材料力学第八章组合变形.pptx

材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1 当几种变形的影响相近时再用简单模型计算，将会当几种变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。引起较大的误差。事实上，简单变形不过是简化模型，只有在一种变形特别事实上，简单变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2ABPFAxFAyFFyFx压压+弯弯一、组合变形一、组合变形同时发生两种或两种以上的简单变形。同时发生两种或两种以上的简单变形。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3立柱内力：轴力，弯矩。拉伸立柱内力：轴力，弯矩。拉伸+弯曲弯曲材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4拉伸拉伸+扭转扭转材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5弯弯+弯弯+扭扭 计算简图计算简图材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6拉拉+弯弯+弯弯+扭扭材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7偏心压缩偏心压缩F 组合变形的形式有多种，组合变形的形式有多种，本章只学习四种典型形式。本章只学习四种典型形式。1、斜弯曲；、斜弯曲；2、弯扭组合；、弯扭组合；3、拉（压）弯组合；、拉（压）弯组合；4、偏心拉压。、偏心拉压。应注意通过这四种典型组合应注意通过这四种典型组合变形的学习，变形的学习，学会计算一般组合学会计算一般组合变形强度的原理和方法。变形强度的原理和方法。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8二、组合变形强度计算方法二、组合变形强度计算方法方方 法法：叠加法叠加法前提条件：前提条件：1、材料服从虎克定律；、材料服从虎克定律；2、小变形。、小变形。基本步骤：基本步骤：1、分解：目标、分解：目标几种简单变形；几种简单变形；2、内力和应力计算、内力和应力计算:内力计算（画内力图内力计算（画内力图 确定危险截面）确定危险截面）应力计算应力计算 确定危险点确定危险点 3、叠加：危险点应力叠加；、叠加：危险点应力叠加；4、强度计算：选择适当的强度理论。、强度计算：选择适当的强度理论。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9三、三、连接件连接件铆钉、键、螺栓、销钉等起到连接作用的构件。铆钉、键、螺栓、销钉等起到连接作用的构件。铆钉连接铆钉连接销轴连接销轴连接材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10螺栓构件螺栓构件螺栓连接螺栓连接材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11FFFFFFmmFFFF材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12M键键连连接接材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院13FFlcmmnnl木榫接头木榫接头材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14榫齿榫齿连接连接材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15外力：作用线不与形心主惯性轴重合；外力：作用线不与形心主惯性轴重合；内力：弯矩矢量不与形心主惯性轴重合内力：弯矩矢量不与形心主惯性轴重合 （可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）；（可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）；变形：挠曲线不与荷载共面。变形：挠曲线不与荷载共面。8.2 8.2 相互垂直平面内的弯曲相互垂直平面内的弯曲斜弯曲斜弯曲F1F2F3F4F5q一、概一、概 念念材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16平面弯曲平面弯曲qF1斜弯曲斜弯曲F材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17二、斜弯曲的正应力强度条件二、斜弯曲的正应力强度条件 分析图示简支梁在各种横向荷载作用下斜弯曲的应力计算方法。分析图示简支梁在各种横向荷载作用下斜弯曲的应力计算方法。其中其中x轴为梁的轴线，轴为梁的轴线，y、z轴为轴为横截面的形心主惯性轴横截面的形心主惯性轴。