2022年浙江省台州市中考数学试卷解析.docx

2022年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题〔此题有10小题，每题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、多项选择、错选，均不得分〕
1．〔4分〕〔2022•台州〕单项式2a的系数是〔　　〕

A．
2
B．
2a
C．
1
D．
a
2．〔4分〕〔2022•台州〕以下四个几何体中，左视图为圆的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔4分〕〔2022•台州〕在以下调查中，适宜采用全面调查的是〔　　〕

A．
了解我省中学生的视力情况

B．
了解九〔1〕班学生校服的尺码情况

C．
检测一批电灯泡的使用寿命

D．
调查台州 600全民新闻 栏目的收视率
4．〔4分〕〔2022•台州〕假设反比例函数y=的图象经过点〔2，﹣1〕，那么该反比例函数的图象在〔　　〕

A．
第一、二象限
B．
第一、三象限
C．
第二、三象限
D．
第二、四象限
5．〔4分〕〔2022•台州〕假设一组数据3，x，4，5，6的众数为6，那么这组数据的中位数为〔　　〕

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
6．〔4分〕〔2022•台州〕把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的选项是〔　　〕

A．
2〔x2﹣8〕
B．
2〔x﹣2〕2
C．
2〔x+2〕〔x﹣2〕
D．
2x〔x﹣〕
7．〔4分〕〔2022•台州〕设二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象的对称轴为直线l，假设点M在直线l上，那么点M的坐标可能是〔　　〕

A．
〔1，0〕
B．
〔3，0〕
C．
〔﹣3，0〕
D．
〔0，﹣4〕
8．〔4分〕〔2022•台州〕如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是〔　　〕

A．
8cm
B．
5cm
C．
5.5cm
D．
1cm
9．〔4分〕〔2022•台州〕如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为〔　　〕

A．
6.5
B．
6
C．
5.5
D．
5
10．〔4分〕〔2022•台州〕某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．〞乙说：“两项都参加的人数小于5．〞对于甲、乙两人的说法，有以下四个命题，其中真命题的是〔　　〕

A．
假设甲对，那么乙对
B．
假设乙对，那么甲对

C．
假设乙错，那么甲错
D．
假设甲错，那么乙对
二、填空题〔此题有6小题，每题5分，共30分〕
11．〔5分〕〔2022•台州〕不等式2x﹣4≥0的解集是．
12．〔5分〕〔2022•台州〕有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，那么抽出的数字是奇数的概率是．
13．〔5分〕〔2022•台州〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，那么点D到AB的距离是．
14．〔5分〕〔2022•台州〕如图，这是台州市地图的一局部，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．
那么椒江区B处的坐标是．
15．〔5分〕〔2022•台州〕关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的选项是〔填序号〕．
16．〔5分〕〔2022•台州〕如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内〔包括正方形的边〕，当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为．
三、解答题〔此题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24题14，共80分〕
17．〔8分〕〔2022•台州〕计算：6÷〔﹣3〕+|﹣1|﹣20220．
18．〔8分〕〔2022•台州〕先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．
19．〔8分〕〔2022•台州〕如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米〔结果取整数〕
〔参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70〕
20．〔8分〕〔2022•台州〕图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y〔m〕与旋转时间x〔min〕之间的关系如图2所示．
〔1〕根据图2填表：
x〔min〕
0
3
6
8
12
…
y〔m〕

…
〔2〕变量y是x的函数吗为什么
〔3〕根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
21．〔10分〕〔2022•台州〕某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每周的课外阅读时间x〔单位：小时〕进行分组整理，并绘制了如下列图的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕补全频数分布直方图；
〔2〕求扇形统计图中m的值和“E〞组对应的圆心角度数；
〔3〕请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
22．〔12分〕〔2022•台州〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
〔1〕假设∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
〔2〕求证：∠1=∠2．
23．〔12分〕〔2022•台州〕如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．
〔1〕①延长BC交ED于点M，那么MD=，DC=；
②求y关于x的函数解析式；
〔2〕当a≤x≤〔a＞0〕时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
〔3〕当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
24．〔14分〕〔2022•台州〕定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，假设以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M，N是线段AB的勾股分割点．
〔1〕点M，N是线段AB的勾股分割点，假设AM=2，MN=3，求BN的长；
〔2〕如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
〔3〕点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点〔要求尺规作图，保存作图痕迹，画一种情形即可〕；
〔4〕如图4，点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，假设H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHC的数量关系，并说明理由．
2022年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔此题有10小题，每题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、多项选择、错选，均不得分〕
1．〔4分〕〔2022•台州〕单项式2a的系数是〔　　〕

