高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题15抛物线.doc

专题15 抛物线

得分点1 抛物线的定义与标准方程

【背一背基础知识】
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点和一条定直线（点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：（其中为点到准线的距离）．
2．抛物线的标准方程
图形

标准
方程

的几何意义：焦点到准线的距离
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：
（1）抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等；
（2）求抛物线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定抛物线的焦点在x轴的正半轴、负半轴上，还是在y轴的正半轴、负半轴上．“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式，若焦点在x轴正半轴上，则设方程为；若焦点在x轴负半轴上，则设方程为；若焦点在y轴正半轴上，则设方程为；若焦点在y轴负半轴上，则设方程为．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数．
2．典型例题
例1　设抛物线的顶点在原点，准线方程，则抛物线的方程是 (　　)
A． B． C． D．
分析：由已知及抛物线的几何性质知所求抛物线的焦点在轴正半轴上且，从而可写出抛物线的方程．
解析：由准线方程，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为；②该抛物线的焦准距故所求抛物线方程为．
例2　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)
A．1 B． C．2 D．3
分析：由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值．
例3　　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．

分析：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．
解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±．

∵>2，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
例4　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
分析：(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．
解析：

(1)如图①，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|．
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝．
又|O1A|＝，∴＝．化简得，y2＝8x(x≠0)．

当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x．
(2)证明：如图②，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0．其中Δ＝－32kb＋64>0．
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝．②
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b．此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．
【名师总结】解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．
【练一练趁热打铁】
1．　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)
A． B．1 C． D．
【答案】C．

【解析】设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为(|AA1|＋|BB1|)－＝．
2．　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝ (　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B．
【解析】∵M(2，y0)在抛物线上，∴抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－．由抛物线的定义，M到该抛物线准线x＝－的距离为3，即2＋＝3，故p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x．∵M(2，y0)在抛物线上，∴y＝8．由两点间的距离公式知|OM|＝＝＝2．
3．　已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　)
A．2∶　　　　　　B．1∶2　　　　 C．1∶ D．1∶3
【答案】C．
【解析】根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解．

如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，∴|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|．由于
△MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶．
故选C．
4．　设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为(　　)
A． B．2 C． D．1
【答案】C．
【解析】过A作AD⊥x轴于D，令FD＝m，则FA＝2m,2＋m＝2m，m＝2，∴AD＝2，S△OAF＝·1·2＝．故选C．
5．已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是(　　)
A． B．
C． D．2

【答案】B．
【解析】根据对称可知，正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2＝2px上，设A(x1,1)，F(x2,2)，则，即x2＝4x1，又AF＝＝2，即(x1－x2)2＝(x1－4x1)2＝3，∴x＝，x1＝，即p＝＝＝．∴选B．
6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．
【答案】(1) y2＝8x；(2) S△FAB＝24．

得分点2 抛物线的几何性质

【背一背基础知识】
抛物线的几何性质
图 形

标准方程

的几何意义：焦点到准线的距离
几何性质
顶 点

开 口
方 向
向 右
向 左
向 上
向 下
范 围
，且
，且
，且
，且
对称轴

离心率

焦 点

准 线
方 程

焦半径长公式

焦点弦长公式

通 径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
关于抛物线焦点弦的几个结论：
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
⑴ ⑵ ⑶ 以为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点对在准线上射影的张角为⑸
【讲一讲基本技能】
1．必备技能：
（1）一个重要转化
一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．
（2）六个常见结论
直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p；
③＋为定值；
④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)；
⑤以AB为直径的圆与准线相切；
⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．
2．典型例题
例1　若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
分析：由已知及双曲线的简单几何性质可得其焦点坐标，从而可得p的值．
解析：双曲线－＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，∴＝3，p＝6．
例2　抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
分析：由于△ABF为等边三角形可以判断A、B两点关于y轴对称，只需把准线方程y＝－代入双曲线方程即可求得A、B两点坐标，问题即可解决．
解析：由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，∴AB＝2．由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6．
例3　定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________．
分析：首先由圆心到直线的距离减去圆的半径得圆C2到直线l的距离，再求抛物线与直线l平行的切线方程，由两平行线距离公式求得曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离，最后列出方程并求解可得a的值．
解析：C2：x2＋(y＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l：y＝x的距离为d＝＝2，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为d′＝d－r＝2－＝．对于曲线C1：y＝x2＋a，令y′＝2x＝1，得x＝，该切点为，则曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离为d′＝＝⇒a＝或－(舍去)．
【名师点评】把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此交汇性试题．
例4． 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点， 求|MN|的最小值．