1、外力分解、外力分解 将梁上所有横向外力向梁的形将梁上所有横向外力向梁的形心主惯性平面分解，得计算简图。心主惯性平面分解，得计算简图。F2F4F1F3xyzq q1q q3q q4q计算简图计算简图xyzF1yF2yF3yF4yF1zF3zF4zq2、内力计算、内力计算 形心主惯性平面内所有形心主惯性平面内所有y向的外向的外力按内力计算方法计算弯矩力按内力计算方法计算弯矩Mz，所有，所有z向的外力按内力计算方法计算计算向的外力按内力计算方法计算计算My，两向弯矩均按绝对值计算两向弯矩均按绝对值计算(即按正即按正视图和俯视图分两个平面计算视图和俯视图分两个平面计算)。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18将弯矩合成将弯矩合成得合成弯矩得合成弯矩M 弯矩用矢量弯矩用矢量 表示如图表示如图zMzMyyCMj j计算简图计算简图xyzF1yF2yF3yF4yF1zF3zF4zqxyzF1yF2yF3yF4y正视图正视图xzF1zF3zF4zqz往下转往下转900正视图正视图所有所有y向的外力按内力向的外力按内力计算方法计算弯矩计算方法计算弯矩Mz所有所有z向的外力按内力向的外力按内力计算方法计算弯矩计算方法计算弯矩MyzMzMyxyC横截面上的弯矩横截面上的弯矩材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院193、应力计算、应力计算其中其中 Mz横截面上的正应力由两部分叠加横截面上的正应力由两部分叠加可见横截面上的正应力是坐标的线性函数。可见横截面上的正应力是坐标的线性函数。叠加得叠加得注意：式中的弯矩均取正值，注意：式中的弯矩均取正值，y、z是代数值。若是代数值。若y、z为正时引起为正时引起的应力为压应力，则式子前面加一个负号。的应力为压应力，则式子前面加一个负号。其中其中 MyzMzMyyCMj jzMzMyxyCyz材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院204、中性轴的位置、中性轴的位置 横截面上正应力等于零的点连成的线称为横截面上正应力等于零的点连成的线称为中性轴中性轴。设中性轴上一点的坐标为（。设中性轴上一点的坐标为（y0、z0）中性轴方程中性轴方程由以上方程可知由以上方程可知y0、z0正负相反或为零。正负相反或为零。即中性轴过形心，且位于即中性轴过形心，且位于2、4象限内。象限内。中性轴与中性轴与y轴的夹角轴的夹角zMzMyyCMj j中性轴中性轴a a按右手螺旋法则可确定合成弯矩矢量按右手螺旋法则可确定合成弯矩矢量M的作用面。的作用面。M作用面作用面材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院215、截面上的最大正应力、截面上的最大正应力离中性轴最远的点正应力最大。离中性轴最远的点正应力最大。作与中性轴平行并与截面边界相作与中性轴平行并与截面边界相切的两条直线，切点分别为最大切的两条直线，切点分别为最大拉应力点和最大压应力点。拉应力点和最大压应力点。矩形及矩形组合截面（有棱角）矩形及矩形组合截面（有棱角）最大正应力在离形心最远的棱角上。最大正应力在离形心最远的棱角上。6、常见截面形式、常见截面形式zMzMyyCMj j中性轴中性轴a aM作用面作用面 tmax cmaxD1D2CyzMMyMzC cmax tmaxD1D2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22危险点处于单向应力状态，因此危险点处于单向应力状态，因此 或或或或D1D2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23中性轴与合成弯矩矢量重合，所以合成弯矩作中性轴与合成弯矩矢量重合，所以合成弯矩作用面与中性轴垂直，合成弯矩作用面与圆截面用面与中性轴垂直，合成弯矩作用面与圆截面的两个交点即为最大正应力点。的两个交点即为最大正应力点。最大拉应力作用点坐标：最大拉应力作用点坐标：圆截面圆截面 Iy=Iz=I 且且 Mz=Msinj j,My=Mcosj j圆形截面圆形截面MyCzj jMzMy 中性轴与中性轴与y轴的夹角轴的夹角中性轴中性轴M作用面作用面 cmax tmaxj j其中其中材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24圆截面梁圆截面梁解：解：矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁如图。已知矩形截面梁如图。已知b=50mm，h=75mm，求梁内的最大正应力。，求梁内的最大正应力。如改为如改为d=65mm的圆截面，最大的圆截面，最大正应力为多少？正应力为多少？1.5kN1kN1m1mxyzbh材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25解：作计算简图解：作计算简图,将自由端截面将自由端截面B上的上的集中力沿两主轴分解为集中力沿两主轴分解为 20a号号工工字字钢钢悬悬臂臂梁梁承承受受均均布布荷荷载载q和和集集中中力力F=qa/2 作作用用。