A．
2
B．
2a
C．
1
D．
a
考点：
单项式．菁优网版权所有
分析：
根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
解答：
解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．
应选A．
点评：
此题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
2．〔4分〕〔2022•台州〕以下四个几何体中，左视图为圆的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．
解答：
解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，
应选D
点评：
主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．
3．〔4分〕〔2022•台州〕在以下调查中，适宜采用全面调查的是〔　　〕

A．
了解我省中学生的视力情况

B．
了解九〔1〕班学生校服的尺码情况

C．
检测一批电灯泡的使用寿命

D．
调查台州 600全民新闻 栏目的收视率
考点：
全面调查与抽样调查．菁优网版权所有
分析：
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答：
解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解九〔1〕班学生校服的尺码情况，适合普查，故B符合题意；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查局有破坏性，适合抽样调查；
D、调查台州 600全民新闻 栏目的收视率调查范围广，适合抽样调查，故D不符合题意；
应选：B．
点评：
此题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．〔4分〕〔2022•台州〕假设反比例函数y=的图象经过点〔2，﹣1〕，那么该反比例函数的图象在〔　　〕

A．
第一、二象限
B．
第一、三象限
C．
第二、三象限
D．
第二、四象限
考点：
反比例函数的性质．菁优网版权所有
分析：
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据〔2，﹣1〕所在象限即可作出判断．
解答：
解：点〔2，﹣1〕在第四象限，那么该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
应选D．
点评：
此题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=〔k≠0〕，〔1〕k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；〔2〕k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
5．〔4分〕〔2022•台州〕假设一组数据3，x，4，5，6的众数为6，那么这组数据的中位数为〔　　〕

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
考点：
众数；中位数．菁优网版权所有
分析：
根据众数和中位数的概念求解．
解答：
解：∵这组数据的众数为6，
∴x=6，
那么这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，
中位数为：5．
应选C．
点评：
此题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．〔4分〕〔2022•台州〕把多项式2x2﹣8分解因式，结果正确的选项是〔　　〕

A．
2〔x2﹣8〕
B．
2〔x﹣2〕2
C．
2〔x+2〕〔x﹣2〕
D．
2x〔x﹣〕
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：
首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：
解：2x2﹣8=2〔x2﹣4〕=2〔x﹣2〕〔x+2〕．
应选：C．
点评：
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因式是解题关键．
7．〔4分〕〔2022•台州〕设二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象的对称轴为直线l，假设点M在直线l上，那么点M的坐标可能是〔　　〕

A．
〔1，0〕
B．
〔3，0〕
C．
〔﹣3，0〕
D．
〔0，﹣4〕
考点：
二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：
根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上那么点M的横坐标一定为3，从而选出答案．
解答：
解：∵二次函数y=〔x﹣3〕2﹣4图象的对称轴为直线x=3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3，
应选B．
点评：
此题考查了二次函数的性质，解答此题的关键是掌握二次函数y=a〔x﹣h〕2+k的顶点坐标为〔h，k〕，对称轴是x=h．
8．〔4分〕〔2022•台州〕如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是〔　　〕

A．
8cm
B．
5cm
C．
5.5cm
D．
1cm
考点：
翻折变换〔折叠问题〕．菁优网版权所有
分析：
根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
解答：
解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：=≈7.8，故折痕长不可能为8cm．
应选：A．
点评：
考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
9．〔4分〕〔2022•台州〕如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为〔　　〕

A．
6.5
B．
6
C．
5.5
D．
5
考点：
菱形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
解答：
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4〔8﹣AE〕=12，
解得：AE=5.5，
应选C
点评：
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．
10．〔4分〕〔2022•台州〕某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．〞乙说：“两项都参加的人数小于5．〞对于甲、乙两人的说法，有以下四个命题，其中真命题的是〔　　〕

