高考数学艺体生好题突围系列基础篇专题15抛物线.doc
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1、专题15 抛物线得分点1 抛物线的定义与标准方程【背一背基础知识】1抛物线的定义(1)平面内与一个定点和一条定直线(点不在直线上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线(2)其数学表达式:(其中为点到准线的距离)2抛物线的标准方程图形标准方程的几何意义:焦点到准线的距离【讲一讲基本技能】1必备技能:(1)抛物线是历年高考的重点,在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外,还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查,难度往往是中等;(2)求抛物线的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指抛物线的顶点在原点,以坐标轴为对称轴的情况
2、下,能否确定抛物线的焦点在x轴的正半轴、负半轴上,还是在y轴的正半轴、负半轴上“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式,若焦点在x轴正半轴上,则设方程为;若焦点在x轴负半轴上,则设方程为;若焦点在y轴正半轴上,则设方程为;若焦点在y轴负半轴上,则设方程为“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数2典型例题例1设抛物线的顶点在原点,准线方程,则抛物线的方程是 ()AB C D分析:由已知及抛物线的几何性质知所求抛物线的焦点在轴正半轴上且,从而可写出抛物线的方程解析:由准线方程,顶点在原点,可得两条信息:该抛物线焦点为;该抛物线的焦准距故所求抛物线方程为例2已知双曲线1(a0,b0)的两条
3、渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为2,AOB的面积为,则p()A1 B C2 D3分析:由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值例3已知抛物线y22x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标分析:由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题解析:将x3代入抛物线方程y22x,得y2,A在抛物线内部如图,设抛物线上点P到准线l:x的距离为d,由定义知|PA|
4、PF|PA|d,当PAl时,|PA|d最小,最小值为,即|PA|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y22x,得x2,点P的坐标为(2,2)【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解例4已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点分析:(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程,但要注意结合图形寻求等量关系;(2)设出直线方程,结合直线与圆锥曲线的位置关系转化
5、为方程的根与系数的关系求解,要特别注意判别式与位置关系的联系解析:(1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|O1M|当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,|O1M|又|O1A|,化简得,y28x(x0)当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x,动圆圆心的轨迹C的方程为y28x(2)证明:如图,由题意,设直线l的方程为ykxb(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将ykxb代入y28x中,得k2x2(2bk8)xb20其中32kb640由根与系数的关系得,x1x2,x1x2x轴是PBQ的角平分线,即y1(x21)
6、y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(bk)(x1x2)2b0,将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb此时0,直线l的方程为yk(x1),即直线l过定点(1,0)【名师总结】解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等【练一练趁热打铁】1已知F是抛物线y2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|BF|3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A B1 C D【答案】C【
7、解析】设抛物线的准线为l,作AA1l于A1,BB1l于B1,由抛物线的定义知|AA1|BB1|AF|BF|3,则AB的中点到y轴的距离为(|AA1|BB1|)2已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM| ()A2 B2 C4 D2【答案】B【解析】M(2,y0)在抛物线上,抛物线的标准方程可设为y22px(p0),其准线方程为x由抛物线的定义,M到该抛物线准线x的距离为3,即23,故p2,抛物线的标准方程为y24xM(2,y0)在抛物线上,y8由两点间的距离公式知|OM|23已知点A(2,0),抛物线C:x24y的焦点为F,
8、射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|()A2B12C1 D13【答案】C【解析】根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解如图所示,由抛物线定义知|MF|MH|,|MF|MN|MH|MN|由于MHNFOA,则,则|MH|MN|1,即|MF|MN|1故选C4设O是坐标原点,F是抛物线y24x的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正方向的夹角为60,则OAF的面积为() A B2 C D1【答案】C【解析】过A作ADx轴于D,令FDm,则FA2m,2m2m,m2,AD2,SOAF12故选C5已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物
9、线的焦点到准线的距离是()A BC D2【答案】B【解析】根据对称可知,正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y22px上,设A(x1,1),F(x2,2),则,即x24x1,又AF2,即(x1x2)2(x14x1)23,x,x1,即p选B6已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:yx的一个交点的横坐标为8(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|PB|,求FAB的面积【答案】(1) y28x;(2) SFAB24得分点2 抛物线的几何性质【背一背基础知识】抛物线的几何性质图 形
10、标准方程的几何意义:焦点到准线的距离几何性质顶 点开 口方 向向 右向 左向 上向 下范 围,且,且,且,且对称轴离心率焦 点准 线方 程焦半径长公式焦点弦长公式通 径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径:关于抛物线焦点弦的几个结论:设为过抛物线焦点的弦,直线的倾斜角为,则 以为直径的圆与准线相切; 焦点对在准线上射影的张角为 【讲一讲基本技能】1必备技能:(1)一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向,即“对称轴看一次项,符号决定开口方向”(2)六个常见结论直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y
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