已已知知钢钢的的许许用用弯弯曲正应力曲正应力 =160MPa,a=1m。试求梁的许可荷载集度。试求梁的许可荷载集度q。yqzaa40FOCBAFyzqaaABCDFzyxO在在xoy主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图(z轴为中性轴轴为中性轴)在在xoz主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图(y轴为中性轴轴为中性轴)Mz图图0.383qa2ACBD0.456qa20.266qa20.617a危险截面：由弯矩图可确定危险截面：由弯矩图可确定A截面或截面或D截面为危险截面。截面为危险截面。My图图0.321qa2ACBD0.444qa20.642qa2z轴往下轴往下材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26横截面在横截面在xoz、xoy平面的弯曲截面系数，可查表得平面的弯曲截面系数，可查表得最大弯曲正应力在最大弯曲正应力在A截面或截面或D截面的棱角上，按叠加法叠加求得截面的棱角上，按叠加法叠加求得 所以梁的危险点在截面所以梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单向应力的棱角处。危险点处是单向应力状态，强度条件为状态，强度条件为解得解得 截面截面A截面截面D计算发现计算发现材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27 查附录可得查附录可得 Wz=309cm3，Wy=40.9 cm3 解：作内力图如图解：作内力图如图 MzFl0.5Fl0.8Fl0.4FlMy对对A截面，由强度条件有截面，由强度条件有B截面，由强度条件有截面，由强度条件有取梁的许用荷载取梁的许用荷载F=6KN图所示简支梁由图所示简支梁由22a工字钢构成，许用应力工字钢构成，许用应力 =140140MPa，长度长度l=1 1m。求该梁的许用荷载求该梁的许用荷载 F。xyz1.5F1.2Flllyz1.5F1.2FAB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28解：图中所有外荷载虽在同一平解：图中所有外荷载虽在同一平面但并不位于梁的形心主惯性平面但并不位于梁的形心主惯性平面内，所以是斜弯曲。将均布荷面内，所以是斜弯曲。将均布荷载载q向形心主惯性轴分解为向形心主惯性轴分解为 qy=qcosj j，qz=qsinj j 在檩条跨中处弯矩最大，其值为在檩条跨中处弯矩最大，其值为 图所示由工字钢制造的檩条倾斜地安装在屋架上，檩条受有从屋面传来的图所示由工字钢制造的檩条倾斜地安装在屋架上，檩条受有从屋面传来的铅直荷载作用。已知铅直荷载作用。已知j j=300，檩条跨度，檩条跨度l=5m，均布荷载，均布荷载q=4kN/m，檩条，檩条的许用应力的许用应力 =160MPa。试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。由于所有外荷载在同一平面内，各截面的合成弯矩矢量由于所有外荷载在同一平面内，各截面的合成弯矩矢量M均与外荷载均与外荷载垂直，且与垂直，且与z轴的夹角亦为轴的夹角亦为j j，于是于是Mz=Mcosj j，My=Msinj j。其中。其中M为为合成弯矩，合成弯矩，Mmax=ql2/8 。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29 由于工字钢的型号未知，所以由于工字钢的型号未知，所以Wz和和Wy均是未知的，但对于工字钢，均是未知的，但对于工字钢，Wz/Wy 之值通常在之值通常在615之间。故解此题时，可暂设之间。故解此题时，可暂设Wz/Wy=8。所以，。所以，将强度条件改写为将强度条件改写为 檩条的强度条件为檩条的强度条件为 由型钢表试选由型钢表试选25a工字钢，工字钢，25a工字钢的工字钢的Wz=401.88cm3，Wy=48.283 cm3，自重自重q1=0.37 KN/m。考虑原荷载和自重共同引起的最大弯矩为。考虑原荷载和自重共同引起的最大弯矩为 Mmax=(q+q1)l2/8，于是，强度条件为于是，强度条件为 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30檩条可以选用型号为檩条可以选用型号为25b的工字钢。的工字钢。可见选可见选25a工字钢不能满足强度条件，于是再改选大一号的工字钢不能满足强度条件，于是再改选大一号的25b工字钢。工字钢。由附录查得查得由附录查得查得25b工字钢的工字钢的Wz=422.72cm3，Wy=52.423 cm3，自重，自重q1=0.41KN/m。所以，强度条件为。