高中数列的常见解法).pdf
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1、数列解题方法数列解题方法一、基础知识:一、基础知识:数列的定义项项数通项数列数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项等差数列数列:数列:1 1数列、项的概念数列、项的概念:按一定 次序 排列的一列数,叫做 数列,其中的每一个数叫做数列的项 2 2数列的项的性质数列的项的性质:有序性;确定性;可重复性 3 3数列的表示数列的表示:通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,(),简记作 an 其中
2、an是该数列的第n项,列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法(通项公式、递推公式、求和公式)都是表示数列的方法4 4数列的一般性质数列的一般性质:单调性;周期性 5 5数列的分类数列的分类:按项的数量分:有穷数列、无穷数列;按相邻项的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他;按项的变化规律分:等差数列、等比数列、其他;按项的变化范围分:有界数列、无界数列 6 6数列的通项公式数列的通项公式:如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)(nN N+或其有限子集1,2,3,n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一
3、个确定的数,是函数值,而序号是指数列中项的位置,是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图,点的横坐标是 项的序号值,纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式,数列的通项公式在形式上未必唯一 7 7数列的递推公式数列的递推公式:如果已知数列an的第一项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项an-1,an-2,)间关系可以用一个公式an=f(an1)(n=2,3,)(或an=f(an1,an2)(n=3,4,5,),)来表示,那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 8 8数列的求和公式数列的求和公式:设Sn表示数列an和前n项和,即Sn=a=a+a+a,如果S与i12n
4、nni1项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=f(n)(n=1,2,3,)来表示,那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9 9通项公式与求和公式的关系通项公式与求和公式的关系:通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为:an等差数列与等比数列:文字定义符号定义等差数列等比数列S1(n 1)SnSn1(n 2)一般地,如果一个数列从第二项起,每一项一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与与它的前一项的比是同一个常数,那么这个它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。公比。an1an dan1 q(q 0)an0 q 1递
5、增数列:a1 0,q 1或a1 0,递增数列:d 0分类递减数列:d 0常数数列:d 00 q 1递减数列:a1 0,q 1或a1 0,摆动数列:q 0常数数列:q 1通项an a1(n1)d pn q am(nm)d其中p d,q a1dan a1qn1 amqnm(q 0)前n项和中项Snn(a1an)n(n1)d na1 pn2qn22其中p dd,q a122a1(1qn)(q 1)Sn1qna(q 1)1a,b,c成等比的必要不充分条件:b2 ac等积性:等积性:等比数列an若a,b,c成等差的充要条件:2b ac等和性:等和性:等差数列an若mn pq则am an ap aq an
6、 2apmn pq则aman apaq 2p则aman(ap)2主要性质推论:若mn 2p则am推论:若m nankank 2ana1an a2an1 a3an2即:首尾颠倒相加,则和相等ankank(an)2a1an a2an1 a3an2即:首尾颠倒相乘,则积相等1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是等比数列。即:sm,s2m sm,s3m s2m,等比,公比为q。2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如:a1,a4,a7,a10,(下标成等差数列)3、an,bn等比,则a2n,a2n1,m其它1、等差数列中连续m项的和,组成的新数列是等差数列。即:sm,s2m sm,
7、s3m s2m,等差,公差为m2d则有s3m 3(s2msm)2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如:a1,a4,a7,a10,(下标成等差数列)3、an,bn等差,则a2n,a2n1,kan也等比。其中k 04、等比数列的通项公式类似于n的指数函数,n即:an cq,其中c kanb,panqbn也等差。4、等差数列an的通项公式是n的一次函数,即:an dnc(d 0)等差数列an的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数,2即:Sn An Bn(d 0)a1q等比数列的前n项和公式是一个平移加振n幅的n的指数函数,即:sn cq c(q 1)5、项数为奇数2n1的等
8、差数列有:5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。性质s奇ns奇 s偶 an a中s偶n1s2n1(2n1)an项数为偶数2n的等差数列有:s奇an,s偶 s奇 nds偶an1s2n n(an an1)6、an m,am n则amn 0sn sm则smn 0(n m)sn m,sm n则smn(m n)证明一个数列为等差数列的方法:1、定义法:an1an d(常数)2、中项法:an1 an1 2an(n 2)证明一个数列为等比数列的方法:1、定义法:证明方法an1 q(常数)an2(an)(n 2,an 0)2、中项法:an1an1设元技巧三数等差:ad,a,ad四数等差:a3d
9、,ad,ad,a3d1、若数列an是等差数列,则数列Can三数等比:a,a,aq或a,aq,aq2q23四数等比:a,aq,aq,aq 是等比数列,公比为Cd,其中C是常数,d是联系an的公差。2、若数列an是等比数列,且an 0,则数列logaan是等差数列,公差为logaq,其中a是常数且a 0,a 1,q是an的公比。(n 1)s1数列的项an与前n项和Sn的关系:ans s(n 2)nn1数列求和的常用方法:1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。2、错项相减法:适用于差比数列(如果an等差,bn等比,那么anbn叫做差比数列)即把每一项都乘以bn的公
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