A．
假设甲对，那么乙对
B．
假设乙对，那么甲对

C．
假设乙错，那么甲错
D．
假设甲错，那么乙对
考点：
推理与论证．菁优网版权所有
分析：
分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
解答：
解：假设甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，
那么两项都参加的人数为5人，故乙错．
假设乙对，即两项都参加的人数小于5人，那么两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
应选：B．
点评：
此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
二、填空题〔此题有6小题，每题5分，共30分〕
11．〔5分〕〔2022•台州〕不等式2x﹣4≥0的解集是　x≥2　．
考点：
解一元一次不等式．菁优网版权所有
分析：
先移项，再把x的系数化为1即可．
解答：
解：移项得，2x≥4，
x的系数化为1得，x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：
此题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的根本步骤是解答此题的关键．
12．〔5分〕〔2022•台州〕有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，那么抽出的数字是奇数的概率是．
考点：
概率公式．菁优网版权所有
分析：
由有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：∵有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，
∴从中任意抽出一张，那么抽出的数字是奇数的概率是：=．
故答案为：．
点评：
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．〔5分〕〔2022•台州〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，那么点D到AB的距离是　3　．
考点：
角平分线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
解答：
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
点评：
此题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．〔5分〕〔2022•台州〕如图，这是台州市地图的一局部，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．
那么椒江区B处的坐标是　〔10，8〕　．
考点：
坐标确定位置．菁优网版权所有
分析：
根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．
解答：
解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，
由题意，得AB=16，∠ABC=30°，
AC=8，BC=8．
OC=OA+AC=10，
B〔10，8〕．
点评：
此题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．
15．〔5分〕〔2022•台州〕关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的选项是　①③　〔填序号〕．
考点：
根的判别式；一元一次方程的解．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解答：
解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m〔1﹣m〕=1+4m+4m2=〔2m+1〕2≥0，方程有两个实数解，②错误；
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
点评：
此题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答此题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
16．〔5分〕〔2022•台州〕如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内〔包括正方形的边〕，当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为﹣．
考点：
正多边形和圆；轨迹．菁优网版权所有
分析：
当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，以点H〔H与O重合〕为圆心，对角线EH为半径的圆应与正方形ABCD相切，且点E在线段OA上，如下列图，只需求出OE、OA的值，就可解决问题．
解答：
解：当这个正六边形的边长最大时，
作正方形ABCD的内切圆⊙O．
当正六边形EFGHIJ的顶点H与O重合，且点E在线段OA上时，AE最小，如下列图．

∵正方形ABCD的边长为1，
∴⊙O的半径OE为，AO=AC=×=，
那么AE的最小值为﹣．
故答案为﹣．
点评：
此题是有关正多边形与圆的问题，考查了正方形的内切圆、圆外一点与圆上点的最短距离、勾股定理等知识，正确理解题意是解决此题的关键．
三、解答题〔此题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24题14，共80分〕
17．〔8分〕〔2022•台州〕计算：6÷〔﹣3〕+|﹣1|﹣20220．
考点：
实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用除法法那么计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法那么计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣2+1﹣1
=﹣2．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
18．〔8分〕〔2022•台州〕先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．
考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
分析：
先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=﹣
=，
当a=﹣1时，原式==．
点评：
此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键．
19．〔8分〕〔2022•台州〕如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米〔结果取整数〕
〔参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70〕
考点：
解直角三角形的应用．菁优网版权所有
分析：
作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=OA﹣OB求得即可．
解答：
解：如图，根据题意OA=OA′=80cm，∠AOA′=35°，
作A′B⊥AO于B，
∴OB=OA′•cos35°=80×0.82≈65.6，
∴AB=OA﹣OB=80﹣65.6=14cm．
答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．

点评：
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．〔8分〕〔2022•台州〕图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y〔m〕与旋转时间x〔min〕之间的关系如图2所示．
〔1〕根据图2填表：
x〔min〕
0
3
6
8
12
…
y〔m〕
　5　
　70　
　5　
　54　
　5　
…
〔2〕变量y是x的函数吗为什么
〔3〕根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
〔2〕利用函数的定义直接判断即可．
〔3〕最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
解答：
解：〔1〕填表如下：
x〔min〕
0
3
6
8
12
…
y〔m〕
5
70
5
54
5
…
〔2〕因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数；
〔3〕∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米．
点评：
此题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
21．〔10分〕〔2022•台州〕某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了局部学生，对学生每周的课外阅读时间x〔单位：小时〕进行分组整理，并绘制了如下列图的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答以下问题：
〔1〕补全频数分布直方图；
〔2〕求扇形统计图中m的值和“E〞组对应的圆心角度数；
〔3〕请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
考点：
频数〔率〕分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
〔1〕根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
〔2〕用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E〞组所占百分比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
〔3〕用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
解答：
解：〔1〕数据总数为：21÷21%=100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4=25，
频数分布直方图补充如下：