所以，强度条件为 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31F8.3 8.3 弯曲与扭转弯曲与扭转弯扭组合弯扭组合材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32一、外力向轴线简化并分解一、外力向轴线简化并分解将所有外力在圆轴横截面将所有外力在圆轴横截面的形心主惯性轴的形心主惯性轴y、z方向方向分解，并用力线平移定理分解，并用力线平移定理向圆轴的轴线进行简化，向圆轴的轴线进行简化，得到轴的计算简图。得到轴的计算简图。150200100ABCDF1MxzxyF2zF2yMx计算简图计算简图80F2zyxF1150200100ABCD空心圆轴，内径空心圆轴，内径d=24mm，外径外径D=30mm，B轮直径轮直径D1=400mm，D轮直径轮直径 D2=600mm，F1=600N，=100MPa，用第三强，用第三强度理论校核此轴的强度。度理论校核此轴的强度。解得解得 F2z=400N材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33二、内力计算二、内力计算作每种外力分量对应作每种外力分量对应的内力图的内力图T、Mz、My。150200100ABCDF1=600NMx=120NmzxyF2y=70.5NMx=120NmF2z=400NT(Nm)120由由My、Mz 作出仅表示各截作出仅表示各截面弯矩大小的合成弯矩面弯矩大小的合成弯矩M图图合成弯矩合成弯矩M68.740.6合成弯矩图抛物线段一定是合成弯矩图抛物线段一定是内凹的抛物线，所以通过顶内凹的抛物线，所以通过顶点可确定弯矩最大的截面。点可确定弯矩最大的截面。7.13.1Mz(Nm)My(Nm)4068.6z轴向下轴向下其中：其中：材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34三、危险点应力分析三、危险点应力分析四、强度条件四、强度条件图示二向图示二向应力状态应力状态x 旋转旋转 第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论强度理论中的相当应力表达式为单元体的应力表达式，对于圆截面杆强度理论中的相当应力表达式为单元体的应力表达式，对于圆截面杆弯扭组合变形，其相当应力可表示为内力的函数。弯扭组合变形，其相当应力可表示为内力的函数。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35对圆截面，其抗扭截面系数对圆截面，其抗扭截面系数WP和抗弯截面系数和抗弯截面系数W有如下关系有如下关系本题中本题中Mmax=68.7Nm，T=120Nm安安 全全材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36直径直径d=78mm的的传动轴传动轴AB由功率为由功率为45KW，转速转速n=710rpm的电机通过皮带轮的电机通过皮带轮C传动。传动。C处皮带轮作用着水平方向的力，直径处皮带轮作用着水平方向的力，直径D1=400mm，自重自重W1=0.4KN。D处皮带轮处皮带轮作用着铅垂方向的力，直径作用着铅垂方向的力，直径D2=600mm，自重自重W2=0.9KN，用第四强度理论校核轴，用第四强度理论校核轴的强度。轴的许用应力的强度。轴的许用应力 =80MPa。CDABW1W2F12F12F2F2xyz500500500解：解：(1)外力的分析和简化外力的分析和简化 电机通过带轮电机通过带轮C传给轴的扭矩为传给轴的扭矩为 将作用在皮带轮上的外力向传动轴简化，得到作用于轴上的一对外力将作用在皮带轮上的外力向传动轴简化，得到作用于轴上的一对外力偶和水平与铅垂方向的力，见图所示。外力偶矩和力的大小分别为偶和水平与铅垂方向的力，见图所示。外力偶矩和力的大小分别为 CDABFCyMexyzFDyFCzMe同样，对带轮同样，对带轮D有有 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37(2)作内力图作内力图 计算相当应力计算相当应力该轴满足强度条件。该轴满足强度条件。Me=0.6kN.m FCz=3F1=9.09kNFCy=W1=0.4kN，FDy=W2+3F2=6.96kN(3)强度校核强度校核CDABFCyMexyzFDyFCzMeT(kNm)0.61Mz(kNm)1.292.393.031.52My(kNm)3.292.83M(kNm)材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38解：解：拉扭组合拉扭组合,危险点危险点应力状态如图应力状态如图直径直径d=0.1m的圆杆受力如图，已知的圆杆受力如图，已知Me=7kNm，F=50kN，许用应力，许用应力 =100MPa，试按试按第三强度理论校核此杆的强度第三强度理论校核此杆的强度。FAFMeMe A 本题中外荷载若还有弯矩，其应力状态和强度理论均不变。本题中外荷载若还有弯矩，其应力状态和强度理论均不变。不过单元体上的正应力不过单元体上的正应力 由下式计算：由下式计算：F如为压力，取绝对值。如为压力，取绝对值。