数的连续性并在此基础上讨论函数的连续性.极限是一个重要的概念极限是一个重要的概念,3数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念极限概念的引入极限概念的引入2.1 数列的极限数列的极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续4一、极限概念的引入一、极限概念的引入极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到从有限到 即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇 中中“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完这样永远也取不完.2.1 数列的极限数列的极限写道写道:极限概念是由于求某些实际问题的精确解极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的答而产生的.无限无限,5刘徽刘徽(公元公元3世纪世纪)利用圆内接正多边形来推利用圆内接正多边形来推意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接从圆内接正正6边形开始边形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出正求出正12边形、边形、等等正多边形的等等正多边形的正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边形越与圆接近,最最后与圆周重合后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有则正多边形周长与圆周长就没有误差了误差了.“割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不以至不可割可割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”算圆面积的方法算圆面积的方法-就是极限思想在几就是极限思想在几何学上的应用何学上的应用.割圆术割圆术,边长边长,2.1 数列的极限数列的极限6正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积An2.1 数列的极限数列的极限7如如按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数简记为简记为通项通项(general term),或者或者一般项一般项.二、数列二、数列(sequence of number)的概念的概念或记为或记为其中其中xn称为数列称为数列xn的的2.1 数列的极限数列的极限8可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法数列的几何表示法:数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数:整标函数整标函数或或下标函数下标函数 数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.2.1 数列的极限数列的极限9三、数列极限三、数列极限的概念的概念即即问题问题当当 n 无限增大无限增大时时,如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时,xn无限接近无限接近于于1.如何确定如何确定?定性的描述定性的描述xn是否是否无限接近无限接近于于某一确定的数值某一确定的数值?2.1 数列的极限数列的极限10 如何用精确的、定量化的数学语言刻画它如何用精确的、定量化的数学语言刻画它.可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.当当n无限增大无限增大时时,xn无限接近无限接近于于1.定量的描述定量的描述2.1 数列的极限数列的极限11 用希腊字母用希腊字母来刻画来刻画xn与与1的接近程度的接近程度.2.1 数列的极限数列的极限12定义定义2.1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数总存在正整数总存在正整数N,使得对于使得对于 时的一切时的一切不等式不等式成立成立.或称数列或称数列xn收敛收敛于于a(converge to a).记为记为或或那末就称常数那末就称常数a是数列是数列xn的的 极限极限(limit),如果数列如果数列xn没有极限没有极限,就说数列就说数列xn发散发散(diverge).么小么小),(不论它多不论它多2.1 数列的极限数列的极限13注注xn有没有极限有没有极限,一般地说一般地说,但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将的定义可缩写为的定义可缩写为:(1)(2)(3)(4)“前面前面”的有限项不起作用的有限项不起作用,2.1 数列的极限数列的极限2.1 数列的极限数列的极限14数列极限的几何意义数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义通常是用来进行推理注注预先知道极限值是多少预先知道极限值是多少.和证明极限和证明极限,因为这里需要因为这里需要即即而不是用来求极限而不是用来求极限,只有有限个只有有限个(至多只有至多只有N个个)落在其外落在其外.定义定义15例例所以所以,证证 解不等式解不等式定义定义2.1 数列的极限数列的极限16例例证证为了使为了使只需使只需使定义定义2.1 数列的极限数列的极限17证证所以所以,常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.