分析：(1)根据条件和抛物线的标准方程，可直接求出；(2)根据直线方程及抛物线方程写出MN长度的解析式，再根据求出的解析式选择适当的方法求最值．
解析：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1．
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．从而|x1－x2|＝4．
由解得点M的横坐标xM＝＝＝．同理，点N的横坐标xN＝．
所以|MN|＝|xM－xN|＝|－|＝8||＝．
令4k－3＝t，t≠0，则k＝．
当t>0时，|MN|＝2 >2；当t<0时，|MN|＝2 ≥．
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是．
【名师点评】求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值．
【练一练趁热打铁】
1．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，故双曲线的，又，根据，求得，故双曲线的方程为，选A．
2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．
【答案】x2＋(y－1)2＝10．
【解析】设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋()2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10．
3．抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线的右焦点重合，过点且切斜率为1的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到抛物线准线的距离为_____________________．
【答案】11
【解析】因为双曲线的右焦点坐标是（3,0）．所以．即抛物线的标准方程为．设过点且切斜率为1的直线方程为，．联立消去y可得 又因为线段AB的中点到抛物线的准线的距离为
．故填11．
4．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．

【答案】
【解析】
根据旋转体的对称性，不妨设正方体的一个对角面恰好在平面内，组合体被此面所截得的截面图如下：
设正方体的棱长为，则， ，
因为，所以， ，即：
解得：，因为，所以．
5．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是 ．

【答案】8
【解析】
根据旋转体的对称性，不妨设正方体的一个对角面恰好在平面内，组合体被此面所截得的截面图如下：设正方体的棱长为，则，，因为，所以， ，即：，解得：或 ，因为，所以．．
6．已知直线l：y=﹣x与抛物线C：y2=2px一个交点的横坐标为8，则抛物线C的标准方程为 ．
【答案】y2=8x．
【解析】由题意，抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的坐标为（8，﹣8），代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，∴抛物线C方程为y2=8x．

（一） 选择题（12*5=60分）
1．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　）
A．10　 　B．8　 　 C．6　　 D．4
【答案】B
【解析】设．则因为AB的中点的横坐标为3．即．又因为．因为p=2．所以2+6=8．故选B．本题关键是利用抛物线的定义．把过焦点弦长的转化为两端的坐标表示形式．
2．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ 　 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线为，双曲线的渐近线方程为，由抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，可知渐近线互相垂直，所以，，双曲线的离心率是，故选A．
3．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与QF的长分别是p、q，则＋等于 (　　)
A．2a B．
C．4a D．
【答案】C．
【解析】因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ垂直y轴时．此时|PF|＝|QF|＝，
∴＋＝4a，故选C．
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的离心率是 (　　)
A．2 B．
C． D．
【答案】D．
【解析】由已知条件可得即得9a2－4b2＝p2＝4a2＋4b2，整理可得a2＝b2，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝＝，故应选D．
5．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为　　　　　（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，它的其中一条渐近线方程为，则，所以双曲线的半焦距，抛物线的焦点坐标为，因此有．
6．已知轴上一点抛物线上任意一点满足则的取值范围是 （ ）
A．　　 B．　　 C． 　 D．
【答案】B．
【解析】设则又恒成立，故选B．
7．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】抛物线的准线为，而抛物线的准线过双曲线的一个焦点，的焦点为从而双曲线的标准方程为，故选C．
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为 （ ）

A． B． C． D．
【答案】B．

【解析】由已知可得．如图过作，垂足为，则由抛物线的定义得代入得（舍去），．又直线方程为，即，代入得．
9．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－x－2y＋1＝0 B．x2＋y2－2x－y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋＝0 D．x2＋y2－2x－y＋＝0
【答案】D．
【解析】设圆心坐标为(x0>0)．∵抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，由题意知，x0＝＋⇒x0＝1，
∴所求圆的圆心坐标为，半径为1，∴所求圆的方程为(x－1)2＋2＝1，化为一般式为x2＋y2－2x－y＋＝0．故选D．
10．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
11．抛物线上的任意一点到直线的最短距离为 （　　）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】B
12．如图，F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：

①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；
②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，
|AF|+|BF|取得最小值；
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点(A)(B)C的横坐标亦成等差数列．
其中正确结论的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【答案】C
【解析】①由已知抛物线的焦点，设，则圆心坐标为，∴圆心到y轴的距离为，圆的半径为，∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．故①正确；②设，则 ,∴x=0时，即当点A为坐标
原点时，|AF|为最短，②正确；③设，，则|AF|+|BF|=x1+x2+p，显然x1+x2=0，
即A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．综上知，正确结论的个数是3个．
（二） 填空题（4*5=20分）
13．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1与x轴交点恰为抛物线x＝ay2焦点，则a＝________．
【答案】．
【解析】因为f(x)＝log2(x＋1)－1与x轴的交点为(1,0)，抛物线x＝ay2的焦点为(，0)，∴＝1∴a＝．
14．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________．
【答案】
【解析】由渐进线联立可得交点A．B．所以．…①又因为所以．…②．所以由①②可得．本小题的关键是解出A，B两点的坐标即可．
15．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
【答案】－1．
【解析】由题意，得抛物线与圆不相交，已知圆的圆心为A(3,0)，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝ ＝ ，当且仅当x0＝时，|PA|取最小值，此时|PQ|的最小值为－1．
16．抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．

【答案】[－2，]．
【解析】由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．
画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A(，0)，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是[－2，]．

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