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院398.4 8.4 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲与弯曲拉弯组合拉弯组合材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40外力：形心主惯性平面内不位于轴向也不位于横向的外力；外力：形心主惯性平面内不位于轴向也不位于横向的外力；内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）；内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）；当构件承受轴向力作用的同时，还作用着位于形心主当构件承受轴向力作用的同时，还作用着位于形心主惯性平面内的横向力；这时便产生拉伸或压缩与平面弯曲的惯性平面内的横向力；这时便产生拉伸或压缩与平面弯曲的组合变形。组合变形。Fj jl一、一、概概 念念二、强度计算二、强度计算1、外力分解、外力分解 将外力分解为横向力和轴向力。将外力分解为横向力和轴向力。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41FNFcosj j危险截面：危险截面：A:FN=Fcosj j，M=Flsinj j危险点：危险点：A 截面上缘，单向应力状态截面上缘，单向应力状态2、内力计算：、内力计算：作内力图作内力图3、强度条件、强度条件Flj jABFcosj jlAB+=Fsinj jlABMFlsinj j材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42=+FFFeFeFeF(薄板薄板)偏心拉伸偏心拉伸FNAMWFNAMW+FNAMW材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院43图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸求截面尺寸h及此时的最大压应力。及此时的最大压应力。200150h120kN30kN解：解：内力分析内力分析 最大拉应力为零的条件最大拉应力为零的条件 解得解得 h=240mm 材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44图示力图示力F=350kN，求出两柱内绝对值最大的正应力。，求出两柱内绝对值最大的正应力。200200FF200200300解：解：两柱均为两柱均为压应力压应力FFNMe材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院45缺口截面偏心距为缺口截面偏心距为e，其值为：，其值为：由平衡方程可求得截面由平衡方程可求得截面mn的轴力的轴力FN和弯矩和弯矩M分别为分别为 FN=F=120kN，M=Fe=720Nm 带有缺口的钢板如图所示，已知拉力带有缺口的钢板如图所示，已知拉力F=120KN，板宽，板宽b=80mm，板厚板厚d d=15mm，缺口深，缺口深t=12mm，许用应力，许用应力 =150MPa。不考虑。不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。应力集中的影响，试校核钢板的强度。FFbtd dmnmFM=FeFN=Fen解：解：由于截面由于截面mn处有缺口，因而外力处有缺口，因而外力F对该截面形成偏心拉伸作用，对该截面形成偏心拉伸作用，如图所示。如图所示。mn截面的下边缘将产生最大拉应力。截面的下边缘将产生最大拉应力。tmax材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院46mn截面的下边缘的最大拉应力为：截面的下边缘的最大拉应力为：由此可见，钢板强度不足。由此可见，钢板强度不足。若在钢板上与再切一缺口并使两缺口对称，如图所示。这时对截若在钢板上与再切一缺口并使两缺口对称，如图所示。这时对截面面mn而言，只有轴向拉伸没有偏心荷载作用，于是最大拉应力为：而言，只有轴向拉伸没有偏心荷载作用，于是最大拉应力为：避免偏心荷载是提高构件承载能力的一项有效措施。避免偏心荷载是提高构件承载能力的一项有效措施。btd dmFM=FeFN=Fen tmaxFFnm材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47 因为折杆受力对称，只需分析一半，因为折杆受力对称，只需分析一半，考虑杆考虑杆AC，将，将FA分解，可求得杆的轴力分解，可求得杆的轴力FN和和弯矩弯矩M(x)。解：由平衡条件解：由平衡条件 FA=FB=5kN一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为140140mm，壁厚，壁厚均为均为1010mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。