成立成立,例例定义定义对于一切自然数对于一切自然数n,2.1 数列的极限数列的极限18例例证明数列证明数列证证要使要使由于由于有有 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常把常常把 作适当地放大作适当地放大.以以 0为极限为极限.用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.定义定义2.1 数列的极限数列的极限19证证验证验证由由定义定义2.1 数列的极限数列的极限2.1 数列的极限数列的极限201.唯一性唯一性定理定理2.12.1证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.每个每个收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限.使得使得(否则否则得得这不可能这不可能)所以所以a b=0四、四、收敛收敛数列的性质数列的性质212.有界性有界性若存在正数若存在正数M,否则否则,称为称为使得一切自然数使得一切自然数n,数列数列xn是有界数列是有界数列,全落在区间全落在区间 在几何上即为存在在几何上即为存在使得点使得点对数列对数列xn,则称数列则称数列xn有界有界;2.1 数列的极限数列的极限无界无界.22有界有界.例例 判定以下数列的有界性判定以下数列的有界性.解解(1)因为因为故故xn(2)因为因为有界有界.故故xn(3)对任给正数对任给正数M,只要只要便有便有这说明不可能找到这说明不可能找到使使对每个对每个都成立都成立,即即xn无上界无上界,从而从而无界无界.对数列对数列xn,若存在正数若存在正数M,无界无界.使得一切自然数使得一切自然数n,则称数列则称数列xn有界有界;2.1 数列的极限数列的极限否则否则,称为称为2.1 数列的极限数列的极限23定理定理2.22.2证证由定义由定义,有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.无界数列必定发散无界数列必定发散.但不是充分条件但不是充分条件.则对一切自然数则对一切自然数n,此定理及其推论的逆命题不成立此定理及其推论的逆命题不成立.即有界数列不一定收敛即有界数列不一定收敛,发散数列不一定无界发散数列不一定无界.(后面将给出例子后面将给出例子).故故xn有界有界.定义定义243.保号性保号性定理定理2.32.3 如果如果且且证证由定义由定义,对对有有 从而从而定理定理2.3表明表明:若数列的极限为正若数列的极限为正(或负或负),则该数列从某项开始以后所有项也为正则该数列从某项开始以后所有项也为正(或负或负).定义定义2.1 数列的极限数列的极限253.保号性保号性定理定理2.32.3如果如果且且推论推论2.12.1 如果数列如果数列xn从某项起有从某项起有且且那么那么用反证法用反证法证证 设数列设数列xn从第从第N1项起项起,则由定理则由定理3知知,按假定有按假定有按定理按定理3有有这引起这引起所以必有所以必有矛盾矛盾.2.1 数列的极限数列的极限26在数列在数列xn中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项:所构成的新数列所构成的新数列这里这里 是原数列中的第是原数列中的第 项项,在子数列中在子数列中是第是第k项项.子数列子数列.叫做数列叫做数列xn的的4.收敛数列与其子数列收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系间的关系2.1 数列的极限数列的极限27定理定理2.42.4 数列数列收敛收敛的充要条件为其任一子列的充要条件为其任一子列由此定理可知由此定理可知,但若已知一个子列发散但若已知一个子列发散,或有两个子列收敛或有两个子列收敛于不同的极限值于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.能断定原数列的收敛性能断定原数列的收敛性;数列数列的子列的子列收敛于收敛于1,而子列而子列收敛于收敛于因此数列因此数列是发散的是发散的.该例说明了一个发散的数列该例说明了一个发散的数列可能有收敛子列可能有收敛子列,同时也说明有界数列不一定收敛同时也说明有界数列不一定收敛.例如例如仅从某一个子列的收敛一般不仅从某一个子列的收敛一般不2.1 数列的极限数列的极限均收敛均收敛.28敛于敛于a.还可以证明还可以证明:数列数列xn的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列xn也收也收试证数列试证数列证证 因为因为不收敛不收敛.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 所以数列所以数列 收敛于收敛于的奇子数列的奇子数列不收敛不收敛.例例2.1 数列的极限数列的极限29数列数列数列极限数列极限收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.五、小结五、小结研究其变化规律研究其变化规律;极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;有界性有界性,唯一性唯一性,保号性保号性,2.1 数列的极限数列的极限30思考题思考题“”恒有恒有是数列是数列xn收敛于收敛于a的的().A.充分但非必要条件充分但非必要条件B.必要但非充分条件必要但非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件(1)C(2)D.不确定不确定2.1 数列的极限数列的极限31作业作业习题习题2.1(2.1(第第2020页页)2.1 数列的极限数列的极限