〔2〕m=40÷100×100=40；
“E〞组对应的圆心角度数为：360°×=14.4°；

〔3〕3000×〔25%+〕=870〔人〕．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
点评：
此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
22．〔12分〕〔2022•台州〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
〔1〕假设∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
〔2〕求证：∠1=∠2．
考点：
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；
〔2〕根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，那么∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．
解答：
〔1〕解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
〔2〕证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
点评：
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
23．〔12分〕〔2022•台州〕如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．
〔1〕①延长BC交ED于点M，那么MD=　2　，DC=　1　；
②求y关于x的函数解析式；
〔2〕当a≤x≤〔a＞0〕时，9a≤y≤6b，求a，b的值；
〔3〕当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．
考点：
四边形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕①根据两组对边平行得到四边形OFBQ，四边形EMBF是平行四边形，求出EM=BF=1，得到DM=2，通过△DMC∽△AEF，列比例式求得CD=1；②根据△EPO∽△EAF，列比例式即可求得y关于x的函数解析式；
〔2〕当a≤x≤〔a＞0〕时，9a≤y≤6b，y随x的增大而减小，于是得到4﹣2×=9a，4﹣2a=6b，解得结果即可．
〔3〕①当0≤x≤1时，1≤4﹣2x≤3，得到≤x≤1，②当1≤x≤2时，y=﹣4x2﹣10x﹣4的对称轴为x=，ymax=，当x=1时，y=2满足要求，当y=1，x=，而5+＜2，得到1≤x≤，于是得到结论．
解答：
解：〔1〕①∵EF∥CB，PQ∥AB，
∴四边形OFBQ是平行四边形，
∴OQ=BF=1，
∵∠A=∠AED=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EM=BF=1，
∵DE=3，
∴DM=2，
∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA，
∴△DMC∽△AEF，
∴，
∵AF=AB﹣BF=4，
∴，
∴CD=1；
故答案为：2，1；
②当Q在BC上时，∵PO•OQ=y，
∵OQ=1，
∴PO=y，
∵OP∥AF，
∴△EPO∽△EAF，
∴，
∵AP=x，∴PE=2﹣x，
∴，
∴y=﹣2x+4；
当Q在CD上时，
∵PQ=3，∴OQ=3﹣OP，
∵PO•OQ=y，
∴OP〔3﹣OP〕=y，
解得：OP=〔∵OP＜3不合题意舍去〕OP=，
∵OP∥AB，
∴△EPO∽△EAF，
∴，∴，
∴y=﹣4x2﹣10x﹣4；

〔2〕当a≤x≤〔a＞0〕时，9a≤y≤6b，
∵y=﹣2x+4，
∴y随x的增大而减小，
∴4﹣2×=9a，4﹣2a=6b，
解得：a=，b=；

〔3〕①当0≤x≤1时，1≤4﹣2x≤3，
∴≤x≤，
∴≤x≤1，
②当1≤x≤2时，y=﹣4x2﹣10x﹣4的对称轴为x=，ymax=，
当x=1时，y=2满足要求，当y=1，x=，而＜2，
∴1≤x≤，
综上所述：当1≤y≤3时，x的取值范围为≤x≤．

点评：
此题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解不等式组，求一次函数的解析式，根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键．
24．〔14分〕〔2022•台州〕定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，假设以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M，N是线段AB的勾股分割点．
〔1〕点M，N是线段AB的勾股分割点，假设AM=2，MN=3，求BN的长；
〔2〕如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
〔3〕点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点〔要求尺规作图，保存作图痕迹，画一种情形即可〕；
〔4〕如图4，点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，假设H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHC的数量关系，并说明理由．
考点：
相似形综合题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
〔2〕先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出结论；
〔3〕在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；
〔4〕先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，证出c2=a2+b2，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出S△DGH=S△CAF，证出S△DMN=S△ACM+S△ENB，即可得出结论．
解答：
〔1〕解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN===，
综上所述：BN=或；
〔2〕证明：∵FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，
∴===1，
∴点M、N分别是AD、AE的中点，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
∴EC2=BD2+DE2，
∴〔2NG〕2=〔2FM〕2+〔2MN〕2，
∴NG2=FM2+MN2，
∴点M、N是线段FG的勾股分割点；
〔3〕解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE点垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如下列图：
〔4〕解：S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：
设AM=a，BN=b，MN=c，
∵H是DN的中点，
∴DH=HN=c，
∵△MND、△BNE均为等边三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
在△DGH和△NEH中，
，
∴△DGH≌△NEH〔ASA〕，
∴DG=EN=b，
∴MG=c﹣b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴，
∴c2=2ab﹣ac+bc，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴c2=a2+b2，
∴〔a﹣b〕2=〔b﹣a〕c，
又∵b﹣a≠c，
∴a=b，
在△DGH和△CAF中，
，
∴△DGH≌△CAF〔ASA〕，
∴S△DGH=S△CAF，
∵c2=a2+b2，
∴c2=a2+b2，
∴S△DMN=S△ACM+S△ENB，
∵S△DMN=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，
∴S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN．

点评：
此题是相似形综合题目，考查了新定义“勾股分割点〞、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形和四边形面积的计算等知识；此题难度较大，综合性强，特别是〔4〕中，需要两次证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．

菁优网
2022年7月20日