ABC1.6m1.6m1.2m10kNq qFBFAABC1.6m1.6m1.2m10kNq qFBFAFAxFAyxFN=FAx=3kNM(x)=FAy x=4x(kNm)最大弯矩在最大弯矩在C处的处的mm横截面，横截面，mm截面为危险截面截面为危险截面 mnMmax=FAy 2=8kNm 按按叠加原理，最大拉应力叠加原理，最大拉应力 t和最大压应力和最大压应力 c分别在杆下边缘的分别在杆下边缘的D点和上边缘的点和上边缘的E点处，其值分别为点处，其值分别为 DE材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48根据已知的截面尺寸根据已知的截面尺寸 FAxFAyxABC1.6m1.6m1.2m10kNq qFBFAmnDE代入应力表达式得代入应力表达式得材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49解：横梁处于压缩和平面弯曲的组合变解：横梁处于压缩和平面弯曲的组合变 形，梁跨中截面为危险截面，其轴形，梁跨中截面为危险截面，其轴 力和弯矩值分别为力和弯矩值分别为 FN=Fcos300=26kN 对工字钢，在梁中间截面的上边缘的绝对值最大，并且为单向对工字钢，在梁中间截面的上边缘的绝对值最大，并且为单向应力状态。所以强度条件为应力状态。所以强度条件为 悬臂式吊车架由工字型横梁悬臂式吊车架由工字型横梁BC和拉杆和拉杆DC组成，最大起重量组成，最大起重量F=30kN，跨度，跨度l=3.6m。已知工字钢的许用应力已知工字钢的许用应力=100MPa，试从，试从强度方面选择横梁工字钢的型号。强度方面选择横梁工字钢的型号。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50 由于梁是主要承受弯曲的构件，所以先不考虑轴力由于梁是主要承受弯曲的构件，所以先不考虑轴力FN的影响，只根的影响，只根据弯曲强度初选工字钢型号，然后再按拉压与弯曲组合的强度条件进行据弯曲强度初选工字钢型号，然后再按拉压与弯曲组合的强度条件进行强度校核。由弯曲正应力强度条件得强度校核。由弯曲正应力强度条件得 查附录型钢表，选取查附录型钢表，选取22a工字钢，工字钢，W=309cm3，A=42cm2。将以上数据代入拉压与弯曲组合的强度条件得将以上数据代入拉压与弯曲组合的强度条件得 所以，选取所以，选取22a工字钢满足强度条件。工字钢满足强度条件。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51一般情况：一般情况：荷载荷载F 设为正；设为正；作用点作用点：(yF，zF)也设为正。也设为正。图示立柱图示立柱y、z为横截面的形心为横截面的形心主惯性轴，荷载平行于轴线但不位主惯性轴，荷载平行于轴线但不位于形心主惯性平面内。于形心主惯性平面内。1、应力计算、应力计算三三 、立柱的偏心压缩、立柱的偏心压缩xyzFC(yF,zF)xyzFCMyMz截面内力截面内力FN=F，My=FzF，Mz=FyF内力正负号：内力正负号：FN、My 、Mz 均设均设为正，引起某点的应力为压应力时为正，引起某点的应力为压应力时前面加负号。前面加负号。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52D点应力点应力分别计算应力分别计算应力xyzFCMyMzD(y,z)xyzFCD(y,z)+MzxyzCD(y,z)+MyxyzCD(y,z)材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院53D作变换作变换得得应力应力叠加叠加 D点处为单向应力状态点处为单向应力状态中性轴中性轴中性轴方程中性轴方程设中性轴上点的坐标为设中性轴上点的坐标为y0、z0，于是中性轴方程为，于是中性轴方程为材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54（1）中性轴是不过形心的直线，）中性轴是不过形心的直线，它将横截面分为两个区域；它将横截面分为两个区域；中性轴的特性：中性轴的特性：偏心力作用点偏心力作用点 (yF,zF)yzC中性轴中性轴ayaz在两个形心主惯性轴上的截距为在两个形心主惯性轴上的截距为（2）中性轴与偏心荷载作用点位于形心两侧；）中性轴与偏心荷载作用点位于形心两侧；（3）中性轴位置与荷载大小无关；）中性轴位置与荷载大小无关；（4）偏心荷载离形心远时，中性轴离形心近。偏心荷载靠）偏心荷载离形心远时，中性轴离形心近。偏心荷载靠 近形心时，中性轴远离形心。近形心时，中性轴远离形心。画出中性轴方程画出中性轴方程描绘的直线如图所示。描绘的直线如图所示。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院55危险点危险点D1(y1,z1)：最大压应力：最大压应力D2(y2,z2)：最大拉应力：最大拉应力强度条件强度条件(yF,zF)yzC中性轴中性轴ayaz cmax tmaxD1(y1,z1)D2(y2,z2)材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院56 截面形心附近的一个区域，偏心荷载作用在此区域边界截面形心附近的一个区域，偏心荷载作用在此区域边界上时，中性轴与截面相切。截面内正应力同号，这个区域称上时，中性轴与截面相切。截面内正应力同号，这个区域称为为截面核心。截面核心。2、截面核心、截面核心(yF,zF)yzC中性轴中性轴ayazzy中性轴中性轴1C(yF1,zF1)(yF2,zF2)中性轴中性轴2 偏心荷载偏心荷载F作用在截面核心内时，中性轴移出截面之外作用在截面核心内时，中性轴移出截面之外，整个截面上只产生压应力。整个截面上只产生压应力。研究：研究：工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截意义意义 面上不出现拉应力；面上不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57确定截面核心步骤确定截面核心步骤作截面的形心主惯性轴；作截面的形心主惯性轴；作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；确定边界上切线的截距确定边界上切线的截距ay、az；由公式确定偏心压力作用点的位置；由公式确定偏心压力作用点的位置；连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是截面核心。连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是截面核心。切线切线作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为1点（点（yF1，zF1）。）。切线切线作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为3点（点（yF3，zF3）。）。中性轴中性轴绕绕B点转到点转到的过程中的任一位置的过程中的任一位置，其对应的偏心压力作，其对应的偏心压力作用点用点(yF2，zF2)的位置必在的位置必在1与与3点的直线上。点的直线上。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58中性轴方程中性轴方程 式中偏心力作用点的坐标（式中偏心力作用点的坐标（yF，zF）已知时，可确定中性轴的位置。反之，若已知时，可确定中性轴的位置。反之，若一零应力点的坐标（一零应力点的坐标（y0，z0）已知且固定）已知且固定不动时，方程不动时，方程力作用点的直线方程力作用点的直线方程与与B点点(应力为零应力为零)对应的偏心力作用点的直线方程对应的偏心力作用点的直线方程 中性轴中性轴绕绕B点转到点转到的过程中的任一位置的过程中的任一位置，其对应的偏心，其对应的偏心压力作用点（压力作用点（yF2，zF2）的位置必在）的位置必在1与与3点的直线上。点的直线上。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59abcdA槽型截面的截面核心为槽型截面的截面核心为abcd，垂直于截面的偏心力作用于，垂直于截面的偏心力作用于dc与与ab的的交点交点A，指出此时中性轴的位置。，指出此时中性轴的位置。中性轴中性轴偏心力偏心力偏心力偏心力中性轴中性轴偏心力作用在偏心力作用在dc上，中性轴过上，中性轴过B点。点。B偏心力作用在偏心力作用在ab上，中性轴过上，中性轴过D点。点。D偏心力作用于偏心力作用于dc与与ab的交点的交点A时，中性轴既时，中性轴既过过B点，又过点，又过D点，因此中性轴过点，因此中性轴过BD连线。连线。与与A对应的中性轴对应的中性轴矩形截面的截面核心矩形截面的截面核心bhyz材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60圆形截面的截面核心圆形截面的截面核心ryz1材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61 一、连接件的失效形式一、连接件的失效形式 失效形式：失效形式：螺栓螺栓在两侧与钢板接触面的压力在两侧与钢板接触面的压力F作用下，作用下，将沿剪切面被将沿剪切面被剪断剪断。8.5 8.5 连接件的实用计算连接件的实用计算剪切面剪切面1、剪、剪 断断材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院62FFFF2、挤、挤 压压3、拉、拉 断断失效形式：失效形式：螺栓螺栓与钢板在相互接触面上因与钢板在相互接触面上因挤压挤压而使连接松动。而使连接松动。失效形式：失效形式：钢板钢板在受在受螺栓孔削弱螺栓孔削弱的截面处被拉断。的截面处被拉断。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院631、假定破坏面上应力均匀分布、假定破坏面上应力均匀分布;2、模拟实验结果按假定的应力分布确定许用应力。、模拟实验结果按假定的应力分布确定许用应力。二、实用强度二、实用强度计算原理计算原理FF挤压面挤压面剪切面剪切面挤压面挤压面FF压溃压溃(塑性变形塑性变形)假定计算假定计算材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院643、内力：、内力：剪力剪力FS （可用平衡条件求出）（可用平衡条件求出）2、变形特点：、变形特点：剪切面两侧相对错动。剪切面两侧相对错动。上刀刃上刀刃下刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切面三、剪切强度实用计算三、剪切强度实用计算1、受力特点：、受力特点：外力等值、反向、作用线相距很近；外力等值、反向、作用线相距很近；4、强度条件强度条件剪切名义切应力剪切名义切应力 式中式中 FS 剪力剪力;切应力，方向同切应力，方向同FS;A 剪切面面积。剪切面面积。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65单单 剪剪一个剪切面一个剪切面关于剪力的计算关于剪力的计算双双 剪剪FSFSFFS=F二个剪切面二个剪切面FS=F/2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66一个剪切面一个剪切面FFFF两个剪切面两个剪切面材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67由平衡由平衡方程方程 剪力为剪力为剪切面积为剪切面积为解：解：取构件取构件B和安全销为研究对象，和安全销为研究对象，其受力如图所示。其受力如图所示。DOFSMeFS当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销钉被剪断，当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销钉被剪断，即剪断条件为即剪断条件为 解得解得可取可取d=15mm图图示示的的销销钉钉连连接接中中，构构件件A通通过过安安全全销销C将将力力偶偶矩矩传传递递到到构构件件B。已已知知荷荷载载F=2kN，加加力力臂臂长长l=1.2m，构构件件B的的直直径径D=65mm，销销钉钉的的极极限限切切应应力力 u=200MPa。试求安全销所需的直径。试求安全销所需的直径d。FdDACBlOF材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68实际挤压实际挤压接接触面触面直径直径投投影面影面四、挤压的实用计算四、挤压的实用计算bs bearing stressFF 在螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将在螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为发生彼此间的局部承压现象，称为挤压挤压。在接触面上的压力，称为在接触面上的压力，称为挤压力挤压力Fbs。挤压力过大，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，挤压力过大，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动而从而导致连接松动而失效失效。分析受力、确定分析受力、确定挤压面挤压面:实际的挤压面是实际的挤压面是半个圆柱面半个圆柱面，而在实用计算中用其而在实用计算中用其直径平面直径平面Abs来代替。来代替。bs材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院691、计算、计算挤压面挤压面计算挤压面为实际挤压面在垂直于挤压力平面上的投影。计算挤压面为实际挤压面在垂直于挤压力平面上的投影。Abs=d d d实际挤压面实际挤压面计算挤压面计算挤压面Abs2、挤压强度条件挤压强度条件材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院70AB剪力剪力FS挤压力挤压力FbsA向向剪力作剪力作用面积用面积B向向挤压力计挤压力计算算 面积面积Abs挤压应力挤压应力计算面积计算面积 实际实际挤压面挤压面(半圆柱半圆柱)在在垂直挤压力垂直挤压力方向上的方向上的投影投影。在连接件中通常同时出现挤压应力和切应力，但二者有明显区别。在连接件中通常同时出现挤压应力和切应力，但二者有明显区别。切应力切应力 计算面积计算面积是剪力的是剪力的真实作用区真实作用区。名义切应力名义切应力是真实的是真实的平均切应力平均切应力。挤压应力挤压应力 计算面积计算面积不一定是挤压力不一定是挤压力真实作用区真实作用区。名义挤压应力名义挤压应力不一定是不一定是平均挤压应力平均挤压应力。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院71试件试件冲头冲头FSFFddd d冲床冲床 Fmax=400kN，冲头，冲头 =400MPa，钢板的，钢板的 b=360MPa。求冲头最小直径求冲头最小直径 d 和钢板最大厚度和钢板最大厚度d d。解解:1、按冲头压缩强度、按冲头压缩强度2、按钢板剪切强度、按钢板剪切强度材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学